精品解析：福建省福州市立志中学2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

福州立志中学2024-2025学年第一学期期末八年级数学适应性训练 （考试时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必在答题卡规定的位置填写考生的班级、姓名、座位号等信息． 2.第Ⅰ卷选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试卷上答题无效． 3.考试结束后，考生只交答题卡． 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 中华民族从古追求“对称美”，下列汉字中，轴对称图形是（ ） A. 立 B. 志 C. 中 D. 学 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某新冠病毒的直径大小为0.00000012米，将0.00000012用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列长度的三条线段，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 8，13，15 6. 如图，蔡老师想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 9. 若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. 或5 D. 或3 10. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：_______． 12. 如果有意义，那么的取值范围是_______． 13. 若的计算结果中不含的一次项，则的值是_______． 14. 若关于的分式方程无解，则的值是_______． 15. 如图，，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为______． 16. 如图，长方形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段的长度的取值范围是_______． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在 上截取 ，在上取一点E，使点E到点C，D的距离相等； （2）连接，求证：． 22. 如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）当时，，，求的长． 23. 福州立志中学开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（2）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的3倍，且资金不超过800元，求购买吊兰的数量最多是多少盆？ 24. 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； （3）已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 25. 如图1，在中，，点在边上（不与，重合），点在边上，且，过点作于点，点是的中点，连接． （1）求证：； （2）判断与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，过点作于点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州立志中学2024-2025学年第一学期期末八年级数学适应性训练 （考试时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必在答题卡规定的位置填写考生的班级、姓名、座位号等信息． 2.第Ⅰ卷选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试卷上答题无效． 3.考试结束后，考生只交答题卡． 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 中华民族从古追求“对称美”，下列汉字中，轴对称图形是（ ） A. 立 B. 志 C. 中 D. 学 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、D选项中的文字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． C选项中的“中”字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据负整数指数幂、同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方、同底数幂的除法依次对各个选项进行分析判断． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 某新冠病毒的直径大小为0.00000012米，将0.00000012用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将0.00000012用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，本选项符合题意； B、不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：A． 5. 下列长度的三条线段，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 8，13，15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形即可． 【详解】解：A、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意； B、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意； C、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意； D、，故不能组成直角三角形，本选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，蔡老师想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 7. 如图，，，于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的， 故选：A． 9. 若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. 或5 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，对于一个具有若干个简单变元的整式，如果存在另一个实系数整式，使，则称是完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 解得：或． 故选：D． 10. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键是用表示，用表示，本题属于中等题型．将各数进行化简，然后根据实数的大小比较法则即可求出答案． 【详解】解：， 由，则， ， 由，则， ， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如果有意义，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件可得，进而求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 若的计算结果中不含的一次项，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法；首先将展开，然后根据题意得到求解即可． 【详解】解： ∵计算结果不含x的一次项 ∴ 解得． 故答案为：． 14. 若关于的分式方程无解，则的值是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程无解问题．分式方程去分母转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程产生了增根两种情况分别进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得，， 当，即是原方程的增根， 把代入， 解得， 故答案为：1． 15. 如图，，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴．先利用勾股定理求出的长从而得到的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【详解】解：利用勾股定理算得， ， 数轴上点所表示的数为：． 故答案为：． 16. 如图，长方形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段的长度的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接辅助线，利用三角形中位线定理确定点的运动路径；接着结合长方形性质、角平分线性质，求出相关线段长度与角度，确定路径上的最值点；最后通过勾股定理计算出最值，从而得到的取值范围． 【详解】解：如图，连接，取中点，作射线交于，连接、． ∵是中点，是中点， ∴是的中位线，， ∴，即在射线上运动．当与重合时，取最小值，当与重合时，取最大值， 在长方形中，，，平分， ∴，是等腰直角三角形，， ∴． ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴ ∴， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、长方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理确定点的运动路径，结合几何图形性质计算线段最值是解题的关键． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数运算，二次根式化简、零指数幂、绝对值计算以及整式的混合运算等知识点，解题的关键在于准确理解并应用这些概念，同时注意运算顺序与符号处理，确保每一步骤的正确性． （1）先对二次根式化简、零指数幂和绝对值的计算，再进行加减运算； （2）先运用平方差公式，完全平方公式进行计算，最后进行加减运算． 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．需注意的是，分式方程的解一定要进行检验． （1）先两边同时乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，注意检验即可得； （2）先两边同时乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，注意检验即可得． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘以，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘以，得， 解得， 经检验，是原分式方程的增根， 故方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．先通分化简，用平方差公式和完全平方公式因式分解，再根据分式的乘除运算法则计算，再代入求值，分母有理化即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能灵活运用是解题的关键； 在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后求四边形的面积． 【详解】，，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 四边形的面积． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在 上截取 ，在上取一点E，使点E到点C，D的距离相等； （2）连接，求证：． 【答案】（1） 解：所作图形如图： （2） 证明：由作图知，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作线段、作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质． （1）以点A为圆心，长为半径画弧，交于D，再分别以、D为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线交于E，最后连接，即可． （2）先证明，得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）当时，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）的长为． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及勾股定理， （1）连接交于点，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理求得的长，得出的长，再由勾股定理求出的长，即可得出结论； 熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 23. 福州立志中学开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（2）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的3倍，且资金不超过800元，求购买吊兰的数量最多是多少盆？ 【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元 （2）购买吊兰的数量最多是17盆 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解此题的关键． （1）设购买绿萝的单价为元，则购买吊兰的单价为元，根据“用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同”列出分式方程，求解即可； （2）设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆，根据“资金不超过800元”列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【小问1详解】 解：设购买绿萝的单价为元，则购买吊兰的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则， 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元； 【小问2详解】 解：设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为17， 答：购买吊兰的数量最多是17盆． 24. 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； （3）已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【答案】（1）C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2； （2），5 （3）7或1． 【解析】 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【小问1详解】 解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2； 【小问2详解】 解：关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ； 【小问3详解】 解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1． 25. 如图1，在中，，点在边上（不与，重合），点在边上，且，过点作于点，点是的中点，连接． （1）求证：； （2）判断与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，过点作于点，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， （公共角），， ， （2） ，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接，． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 证明：如图，取的中点，连接、、，延长到． ，， ． ，且， ． ∵是的中点，，， ∴， ∴，即，，， ∴，，， ∴ ． ． 又，， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及中位线定理，熟练掌握辅助线构造（延长线段、连接中点）和等腰三角形性质是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理，在和中，结合已知与公共角，通过角的和差关系推导． （2）延长至点，使得，连接，，通过构造等腰三角形，利用中位线定理转化角度即可； （3）取的中点，连接、、，延长到，利用等腰三角形的性质及三角形的外角性质得，，，从而，结合（2）的结论和直角三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $