福建省东盛教育集团2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

东盛教育集团2024～2025学年第一学期初三年期中联考 数学试卷 （时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 方程的根是（　　） A. B. C. ， D. ， 2. 已知，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 4. 下列结论中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 正方形的对角线相等且互相垂直 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 矩形、菱形、正方形都是关于其对角线所在直线对称的轴对称图形 5. 方程有解的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（ ） A. 始终不变 B. 由长逐渐变短 C. 由短逐渐变长 D. 先变短后变长 8. 农科院某研究所在相同条件下做某种农作物的发芽率试验，结果如下表所示： 种子个数 200 500 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个判断，其中合理的是（ ） A. 试验种子的个数最少的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 B. 试验种子的个数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 C. 种子发芽的概率为 D. 随着参加试验的种子数量增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9 9. 俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为（ ）．（参考数据：） A. B. C. D. 10. 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，如图，连接，，若与相似，则下列结论中正确的是（ ） A. 大正方形与小正方形的面积比为3 B. 与也相似 C. 与的相似比 D. 与的面积比 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，直线，，，，则的长为______． 12. 一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 13. 用配方法解方程时，把方程化成的形式，则________． 14. 如图，三角形①，②，③，④是四个完全相同的三角形，从这四个三角形中任选两个三角形，则这两个三角形只有一个公共顶点的概率是______． 15. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为________米． 16. 如图，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；再次折叠纸片，使点B，P分别落在与上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．有如下5个结论：①四边形是矩形；②；③；④；⑤．其中一定正确的有______．    三、解答题（本大题有9小题，共86分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图，在菱形中，对角线与交于O点，E是中点，连接，过点C作交的延长线于点F，连接．求证：四边形是矩形． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设，是方程的两个根，求的值． 20. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 21. 如图，已知是菱形的一条对角线． （1）尺规作图：在上方求作点，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，若，，求的面积． 22. 合肥百货大楼以进价120元购进某种新商品，在5月份试销阶段发现，在售价不低于130元的情况下每件售价（元）与商品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格/元 130 135 140 … 180 … 日销售量/件 70 65 60 … a … （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的a值为 （2）若百货大楼该商品柜组想日盈利达到1600元，应将售价定为多少元？ （3）柜组售货员小李发现销售该种商品m件与n件的利润相同，且，请直接写出m与n所满足的关系式． 23. 如图，为一栋高楼，楼的底部不能到达．某广告公司计划在楼的顶部安装一块广告宣传画，但不能超出楼顶A也不能遮住这栋楼的窗户．小明先在这栋楼周围的空地上选一个点D，并在D处安装了测角仪，测得楼的顶部A的仰角（视线与水平线所成的锐角）为，窗户顶部M的仰角为，再在的延长线上确定一点G，使米，并在地面G处，水平放置一面镜子，小明沿方向移动，当小明到F处时，恰好在镜子中看到楼的顶部A，此时测得米，小明眼睛与地面的距离米，测角仪的高度米，已知点F，G，D，B在同一条水平线上，均垂直于地面．问：计划安装的广告宣传画的高度不能超过多少米？（参考数据：，） 24. 如图，E点在正方形的边的延长线上，交于F点，点在的延长线上，且，的延长线交于H点．过点G作，交，，于M，O，N三点． （1）求证：； （2）探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）求证：B，O，D三点共线． 25. 如图1，在四边形中，，，对角线平分，交于E点，将沿翻折得． （1）求证：； （2）若， ①求的值； ②如图2，连接交于H点．求证：． 东盛教育集团2024～2025学年第一学期初三年期中联考 数学试卷 （时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】1.8 【16题答案】 【答案】①②④⑤ 三、解答题（本大题有9小题，共86分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【17题答案】 【答案】，． 【18题答案】 【答案】 证明：∵， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是矩形 【19题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∴ 故无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【20题答案】 【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个 （2） 解：游戏不公平，理由为： 列表为： 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1 蓝，红1 红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2 蓝，红2 黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄 蓝，黄 蓝 红1，蓝 红2，蓝 黄，蓝 蓝，蓝 由表格可知共有16种等可能结果，甲胜出的结果数有6种，乙胜出的结果数有10种， 故甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 【21题答案】 【答案】（1） 解：如图所示，点E即为所求； （2） 【22题答案】 【答案】（1）20；（2）160元；（3）m+n=80 【23题答案】 【答案】计划安装的广告宣传画的高度不能超过米 【24题答案】 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ∵， ∴ ， ； （2）结论：BE=EG+DG， 证明：连接， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ，， ， ∴， ∴， ∵； ∴； （3） 证明：连接，， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，, ∴ ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ，，三点共线． 【25题答案】 【答案】（1） 证明：，， ， ∵，对角线平分， ∴， ∴， ， ， ，即； 由折叠可知：， ∴ （2）①； ②证明：作于点，交于点，连接，如图2所示： 由①中结论可知．，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． ，且， 故四边形为平行四边形， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $