第二章实数同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二章实数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各式中，化简正确的是（  ） A． B． C． D． 2．已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（    ） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 3．实数：，，，（相邻两个之间依次多一个），，其中无理数有（    ）个． A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．是的一个平方根 C．的算术平方根是 D．9的算术平方根是 5．如果m=，那么m的取值范围是（   ） A．0<m<1 B．3<m<4 C．2<m<3 D．1<m<2 6．若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 7．下列说法正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．平方根等于本身的数是0，1 C．无理数包括正无理数、负无理数和零 D．实数和数轴上的点是一一对应的 8．下列化简正确的有（   ） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为，以点为原点， 以的长为半径画弧，交 x轴的正半轴于点 A，则点A的横坐标介于（   ）      A．7 和6之间 B．6和5之间 C．5和4之间 D．4和3之间 11．下列各数中，能使有意义的是（　　） A．6 B．4 C．3 D．0 12．如果的两直角边长分别为，，那么它的斜边长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（1）计算时，先算 法，再算 法，结果为 ． （2）计算时，先算 里面的，再算 法；也可利用 律，先算 法，再算 法，结果为 ． 14．已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ． 15．计算：的结果是 ． 16．若实数满足，那么的值是 ． 17．的倒数是 ． 三、解答题 18．跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319．希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①，， 又， ， 能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又， 能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数50653，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数；②它的立方根的个位数字是 ；③50653的立方根是 ． (2)求175616的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 19．小李同学探索的近似值，过程如下：面积为2的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图1），根据示意图可得图中大正方形的面积 又 当时，可略去，得方程． 解得． (1)的整数部分为___________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 20．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： （1），你能确定59319的立方根是几位数吗？ （2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？ （3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？ （4）已知185193是一个整数的立方根，请按上述方法求出它的立方根． 22．（1）在图中的数轴上作出对应的点； （2）在（1）的条件下继续作出对应的点． 23．如图，已知实数，－1，，4，其在数轴上所对应的点分别为点B，A，D，C． (1)点C与点D之间的距离为______； (2)记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a-b的值． 24．一个正方体形状的木箱容积是，求此木箱的棱长（结果精确到）． 《第二章实数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B C A D C B B 题号 11 12 答案 A D 1．D 【分析】本题考查二次根式的化简及运算，根据二次根式的性质化简及二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：，但原式结果为，错误； 选项B：，错误； 选项C： 无法合并为（因），错误； 选项D：，正确． 故选：D． 2．A 【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出 ，再由算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解：∵﹣＝0， ∴． ∴x﹣3＝2x+1． ∴x＝﹣4． ∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9． ∴x2+x﹣3的算术平方根为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键． 3．C 【分析】本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数，进行解答，即可． 【详解】解：，，（相邻两个之间依次多一个）是无理数，共个． 故选C． 4．B 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的基本概念.熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的基本概念是解题的关键. 根据立方根、平方根及算术平方根的定义逐一判断各选项的正误. 【详解】A. 的立方根是，而的立方根才是，故A错误. B. 的平方根为，因此是的一个平方根，故B正确. C. 0.1的算术平方根是，而的平方为，故C错误. D. 9的算术平方根是3，平方根才是，故D错误. 故选：B. 5．C 【分析】先估算在3与4之间，再根据m＝，即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵3＜＜4， ∴3−1＜−1＜4−1， 即2＜−1＜3， ∴m的取值范围是2＜m＜3． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分，是一道基础题． 6．A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．先求出的范围，再两边都乘以，再两边都加上，即可求出，把的值代入求出即可． 【详解】解：， ， ， ， 即的整数部分是， 的小数部分是， 即，， ， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了算术平方根的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系，熟练掌握定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系判断即可． 【详解】解：A、负数有立方根，故原说法错误；     B、平方根等于本身的数是0，故原说法错误； C、无理数包括正无理数、负无理数，故原说法错误； D、实数和数轴上的点是一一对应的，故原说法正确 故选：D． 8．C 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质逐项计算即可得出答案． 【详解】解：①，化简正确； ②，化简过程错误； ③，化简正确； 综上可知，正确的有2个， 故选C． 9．B 【分析】本题考查实数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的绝对值是， 故选：B． 10．B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，勾股定理，无理数的估算，根据勾股定理求出线段的长是解题的关键．首先根据勾股定理求出，进而得出的长，再根据点A的位置得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， ∴． ∵点A在x轴的负半轴，以点为原点， 以的长为半径画弧， ∴点A的坐标是． ， ， 点A的横坐标介于6和5之间 故选：B． 11．A 【分析】根据二次根式的有意义的条件．根据二次根式的有意义的条件：被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 所以符合条件的只有A选项． 故选：A 12．D 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．设斜边长为c，根据题意可列出化简得到即可． 【详解】解：设斜边长为c， ∵的两直角边长分别为，， ∴ ， ∵ ∴ ∴． 故选D． 13． 乘 加 括号 乘 分配 乘 减 3 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序与运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ， ∴计算时，先算乘法，再算加法，结果为； （2）方法一： ； 方法二： ． ∴计算时，先算括号里面的，再算乘法；也可利用分配律，先算乘法，再算减法，结果为3． 14．/ 【分析】根据二次根式的非负性，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点． 15． 【分析】本题考查了二次根式的计算，根据二次根式的乘法进行计算，然后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．6 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得，， ∴ ∴． 故答案为：6 17． 【分析】本题考查了立方根的运算，倒数的定义，解题的关键是掌握立方根的运算法则．根据立方根的运算直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 18．(1)①两；②7；③37 (2)56 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】（1）①，， 又， ， 能确定50653的立方根是个两位数． ②∵50653的个位数是3， 又， 能确定50653的立方根的个位数是7， ③如果划去50653后面的三位653得到数50， 而，则，可得， 由此能确定50653的立方根的十位数是3， 因此50653的立方根是37． （2）解：， 又， ， 能确定175616的立方根是个两位数 ∵175616的个位数是6， 又， 能确定175616的立方根的个位数是6， 如果划去175616后面的三位616得到数175， 而， 则， 可得， 由此能确定175616的立方根的十位数是5， 因此175616的立方根是56． 19．(1)2 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算， 对于（1），根据的范围可得答案； 对于（2），仿照小李同学的探索过程解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以的整数部分是2． 故答案为：2； （2）解：面积为7的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图2），根据示意图可得图中大正方形的面积， ． 又， ． 当时，可略去，得方程． 解得． ． 20．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的化简． （1）利用二次根式的性质进行化简即可； （2）利用二次根式的性质进行化简即可； （3）利用二次根式的性质进行化简即可； （4）利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 21．（1）59319的立方根是2位数；（2）59319的立方根的个位数是9；（3）59319的立方根的十位数是3；（4）57． 【分析】（1）依据夹逼法和立方根的定义进行解答即可； （2）先分别求得1至9的立方，然后依据末位数字是几进行判断即可； （3）利用（2）中的方法判断出个数数字； （4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可． 【详解】解：（1）∵1000＜59319＜1000000， ∴， ∴59319的立方根是2位数． 故答案为：2． （2）∵，且59319的个位数字是9， ∴59319的立方根的个位数字是9． 故答案为：9． （3）∵27＜59＜64， ∴59319的立方根的十位数字是3． 故答案为：3． （4）∵，， ∴， ∴185193的立方根是一个两位数， 又∵185193的最后一位是3， ∴它的立方根的个位数是7， 185193去掉后3位，得到185， ∵， ∴立方根的十位数是5，则立方根一定是57． 故答案为：57． 【点睛】本题主要考查的是立方根的概念，依据尾数特征进行解答是解题的关键． 22．（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数： （1）过表示2的点作数轴的垂线，截取，连接，以为圆心，为半径，画弧，交数轴的正半轴于点，则点即为所求； （2）过点作数轴的垂线，截取，连接，以为圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点，点即为所求． 【详解】解：（1）如图，点即为所求； 由作图可知：； （2）如图，点即为所求； 由作图可知：； 23．(1) (2)2-5 【分析】(1)根据两点之间的距离即可得出答案； (2)先得到a，b的值，代入代数式求值即可得出答案． 【详解】（1）∵点C表示的数为4，点D表示的数为， ∴点C与点D之间的距离为：， 故答案为：． （2）由题意得，点A表示的数为－1，点C表示的数为4，点D表示的数为 所以点A和点B之间距离为a = 点C和点D之间的距离为b= 则a-b=（-1+）-（4-）=2-5． 【点睛】本题考查实数与数轴，熟知数轴上的两个数a，b表示的点A，B之间的距离=是解答此题的关键． 24．1.6 【分析】设这个正方体木箱的棱长为，由题意得出方程，求出即可． 【详解】解：设木箱的棱长为，由题意得： ， ． 答：木箱的棱长为． 【点睛】本题考查了立方根的应用，解题的关键是能根据题意得出方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$