2025--2026学年冀教版七年级上册数学知识点归纳

第 s 章 一元一次方程 知识归纳 一、正数和负数 （1）概念 正数：大于 0 的数叫做正数． 负数：在正数前面加上负号“ － ”的数叫做负数. 注：0 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数， 自然数，有理数. （不是带“ － ”号的数都是负数，而是在正数前加“ － ”的数.） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 二、有理数 1 ．有理数的分类： 2 ．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线. 诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π . （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 3 ．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0 . 诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于 原点对称的. （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“ - ”号即可. （3）多重符号的化简：数字前面“ - ”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数 个时，化简结果为负. 4 ．绝对值： （1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 ．数 a 的绝对值记作a . （2）几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离. 三、有理数的运算 1 、法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对 值减去较小的绝对值. ③一个数同0 相加，仍得这个数. 第 1 章 有理数 知识归纳 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即 a-b=a+（-b） . （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. ②任何数同0 相乘，都得 0 . （4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数．即 a÷b=a · . （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ②正数的任何次幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0 . （6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 诠释：“奇负偶正 ”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“ － ”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3 . （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符 号，例如：（－3）× (-2）× (-6）=－36 ，而（－3）× (-2）×6=36 . （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数， 则幂为正，例如：(-3)2 = 9 ，(-3)3 = -27 . 2 ．运算律： （1）交换律：①加法交换律：a+b=b+a；②乘法交换律：ab=ba； （2）结合律：①加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）；②乘法结合律：（ab）c=a（bc） （3）分配律：a（b+c）=ab+ac 四、有理数的大小比较 （1）数轴比较法：在数轴上，从左到右的顺序表示了有理数从大到小的顺序。右边的数总比左 边的数大。 （2）法则比较法：正数大于 0 ，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 （3）作差比较法：计算两个数的差，如果差大于 0 ，则被减数大于减数； 如果差小于 0 ，则被减数小于减数； 如果差等于 0 ，则两个数相等。 （4）作商比较法：首先计算两个数的商，如果商大于 1 ，则被除数大于除数； 如果商等于 1 ，则两个数相等； 如果商大于 0 小于 1 ，则被除数小于除数； 如果商小于 0 ，则两个数异号，需结合正负性判断。 （5）倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小。 第 1 章 有理数 知识归纳 第 2 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 五、科学记数法 把一个大于 10 的数表示成a ×10n 的形式（其中1 ≤ a < 10 ，n 是正整数），此种记法叫做科学 记数法．例如：200 000= 2 × 105 . 第 1 章 有理数 知识归纳 第 3 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 一、几何体的特征与分类 1 ．常见几何体的特征 常见几何体 名称 特征 圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是大小相等的圆，侧面是曲面. 棱柱 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，一般只讨论直棱柱，其上、下两个面为形 状、大小相同的多边形，其余各面为长方形，底面为 n 边形的棱柱叫 n 棱柱. 圆锥 由两个面围成，底面是圆形，侧面为曲面. 棱锥 由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形，底面为 n 边形的 棱锥叫n 棱锥. 球体 由一个曲面围成. 2 ．几何体的分类 分类标准 举例 按柱、锥、球分类 柱体 圆柱、棱柱 锥体 圆锥、棱锥 球体 球体 按面是否有曲面 直面体 棱柱、棱锥 曲面体 圆柱、圆锥、球体 按是否有顶点 是 棱柱、棱锥、圆锥 否 圆柱、球体 注意：在对几何体分类时首先确定分类的标准，分类标准不同，结果也就不同，不论选择哪种 分类标准，都要做到不重、不漏. 第 2 章 几何图形的初步认识 知识归纳 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 二、点、线、面、体之间的关系（点动成线，线动成面，面动成体） ( 点 ← { 〔 点 )〔 〔线与线相交而成 ) ( { 线 面 {〔 （ ） ） ） , } { l 形 形 ) 形 l体 → 立体图形{〔l 三、直线相关概念 1 ．概念： 直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧 的细线 ”“一张纸的折痕 ”等实际事物进行形象描述. 2 ．表示方法： （1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图 1 所示，可表示为直线 AB(或直 线 BA) . （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图 2 所示，可以表示为直线l . 3 ．基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成. ：两点确定一条直线. 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸. （2）直线没有粗细. （3）两点确定一条直线. . （4）两条直线相交有唯一一个交点. 四、线段相关概念 1 ．概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段. 2 ．表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段 AB 或线段 BA . （2）线段也可用一个小写.英文字母来表示，如图5 所示，记作：线段 a . 第 2 章 几何图形的初步认识 知识归纳 第 2 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 3 ．“作一条线段等于已知线段 ”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线 AC 上截取 AB ＝a . 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段 a 的长度，再画一条等于这个长 度的线段. 4 ．基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短. 如图所示，在 A ，B 两点所连的线中. ，线段 AB 的长度是最短的. 注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短. （2）连接两点. 间的线段的长度，叫做这两点的距离. （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短. ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位 于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短. 5 ．线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点. 如图所示，点 C 是线段 AB 的中点，则AC = CB = AB ，或 AB ＝2AC ＝2BC. 若点 C 是线段 AB 的中点，则点 C 一定在线段 AB 上. 五、射线相关概念 1 ．概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点. 如图所示，直线l 上点 O 和它一旁的部分是一条射线，点 O 是端点. ———— l 2 ．特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长. 3 ．表示方法： （1）可以用· 两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一 点，端点写在前面，如图 8 所示，可记为射线 OA . （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图 8 所示，射线 OA 可记为射线l . 注： 第 3 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 (1)端点相同 ，而延伸方向不同 ，表示不同的射线 ．如图中射线 OA ，射线 OB 是不同的射 线. (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线 OA 、射线 OB 、射线 OC 都 表示同一条射线. 六、直线、射线、线段的区别与联系 1 ．直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分 成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线. （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线. 2 ．三者的区别如下表 注：（1）联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线 ”“射线 ”“线段 ”字样. 七、角的相关概念 1 ．角的定义 角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角 的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边. 第 4 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 第 2 章 几何图形的初步认识 知识归纳 角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的. 如图 4-3-7 所示， ∠BAC 可以看成是以 A 为端点的射线，从 AB 的位置绕点A 旋转到 AC 的位 置而成的图形. 如图 4-3-8 所示，射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OC 和起始位置 OA 成一直线时，所成的 角叫做平角； 如图 4-3-9 所示，射线 OA 绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角. 2 ．角的分类：小于平角的角可按大小分成三类： 当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角； 大于零度角小于直角的角叫锐角（0 °<锐角<90 ° ) ; 大于直角而小于平角的角叫钝角（90 °<钝角<180 ° ) . 1 周角＝2 平角＝4 直角＝360 ° , 1 平角＝2 直角＝180 ° , 1 直角＝90 ° . 3 ．角的表示方法：角用几何符号“ ∠ ”表示，角的表示方法可归纳为以下三种： （1）用三个大写英文字母表示，如图 4-3-3 所示，记作∠AOB 或∠BOA ，其中，O 是角的顶 点，写在中间；A 和 B 分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置. （2）用一个大写英文字母表示，如图 4-3-3 所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以 这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图 4-3-4 所示，∠AOC 就不能记作∠O．因 为此时以 O 为顶点的角不止一个，容易混淆. （3）用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上 阿拉伯数字或小写希腊字母α、 β、 γ等．如图 4-3-4 所示，∠AOB 记作∠l ，∠BOC 记作∠2；如 图 4-3-5 所示， ∠AOB 记作∠β, ∠BOC 记作∠α. 4 ．度量角的方法：度量角的工具是量角器。 用量角器量角时要注意：①对中（顶点对中心）； ②重合（一边与刻度尺上的零度线重合） ③读数（读出另一边所在线的刻度数）. 第 5 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 5 ．角的换算：在量角器上看到，把一个平角 180 等分，每一份就是 1 ° 的角. 1 ° 的 为 1 分，记作“ 1 ′ ”，即 l ° = 60 ′ . 1 ′ 的 为 1 秒，记作“ 1 ″ ”，即 1 ″ ＝60 ″ . 八、角的比较 1 ．角的比较方法 （1）度量法：如图 4-4-4 所示，用量角器量得∠1 ＝40 ° , ∠2 ＝30 ° , 所以∠1＞∠2 . （2）叠合法：比较∠ABC 与∠DEF 的大小，先让顶点 B 、E 重合，再让边 BA 和边 ED 重合，使 另一边 EF 和 BC 落在 BA(DE)的同侧. 如果 EF 和 BC 也重合(如图 4-4-5(1)所示），那∠DEF 等于∠ABC．记作∠DEF= ∠ABC； 如果 EF 落在∠ABC 的外部(如图 4-4-5(2)所示），那么∠DEF 大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC； 如果 EF 落在∠ABC 的内部(如图 4-4-5(3)所示），那么∠DEF 小于∠ABC，记作∠DEF<∠ABC . 提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较 ”. 2 ．角的和、差 由图 4-4-7(1) 、(2) ，已知∠1 ， ∠2 ，图 4-4-7(3)中， ∠ABC = ∠1+∠2；图 4-4-7(4)中， ∠GEF = ∠DEG-∠1 . 3 ．角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 如图 4-4-9 所示，射线 OC 是∠BOA 的平分线，则∠BOC = ∠COA = ∠BOA ， ∠BOA ＝2∠BOC =2∠COA . 4 ．方向的表示 （1）方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于 900 的水平角。 第 2 章 几何图形的初步认识 知识归纳 第 6 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度．如图 4-4-2 所示，OA 是表 示北偏东 30 ° 的一条射线．特别地，射线 OC 表示北偏西 45 。或写成西北方向. （2）仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 九、余角、补角 1 ．余角定义： 如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示： 如果∠α+ ∠ β=90 ° , 那么∠α与∠β余角； 反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+ ∠ β=90 ° 2 ．补角定义： 如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示： 如果∠α+ ∠ β=180 ° , 那么∠α与∠β互补； 反过来，如果∠α与∠β互补，那么∠α+ ∠ β=180 ° 第 2 章 几何图形的初步认识 知识归纳 第 7 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 一、代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式. 【要点提示】 1 ．单个数字与字母也是代数式； 2 ．代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号； 3 ．代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解. 二、代数式的书写规则 1 ．代数式中出现的乘号通常用“ . ”表示或者省略不写； 数与字母相乘时，数应写在字母前面； 数与数相乘时，仍用“ × ”号； 2 ．带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘； 3 ．在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写； 4 ．在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则 单位直接写在式子后面；如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将 单位名称写在式子的后面. 三、列代数式 1．列代数式概念：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式. 2 ．正确列出代数式，要掌握以下几点： （1）列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系； （2）要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等； （3）要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 四、代数式的值 1 ．已知字母的值，直接代入求代数式的值； 2 ．已知式子的值，整体代入求代数式的值. 第 3 章 代数式 知识归纳 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 一、单项式 1 ．单项式的概念：如-2xy2 ， mn ，-1 ，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独 的一个数或一个字母也是单项式. 【要点提示】 （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子； ②单独的一个数； ③单独的一个字母. （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算. 如： 可以写成st 。但若分母中含有字母，如 就不是单项式，因为它无法写成数字与字 母的乘积. 2 ．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 【要点提示】 （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是 1 或-1 时，“ 1 ”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：1 x2y 写成 x2y . 3 ．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 【要点提示】单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是 1 ，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算. 二、多项式 1 ．多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式. 【要点提示】“几个 ”是指两个或两个以上. 2 ．多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 【要点提示】（1）多项式的每一项包括它前面的符号. （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：6x2 - 2x - 7 是一个三项式. 3 ．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数. 【要点提示】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数. （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出. 第 4 章 整式的加减 知识归纳 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 三、整式 概念：单项式与多项式统称为整式. 【要点提示】 （1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示，即单项式、多项式必是整式，但反过 来就不一定成立. （2）分母中含有字母的式子一定不是整式. 四、同类项 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式. 【要点提示】 （1）判断是否同类项的两个条件： ①所含字母相同； ②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可. （2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关. （3）一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项. 五、合并同类项 1 ．概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 2 ．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变. 【要点提示】 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有. （2）合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 六、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 【要点提示】 （1）去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+ ”号时，可以看作+1 与括号 内的各项相乘；当括号前为“- ”号时，可以看作-1 与括号内的各项相乘. 第 4 章 整式的加减 知识归纳 第 2 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+ ”号，还是“- ”号，然后再根据法则去掉括号及前 面的符号. （3）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但 是一定要注意括号前的符号. （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 七、添括号法则 添括号后，括号前面是“+ ”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“- ”号，括到括号里的各项都要改变符号. 【要点提示】 （1）添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+ ”号或“- ”号 也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移 ”出来得到的. （2）去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 八、整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【要点提示】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项. （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来. （3）整式加减的最后结果中： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数. 第 4 章 整式的加减 知识归纳 第 3 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 一、基本概念 1 ．等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子 2 ．方程的概念：含有未知数的等式 3 ．一元一次方程的概念：（1）只含有 1 个未知数； （2）未知数的最高次数为 1 次； （3）等式两边都是整式. 二、等式的性质：若a = b ，则a + c = b + c 、a - c = b- c 、ac = bc 、 = . 特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为 0 的数. 三、解一元一次方程 1 ．去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号） 2 ．去括号（带着符号计算，不要漏乘） 3 ．移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要） 4 ．合并同类项 5 ．系数化为 1（系数不能为 0 ，若未知数的系数含有字母则需要讨论） 四、列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为 x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 五、一元一次方程的应用 一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题；（2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价－进价，利润率 = 进价 (利润) × 100%； （4）工程问题 (①工作量＝人均效率×人数×时间； ②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度）. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$