【第二十五章 概率初步 03讲 用频率估计概率】【两大知识点+四大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十五章 概率初步 03讲 用频率估计概率 题型归纳 【题型1. 频率与概率的关系】……………………………………………………… 2 【题型2. 求某件事的频率】………………………………………………………… 4 【题型3. 由频率估计概率】………………………………………………………… 6 【题型4. 概率的应用】……………………………………………………………… 10 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 16 知识清单 知识点1 频率和概率的关系 稳定性 大量重复试验 1.频率和概率的联系：频率 概率事件发生的 频繁程度 事件发生的 可能性大小 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值. 2.频率和概率的区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的频率都可能不同；而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关. 知识点2 利用频率估计概率 1.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A发生的概率，P（A）=p . 2.用频率估计概率的适用对象：当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，可通过统计频率估计概率. 【提示】 ① 试验得出的频率只是概率的近似值； ② 概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生； ③ 概率是指在大量重复试验中事件发生的频率的一个近似值，而不是每次试验中事件发生的频率. 题型专练 题型1. 频率与概率的关系 【例1】（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 【分析】本题考查了概率的概念，频率的定义理解，掌握概率和频率的相关知识是解题的关键．根据事件发生的可能性的大小，以及频率的概念逐项分析即可． 【详解】解：A. 小明做了4次抛瓶盖的试验，虽然有3次盖口向上，单盖口向上的概率是，故该选项不正确，不符合题意； B. 抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率相近，但不一定相同，故该选项不正确，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，不一定会有5次正面朝上，故该选项不正确，不符合题意； D. 在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【分析】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案． 【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意； B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 题型2. 求某件事的频率 【例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球50次，其中摸到白球6次，则这50次摸球中，摸到白球的频率为____________； (2)现在袋中加入5个白球，并将袋子充分摇匀后，随机摸出一个球，求摸到白球的概率． 【分析】此题考查了频率和概率，根据频率和概率的定义进行解答即可． （1）根据频数除以总数即可得到频率； （2）用白球的个数除以球的总个数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即这50次摸球中，摸到白球的频率为； （2）因为加入5个白球后，袋中共有白球：（个）， 袋中一共有球：（个）， 所以随机摸出一个球，摸到白球的概率为． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 【详解】解：（棵）， 故选：B 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 【变式3】（2025·陕西榆林·模拟预测）小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【分析】本题考查了求频率，画树状图求概率，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数，即可求解； （2）画出树状图或列表可知共有种情况，分别算出两个人获胜的概率，如果相等则说明游戏公平，不相等，说明不公平． 【详解】（1）解：小亮随机摸球次，其中次摸出的小球上的数字是， 故摸出的小球上的数字是的频率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由上图可知共有种等可能的结果，其中小明获胜的结果数有种，小亮获胜的结果数有种， 故小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏规则对两人不公平． 题型3. 由频率估计概率 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．则红色卡片的数量约为（   ） A．8张 B．4张 C．10张 D．12张 【分析】本题考查频率估计概率，根据概率公式求数量，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得抽到红色卡片的概率为，进而根据卡片的总数为20张，即可求解． 【详解】解：由题意可得，抽到红色卡片的概率为， 故红色卡片的数量为：（张）， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）某公园移植A种花卉前查阅资料得到该花卉移植的成活率如下图． (1)A种花卉成活的频率稳定在__________附近，估计成活概率为________；（精确到0.1） (2)该公园规划共需要成活A种花卉9000株，分两批采购，第一批购入2000株，估计第二批需购入多少株？ 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据统计图，以及频率和概率之间的关系，进行作答即可； （2）利用需要成活的数量除以概率再减去已经移植的数量计算即可． 【详解】（1）解：由统计图可知：这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）解：（株） 答：估计第二批需购入8000株． 【变式1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现鲤鱼、鲫鱼出现的频率分别是和，则估计这个水塘里有鲤鱼 尾，鲢鱼 尾． 【分析】本题是利用频率估计概率．根据频率、频数的关系：频数=频率×数据总和，可分别求鲤鱼，鲫鱼的尾数，再根据各小组频数之和等于数据总和，可求鲢鱼的尾数． 【详解】解：根据题意可得这个水塘里有鲤鱼（尾）， 鲫鱼（尾）， 鲢鱼（尾）． 故答案为310，270 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 z 命中的频率 y (1)填空：__________，__________，__________； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是__________（精确到）； (3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，他命中的次数大约是__________次； (4)如果该运动员重新再投篮500次，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可． （4）根据概率的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是； 故答案为：； （3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为次， 故答案为：． （4）解：不会一样，理由如下： 由（2）可知，该运动员投中的概率为，故随着试验次数的增加，该运动员投球的频率在左右波动，故每次试验命中的球数会有所波动，结果不可能跟上一次完全相同． 【变式3】（23-24七年级下·广东深圳·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）： 转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400 请根据表格完成以下问题： (1)______； (2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）； (3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ (4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______． 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率频数总数，计算即可得出答案； （2）由频数乘以频率即可得到答案； （3）利用频率估计概率求解即可． （4）由稳定的频率可得概率 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在附近； （4）解：估计落在“减免20元券”区域的概率是 题型4. 概率的应用 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）临潼石榴集中国石榴之优，位居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．某研究院跟踪调查了一批石榴树的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批石榴树移栽成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在，由此即可得解． 【详解】解：由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在， 故这批石榴树移栽成活的概率约为， 故选：B ． 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）用“纸巾”对应牌的数量除以牌的总数量即可； （2）用“纸巾”、“牙刷”“太阳伞”对应牌的总数量除以牌的总数量即可； （3）根据题意，可知本题答案不唯一，只要九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞即可． 【详解】（1）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个， 抽到“纸巾”奖品的可能性是：； 故答案为：； （2）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个， 小深中奖的概率是 故答案为：； （3）解：设计九张牌中九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞，如图所示： 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了概率的应用．掌握事件的所有情况的概率之和为1成为解题的关键． 根据事件的所有情况的概率之和为1解答即可． 【详解】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴他遇到红灯的概率是：． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． 【详解】（1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （2）10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【分析】本题考查简单概率问题，涉及简单概率公式、事件分类等知识，读懂题意，熟练掌握一步概率问题的求法是解决问题的关键． （1）由题意，结合简单概率公式求解即可得到他能获得购物券的概率是，再由转盘上没有蓝色区域，即可得到甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； （2）如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，他得到50元购物券的概率是；若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘被等分成20个扇形，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，则转盘上红、绿或黄色区域共有11份， 他能获得购物券的概率是； 转盘上没有蓝色区域， 甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； 故答案为：，不可能事件； （2）解：如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，则他得到100元购物券的概率是； （3）解：如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，则他得到50元购物券的概率是； 若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【变式4】（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【分析】本题考查概率公式，应用与设计作图， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）用扇形的个数乘对应的概率求出扇形的个数，从而得出答案； 解题的关键是掌握概率公式∶（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ）． 【详解】（1）解：∵共有张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同， ∴总情况数 ， 又∵ “①”是其中张刮刮卡，即抽中“①”的情况数， ∴抽中“①”的概率． 故答案为：； （2）∵转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、、的最小公倍数)， 又∵①的概率是，则①对应的份数：份 ； ②的概率是，则②对应的份数：份； ③的概率是；则③对应的份数：份； ∴④的概率：， 则④对应的份数也是份（与③概率相同，份数相同 ）， 分配扇形内容如下： 按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占份，③占份，④占份， 如图： 巩固练习 一、单选题 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表，根据抽测结果，估计该区初中生体质健康合格的概率最可能是（   ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 A． B． C． D． 【分析】本题考查利用频率估算概率，解题的关键是掌握利用频数估算概率的意义． 根据表格中的数据，结合概率是频率的稳定值，且试验次数越多，越趋近稳定值，进行判断即可． 【详解】解：由图表可知， 该区初中生体质健康合格的概率最可能是， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）在一个不透明的布袋中装有个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，这个近似值就是这个事件的概率，再利用概率公式计算即可求解，掌握频率和概率的关系是解题的关键． 【详解】解：设布袋中黑球的个数为， 由题意得，， 解得， ∴布袋中黑球的个数可能有个， 故选：． 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的，下列说法错误的是（　　） A．钉尖着地的频率是0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．频率所求情况数与总情况数之比．利用已知数据先求出频率，再估算概率分别判断即可． 【详解】解：A、钉尖着地的频率是：，故此选项正确，不符合题意； B、随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近，故此选项正确，不符合题意； C、前10次试验结束后，钉尖着地的次数是4次左右，并不一定是4次，故此选项错误，符合题意； D、前20次试验结束后，钉尖着地的次数是8次左右，不一定是8次，故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：B． 5．（2025·贵州铜仁·三模）为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 【分析】本题结合图表，考查了利用频率估计概率．由图可知，击中率在上下波动，故可估计击中的频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8，可判断A选项正确，B选项正确,利用击中概率乘以投球次数即可求得投球击中次数，可判断C选项，利用概率的意义，可判断D选项． 【详解】解：由统计图可知，随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在附近， 故A选项正确，B选项正确，不符合题意； 若爷爷投球20次，则爷爷投球大约能击中（次）， 故C选项的说法不正确，符合题意； 若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次， 故D选项的说法正确，不符合题意， 故选：C． 6．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）某射击运动员在同一条件下进行射击训练，结果如下表： 射击总次数 射中九环及以上的次数 射中九环及以上的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击1次就“射中九环及以上”的概率是（     ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近， ∴这名运动员射击1次时“射中九环以上”的概率约是． 故选：A． 7．（24-25七年级下·广东河源·期末）下列说法正确的是（   ） A．投一枚骰子，朝上一面的点数是，是随机事件 B．某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次一定中奖次 C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D．天气预报预计今天下雨的概率为，则今天的时间下雨 【详解】本题考查了随机事件、概率的意义及频率与概率的关系，根据各选项的描述，结合相关概念逐一判断即可，掌握相关概念是解题的关键． 【分析】解：、骰子最大点数为，出现点是不可能事件，原选项说法错误； 、概率表示平均中奖次数趋近于次，但实际抽奖次可能不中奖或中奖次数不同，原选项说法错误； 、根据大数定律，大量重复试验中事件发生的频率逐渐接近其概率，原选项说法正确； 、下雨概率指可能性而非时间占比，原选项说法错误； 故选：． 8．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， ∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为， 故选：B． 二、填空题 9．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除了颜色外其他都相同，小红从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回布袋中，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，估计布袋中黄球的个数为 个． 【分析】本题考查了利用频率估计概率．解答本题的关键要明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用频率估计出摸到黄球的概率，再用总球的个数乘以摸到黄球的概率即可得出答案． 【详解】解：∵一个不透明的布袋中装有黄球、白球共10个，其中摸到黄球的频率稳定在0.3， ∴摸到黄球的概率为0.3， ∴布袋中黄球的个数大约是（个）； 故答案为：3． 10．（24-25七年级下·广东佛山·期末）工厂对某批乒乓球的质量进行检查，随机抽查了1000个．发现优等品有825个，估计这批乒乓球中优等品出现的概率为 ． 【分析】本题考查了概率的求法，正确运用概率公式是解题的关键． 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：， 即这批乒乓球中优等品出现的概率为． 故答案为： 11．（24-25七年级下·山东淄博·期末）小颖和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、a张方块．每张牌质地、大小都相同．一人摸牌，一人记录，经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算．小颖和小亮发现摸出方块的频率越来越接近．请你估计a的值为 ． 【分析】本题主要考查了根据频率估计概率，应用概率公式进行计算．先根据摸出方块的频率越来越接近，得出摸出方块的概率为，再求出纸牌的总数为18，再求出a的值即可． 【详解】∵摸出方块的频率越来越接近， ∴摸出方块的概率为， ∴摸出红桃、黑桃的概率为：， ∴纸牌的总数为：， ∴， 故答案为：6． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）某地林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 534 902 6293 13576 成活的频率 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 （精确到）． 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题的关键． 利用表格中数据估算银杏树苗移植成活率的概率即可解答． 【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，银杏树苗移植成活的频率稳定在，可估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·四川成都·期末）七年级某班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有9个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个． 【分析】本题考查了由频率求数量，由统计图可得，黄球出现的频率稳定在，由此计算即可得解，正确得出黄球出现的频率是解此题的关键． 【详解】解：由统计图可得，黄球出现的频率稳定在， 故袋子中黄球的个数可能是（个）， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为 ． 【分析】本题考查几何概率，频率分布折线图，以及利用频率估计概率，正确理解折线统计图是解题的关键．由折线统计图可知，小球落在不规则图案内的概率约为，求出长方形的面积，再乘概率求解即可． 【详解】解：由折线统计图可知，小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 不规则图案的面积约为， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率．有下列4个实验：①掷骰子，向上一面的点数是6；②掷骰子，向上一面的点数是偶数；③掷骰子，向上一面的点数大于4．根据图中的实验记录情况，小明做的实验可能是 （填写序号即可）． 【分析】本题考查的是频率和概率的关系．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率约为，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率约为， ①掷骰子，向上一面的点数是6的概率为，故此选项不符合题意； ②掷骰子，向上一面的点数是偶数的概率为，故此选项不符合题意； ③掷骰子，向上一面的点数大于4的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③ 16．（24-25九年级下·全国·随堂练习）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，惟手熟尔，’”可见技能可以通过反复苦练而达到熟能生巧．如图，已知铜钱的直径为，厚度为，一枚铜钱的平均密度约为．为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油（油滴的大小忽略不计）随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 （用含m．n，的式子表示）． 【分析】此题考查了频率估计概率的应用和分式的加减运算，得出中心孔的面积占整个铜钱圆面积的是解题的关键．求出铜钱的体积后，再用铜钱的体积乘以铜钱的平均密度即可得到答案． 【详解】解：∵将一滴油随机滴在铜钱上，重复次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为次． ∴由此可以估计，中心孔的面积占整个铜钱圆面积的， ∴铜钱的实际面积为（）， ∴铜钱的体积为（）， ∴由此可以估计，一枚铜钱的质量约为， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ． 【分析】本题考查了用频率来估计概率，解一元一次方程，先计算正方形的面积，再建立方程求解即可，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中银杏叶的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键． 【详解】解：正方形面积为：， 设该银杏叶的面积为，依题意得： ， 解得：， ∴估计该银杏叶的面积为， 故答案为：． 三、解答题 18．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小背做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 74 149 226 373 604 750 2253 摸到白球的频率 0.740 0.745 0.753 0.746 0.755 0.750 0.751 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近_____．（结果精确到0.01） (2)若该盒子装有黑、白两种球共60个，试估算黑球的个数． 【分析】本题主要考查频率估算概率，掌握概率的计算是关键． （1）根据表格信息即可求解； （2）设黑球有个，则白球有个，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据表格信息得到当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）解：设黑球有个，则白球有个， ∴， 解得，， ∴黑球有个． 19．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 298 604 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格：______；______； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是______（精确到0.1）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 【分析】本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题． （1）根据频率频数总数求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：295；0.745； （2）估计当很大时，频率将会接近0.6， 即假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6， 故答案为：0.6； （3）， 答：在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是． 20．（24-25七年级下·四川达州·期末）某校生物兴趣小组用某种绿豆在相同条件下做发芽试验的结果如下表： 绿豆总粒数 绿豆发芽的粒数 绿豆发芽的频率（精确到） (1)______． (2)根据表中的数据，估计该种绿豆在相同条件下发芽的概率为_______．（结果精确到） (3)若该生物兴趣小组准备了粒绿豆在相同条件下做发芽试验，估计有多少粒绿豆没有发芽？ 【分析】本题考查了利用频率估计概率，通过表格及用频率估计概率可直接得出答案，解题的关键是正确理解大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （）根据绿豆发芽的频率，然后代入求解即可； （）根据表中的数据，即可估计该种绿豆在相同条件下发芽的概率； （）先求出该种绿豆在相同条件下不发芽的概率为，然后列式即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据表中的数据，估计该种绿豆在相同条件下发芽的概率为， 故答案为：； （3）解：根据表中的数据，估计该种绿豆在相同条件下发芽的概率为， ∴该种绿豆在相同条件下不发芽的概率为， ∴（粒）， 答：估计有粒绿豆没有发芽． 21．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（未掷在封闭图形内视为无效次数，可把小石子近似看成点）．将所掷小石子落在封闭图形内（含边界）的总次数与落在正方形内（含正方形边上）的次数记录如下： 50 150 300 600 … 10 35 77 149 … 0.200 0.233 0.257 0.248 … (1)根据表格，如果掷1次小石子，那么小石子落在正方形内（含正方形边上）的概率约为_____（结果精确到0.01）． (2)当时，最可能为（   ） A．105      B．249         C．518      D．815 (3)请你利用（1）中所得概率，估计整个不规则封闭图形的面积． 【分析】(1)观察数据，找到稳定值即可. (2)大量试验时，频率可估计概率，找最接近的值. (3)利用概率，用正方形面积:封闭图形的面积=概率建立方程求解. 【详解】解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大， 小石子落在正方形内(含正方形边上)的频率值稳定在0.25. 故答案为：0.25. （2）当掷小石子所落的总次数时， 小石子落在正方形内(含正方形边上)的次数n最可能为， 只有249比较接近，故答案为：B. （3）设整个不规则封闭图形的面积为． 根据题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的根，且符合题意． 故估计整个不规则封闭图形的面积为． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率. 22．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 500 800 1000 事件A出现的次数m 34 64 160 b 330 事件A发生的频率 0.34 a 0.32 0.33 0.33 (1)表中______，______； (2)根据上表，完成折线统计图． 【分析】本题考查了频率和折线统计图，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，得，，解答即可． （2）根据题意，画出图即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得． （2）解：根据题意，折线图画图如下： 23．（23-24九年级上·广东梅州·期中）（1）解方程：． （2）我市某工厂对一批灯泡的质量进行了随机调查，见下表： 抽取灯泡的数量a 40 100 200 500 1000 3000 优等品的数量b 36 92 182 455 910 2730 优等品的频率b/a 0.9 0.92 0.91 0.91 填写表格； 根据所抽取的灯泡优等品的频率，估计这批灯泡优等品的概率是多少？ （结果精确到0.01） 【分析】本题考查了解一元二次方程，由频率估计概率，解题的关键是： （1）根据因式分解法求解即可， （2）①用优等品的数量除以抽取灯泡的数量求解即可； ②由表中数据可判断频率在0.91附近，利用频率估计概率即可求解． 【详解】（1）解：移项得， 将左边因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：①；． 故答案为： 0.91；0.91； ②由表可知，所抽取的灯泡优等品的频率在0.91附近， ∴估计这批灯泡优等品的概率是0.91． 24．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 【分析】本题考查了频率估计概率，画树状图或列表法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率； （）通过摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率，然后通过口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球； （）画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，然后利用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， ∴口袋中有白球（只），黑球（只）， 答：口袋中黑色的球只，白色的球有只； （3）解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果， ∴两次都摸到白球的概率为． 25．（24-25七年级下·河北保定·期末）某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：在一个不透明的袋子里，装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同，充分摇匀后，任意摸一球，摸到红球则小明去，摸到绿球则小亮去．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球30次，其中摸到绿球10次，则这30次摸球中，摸到绿球的频率为___________； (2)袋子中红、绿球各有多少个？ (3)你认为这个规则公平吗？请说明理由． 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． （1）根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值求解即可； （2）先根据概率公式求出红球个数，再设绿球有个，则黄球有个，建立方程求解即可； （3）直接根据概率公式求出摸到绿球的概率，比较摸到红球和摸到绿球概率大小即可得出结论． 【详解】（1）摸到绿球的频率为， 故答案为. （2）解：红球个数：（个）， 设绿球有个，则黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， 红球有20个，绿球有8个． （3）解：从袋中随机摸出一球，共有60种等可能的结果，其中摸出绿球的结果有8种， 从袋中随机摸出一球是绿球的概率为． ∵，即摸到红球概率大， ∴这个规则不公平，小明去可能性大． 26．（24-25七年级下·河南郑州·期末）数学兴趣小组利用AI技术探究事件发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数 100 200 300 400 500 事件出现的次数 28 64 87 165 事件发生的频率 (1)表中______，______，并把折线统计图补充完整； (2)根据以上数据可得事件发生的概率为______； (3)根据该试验结论，小组同学认为在一个装有若干黑球和白球的不透明袋子中，随机摸出一个球是黑球的概率为．已知袋子中球的总数不超过20个，请设计一种符合条件的黑球与白球的数量搭配方案． 【分析】本题考查了折线统计图、概率公式． （1）根据事件P发生的频率等于可得a，b的值；根据题意补全折线统计图即可； （2）随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近，可知事件P发生的概率为； （3）结合概率公式按要求设计方案即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 补全折线统计图如图所示． 故答案为：；124； （2）随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近， ∴事件P发生的概率为． 故答案为：； （3）黑球有3个，白球有7个（答案不唯一）， 此时袋中共有10个球， ∴随机摸出一个球是黑球的概率为，符合题意． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 概率初步 03讲 用频率估计概率 题型归纳 【题型1. 频率与概率的关系】……………………………………………………… 2 【题型2. 求某件事的频率】………………………………………………………… 3 【题型3. 由频率估计概率】………………………………………………………… 4 【题型4. 概率的应用】……………………………………………………………… 6 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 9 知识清单 知识点1 频率和概率的关系 稳定性 大量重复试验 1.频率和概率的联系：频率 概率事件发生的 频繁程度 事件发生的 可能性大小 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值. 2.频率和概率的区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的频率都可能不同；而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关. 知识点2 利用频率估计概率 1.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A发生的概率，P（A）=p . 2.用频率估计概率的适用对象：当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，可通过统计频率估计概率. 【提示】 ① 试验得出的频率只是概率的近似值； ② 概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生； ③ 概率是指在大量重复试验中事件发生的频率的一个近似值，而不是每次试验中事件发生的频率. 题型专练 题型1. 频率与概率的关系 【例1】（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 【变式1】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 题型2. 求某件事的频率 【例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球50次，其中摸到白球6次，则这50次摸球中，摸到白球的频率为____________； (2)现在袋中加入5个白球，并将袋子充分摇匀后，随机摸出一个球，求摸到白球的概率． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 【变式3】（2025·陕西榆林·模拟预测）小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 题型3. 由频率估计概率 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．则红色卡片的数量约为（   ） A．8张 B．4张 C．10张 D．12张 【例2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）某公园移植A种花卉前查阅资料得到该花卉移植的成活率如下图． (1)A种花卉成活的频率稳定在__________附近，估计成活概率为________；（精确到0.1） (2)该公园规划共需要成活A种花卉9000株，分两批采购，第一批购入2000株，估计第二批需购入多少株？ 【变式1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现鲤鱼、鲫鱼出现的频率分别是和，则估计这个水塘里有鲤鱼 尾，鲢鱼 尾． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 z 命中的频率 y (1)填空：__________，__________，__________； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是__________（精确到）； (3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，他命中的次数大约是__________次； (4)如果该运动员重新再投篮500次，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【变式3】（23-24七年级下·广东深圳·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）： 转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400 请根据表格完成以下问题： (1)______； (2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）； (3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ (4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______． 题型4. 概率的应用 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）临潼石榴集中国石榴之优，位居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．某研究院跟踪调查了一批石榴树的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批石榴树移栽成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【变式4】（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 巩固练习 一、单选题 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表，根据抽测结果，估计该区初中生体质健康合格的概率最可能是（   ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）在一个不透明的布袋中装有个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的，下列说法错误的是（　　） A．钉尖着地的频率是0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 4．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州铜仁·三模）为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 6．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）某射击运动员在同一条件下进行射击训练，结果如下表： 射击总次数 射中九环及以上的次数 射中九环及以上的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击1次就“射中九环及以上”的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·广东河源·期末）下列说法正确的是（   ） A．投一枚骰子，朝上一面的点数是，是随机事件 B．某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次一定中奖次 C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D．天气预报预计今天下雨的概率为，则今天的时间下雨 8．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除了颜色外其他都相同，小红从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回布袋中，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，估计布袋中黄球的个数为 个． 10．（24-25七年级下·广东佛山·期末）工厂对某批乒乓球的质量进行检查，随机抽查了1000个．发现优等品有825个，估计这批乒乓球中优等品出现的概率为 ． 11．（24-25七年级下·山东淄博·期末）小颖和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、a张方块．每张牌质地、大小都相同．一人摸牌，一人记录，经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算．小颖和小亮发现摸出方块的频率越来越接近．请你估计a的值为 ． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）某地林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 534 902 6293 13576 成活的频率 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 （精确到）． 13．（24-25七年级下·四川成都·期末）七年级某班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有9个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个． 14．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为 ． 15．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率．有下列4个实验：①掷骰子，向上一面的点数是6；②掷骰子，向上一面的点数是偶数；③掷骰子，向上一面的点数大于4．根据图中的实验记录情况，小明做的实验可能是 （填写序号即可）． 16．（24-25九年级下·全国·随堂练习）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，惟手熟尔，’”可见技能可以通过反复苦练而达到熟能生巧．如图，已知铜钱的直径为，厚度为，一枚铜钱的平均密度约为．为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油（油滴的大小忽略不计）随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 （用含m．n，的式子表示）． 17．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ． 三、解答题 18．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小背做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 74 149 226 373 604 750 2253 摸到白球的频率 0.740 0.745 0.753 0.746 0.755 0.750 0.751 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近_____．（结果精确到0.01） (2)若该盒子装有黑、白两种球共60个，试估算黑球的个数． 19．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 298 604 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格：______；______； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是______（精确到0.1）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 20．（24-25七年级下·四川达州·期末）某校生物兴趣小组用某种绿豆在相同条件下做发芽试验的结果如下表： 绿豆总粒数 绿豆发芽的粒数 绿豆发芽的频率（精确到） (1)______． (2)根据表中的数据，估计该种绿豆在相同条件下发芽的概率为_______．（结果精确到） (3)若该生物兴趣小组准备了粒绿豆在相同条件下做发芽试验，估计有多少粒绿豆没有发芽？ 21．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（未掷在封闭图形内视为无效次数，可把小石子近似看成点）．将所掷小石子落在封闭图形内（含边界）的总次数与落在正方形内（含正方形边上）的次数记录如下： 50 150 300 600 … 10 35 77 149 … 0.200 0.233 0.257 0.248 … (1)根据表格，如果掷1次小石子，那么小石子落在正方形内（含正方形边上）的概率约为_____（结果精确到0.01）． (2)当时，最可能为（   ） A．105      B．249         C．518      D．815 (3)请你利用（1）中所得概率，估计整个不规则封闭图形的面积． 22．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 500 800 1000 事件A出现的次数m 34 64 160 b 330 事件A发生的频率 0.34 a 0.32 0.33 0.33 (1)表中______，______； (2)根据上表，完成折线统计图． 23．（23-24九年级上·广东梅州·期中）（1）解方程：． （2）我市某工厂对一批灯泡的质量进行了随机调查，见下表： 抽取灯泡的数量a 40 100 200 500 1000 3000 优等品的数量b 36 92 182 455 910 2730 优等品的频率b/a 0.9 0.92 0.91 0.91 填写表格； 根据所抽取的灯泡优等品的频率，估计这批灯泡优等品的概率是多少？ （结果精确到0.01） 24．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 25．（24-25七年级下·河北保定·期末）某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：在一个不透明的袋子里，装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同，充分摇匀后，任意摸一球，摸到红球则小明去，摸到绿球则小亮去．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球30次，其中摸到绿球10次，则这30次摸球中，摸到绿球的频率为___________； (2)袋子中红、绿球各有多少个？ (3)你认为这个规则公平吗？请说明理由． 26．（24-25七年级下·河南郑州·期末）数学兴趣小组利用AI技术探究事件发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数 100 200 300 400 500 事件出现的次数 28 64 87 165 事件发生的频率 (1)表中______，______，并把折线统计图补充完整； (2)根据以上数据可得事件发生的概率为______； (3)根据该试验结论，小组同学认为在一个装有若干黑球和白球的不透明袋子中，随机摸出一个球是黑球的概率为．已知袋子中球的总数不超过20个，请设计一种符合条件的黑球与白球的数量搭配方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$