【第二十四章 圆 03讲 正多边形和圆】【三大知识点+四大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十四章 圆 03讲 正多边形和圆 题型归纳 【题型1. 求正多边形的中心角】…………………………………………………… 3 【题型2. 已知正多边形的中心角求边数】………………………………………… 4 【题型3. 正多边形和圆的综合】…………………………………………………… 5 【题型4. 尺规作图——正多边形】………………………………………………… 6 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 8 知识清单 知识点1 与正多边形有关的概念 1.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 2.中心的概念：把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 3.半径的概念：外接圆的半径叫做正多边形的半径. 4.中心角的概念：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角. 5.边心距的概念：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 知识点2 与正多边形有关的计算 1.正n边形的中心角 2.正n边形的每个内角 3.正n边形的每个外角 【提示】 ① 正多边形的中心角和外角的大小相等； ② 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，如图； ③ 设正多边形的面积为S，周长为l，边心距为r，则 . 知识点3 正n边形的画法 求作：画一个边长为1.5cm的正六边形 步骤：（1）以1.5cm为半径作一个⊙O； （2）用量角器画一个等于的圆心角，它对着一段弧； （3）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的6个等分点； （4）顺次连接各分点，即可得到正六边形. 【提示】对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作： 由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形（图24.3-6（2））. 用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（图24.3-7）. 题型专练 题型1. 求正多边形的中心角 【例1】（2025·广西南宁·模拟预测）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东汕头·一模）等边三角形的中心角等于 度． 【变式1】（2025·上海宝山·二模）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 【变式2】（2025·山东济宁·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式4】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）正八边形的内角是 度，外角是 度，中心角是 度． 题型2. 已知正多边形的中心角求边数 【例1】（2024·福建厦门·模拟预测）如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海杨浦·模拟预测）如果将一个正多边形绕它的中心旋转后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形的边数是 ． 【变式1】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 【变式2】（2025·安徽合肥·三模）如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【变式4】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． 题型3. 正多边形和圆的综合 【例1】（2025·安徽滁州·二模）如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，在正多边形中，若，则该多边形的边数为 ． 【变式1】（2025·安徽六安·三模）我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为1，若用如图所示的的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，则产生的正误差为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．    【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    【变式4】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 题型4. 尺规作图——正多边形 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，六边形为正六边形，点O为对角线的交点，的面积等于1，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)． (1)在图1中作出一个面积等于4的矩形； (2)在图2中作出一个面积等于4 的菱形． 【变式3】（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·湖北·一模）如图，正五边形内接于⊙O，点F是劣弧上一点(点F不与点D，E重合)，连接，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·一模）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·山东德州·期中）如图，、分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽合肥·三模）如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山西·模拟预测）平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 7．（2025·浙江金华·三模）下列图形不能被边长为4的正方形完全覆盖的是（  ） A．半径为2的圆 B．半径为的半圆 C．两边长分别为，的三角形 D．斜边长为5的直角三角形 8．（2025·河北沧州·模拟预测）司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点代表八个方位，如图，与交于点，则点位于点的（   ） A．南偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏东方向 9．（2025·贵州毕节·三模）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北唐山·二模）如图8−1，正六边形中，是其对角线，点是边上不与端点重合的动点，下面是两位同学的操作和结论： 嘉嘉 操作：过点作， 交延长线于点． 结论：一定是正三角形 琪琪 操作：过点作， 分别交、于点、． 结论：的长度不变 则对于这两个结论（    ） A．嘉嘉和琪琪均错误 B．嘉嘉和琪琪均正确 C．嘉嘉正确，琪琪错误 D．嘉嘉错误，琪琪正确 二、填空题 11．（2025·陕西咸阳·二模）如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为 ． 12．（2025·江苏南京·二模）如图，在正多边形中，若，则 ． 13．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一个正边形的中心角与其一个内角的度数之比为，则 ． 14．（24-25九年级下·上海宝山·阶段练习）如果一个正多边形的外角是度，那么它的中心角是 度 15．（2025·陕西西安·模拟预测）若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 ． 16．（2025·安徽滁州·三模）如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为 ． 17．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）半径为的圆内接正四边形的面积为 ． 18．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为 ． 19．（2025·湖北黄石·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 20．（2025·安徽·模拟预测）如图，在内接正六边形中，连接，交于点．设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 三、解答题 21．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 22．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 23．（24-25九年级下·江西九江·开学考试）请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 24．（2025·江西·模拟预测）如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； (2)如图2，作一个底角为的等腰三角形． 25．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： (1)如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 26．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 27．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，的周长等于，正六边形内接于． (1)求圆心到的距离． (2)求正六边形的面积． 28．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心的长． 29．（24-25九年级上·全国·期末）如图，的半径为r，六边形是圆的内接正六边形，四边形是正方形．    (1)求正六边形与正方形的面积比； (2)连接，求度数． 30．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆 03讲 正多边形和圆 题型归纳 【题型1. 求正多边形的中心角】…………………………………………………… 3 【题型2. 已知正多边形的中心角求边数】………………………………………… 6 【题型3. 正多边形和圆的综合】…………………………………………………… 9 【题型4. 尺规作图——正多边形】………………………………………………… 13 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 19 知识清单 知识点1 与正多边形有关的概念 1.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 2.中心的概念：把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 3.半径的概念：外接圆的半径叫做正多边形的半径. 4.中心角的概念：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角. 5.边心距的概念：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 知识点2 与正多边形有关的计算 1.正n边形的中心角 2.正n边形的每个内角 3.正n边形的每个外角 【提示】 ① 正多边形的中心角和外角的大小相等； ② 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，如图； ③ 设正多边形的面积为S，周长为l，边心距为r，则 . 知识点3 正n边形的画法 求作：画一个边长为1.5cm的正六边形 步骤：（1）以1.5cm为半径作一个⊙O； （2）用量角器画一个等于的圆心角，它对着一段弧； （3）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的6个等分点； （4）顺次连接各分点，即可得到正六边形. 【提示】对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作： 由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形（图24.3-6（2））. 用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（图24.3-7）. 题型专练 题型1. 求正多边形的中心角 【例1】（2025·广西南宁·模拟预测）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查求正多边形中心角度数，掌握正n边形中心角的计算公式是解题的关键． 用除以正多边形的边数，计算即可． 【详解】解： 故选：C． 【例2】（2025·广东汕头·一模）等边三角形的中心角等于 度． 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法． 根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：等边三角形的中心角等于； 故答案为：120． 【变式1】（2025·上海宝山·二模）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义和多边形的内角和公式．设这个正多边形的边数为列方程求出再根据正多边形每条边所对的中心角都相等，列出算式进行计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为列方程得： ， 解得， ∴这个正多边形的中心角的度数为：， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 【变式2】（2025·山东济宁·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆是解题的关键；连接，由题意易得正八边形每段弧所对的圆心角为，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，可知：正八边形每段弧所对的圆心角为， ∴， ∴点位于点的北偏东的角度是； 故选：C． 【变式3】（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心角，连接，则，可证明是等边三角形，，则可得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离的长为2， 故选：B． 【变式4】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）正八边形的内角是 度，外角是 度，中心角是 度． 【分析】此题主要考查了正多边形的中心角与内角度数的求法，关键是掌握多边形内角与外角的关系． 利用多边形的外角和为360度，求出正八边形的每一个外角的度数，进而可得到内角的度数；根据正多边形的圆心角定义可知：正边形的中心角为：，代入求解即可． 【详解】解：∵正八边形的每个外角为：， ∴每个内角为； 正八边形的中心角为：． 故答案为：． 题型2. 已知正多边形的中心角求边数 【例1】（2024·福建厦门·模拟预测）如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【分析】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键．根据点的坐标求出的长，再根据正六边形的性质求出，进而求出的坐标即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选:． 【例2】（2025·上海杨浦·模拟预测）如果将一个正多边形绕它的中心旋转后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形的边数是 ． 【分析】本题主要考查了正多边形中心角与其边数的关系，正多边形的中心角等于360度除以其边数，根据题意可得该正多边形的中心角为，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，该正多边形的中心角为， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：12． 【变式1】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解题的关键． 根据正多边形的中心角计算公式为：中心角边数，求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为． 由题意可得：，解得：． 故选B． 【变式2】（2025·安徽合肥·三模）如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接、、、，由题意可得，，，由圆周角定理计算得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、、、， 由题意可得：，，， ∴， ∴若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为， 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键． 根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以这个正多边形是正九边形， 故选：B． 【变式4】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． 【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案． 【详解】解：连接，，如下图， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵ ∴， ∴这个正多边形的边数． 故答案为：． 题型3. 正多边形和圆的综合 【例1】（2025·安徽滁州·二模）如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质是正确解答的关键．根据正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：点O是正六边形的中心， 是正三角形， ， 又点O是正方形的中心， 是等腰直角三角形， ， ， 故选：B． 【例2】（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，在正多边形中，若，则该多边形的边数为 ． 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．根据正多边形的性质，中心角的计算方法以及圆周角定理列方程求解即可 【详解】解：如图，设这个正边形的外接圆为，连接，， 则， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 这个正多边形是正十边形， 故答案为：10． 【变式1】（2025·安徽六安·三模）我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为1，若用如图所示的的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，则产生的正误差为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了正多边形与圆，含角直角三角形的性质等知识．根据正多边形的性质和含角直角三角形的性质求出的内接正十二边形的面积为，即可求出答案． 【详解】解：如图，在中，，作于点， ∴， ∴， ∴的内接正十二边形的面积， ∴产生的正误差为， 故选：D 【变式2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．    【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，理解圆周角定理是解题的关键． 先根据正多边形内角和定理求得再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵是优弧上的一点（不与点重合）， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质．连接，如图，根据正六边形的性质得到，则为等边三角形，所以，进而可求出正六边形的周长． 【详解】解：如图，连接， ． ∵六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ∴这个正六边形的周长为．    【变式4】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 【分析】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是正方形， ， ． 是的中点， ， ， ． 题型4. 尺规作图——正多边形 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】本题考查作图—复杂作图、正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，，即可得六边形． 【详解】解：如图，任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，， 则六边形即为所求． 【变式1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 【分析】本题考查了作图复杂作图，等边三角形的判定、圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系： （1）从A点开始，以为半径．依次画弧，这样把六等份，连接的三等份点得到的内接正三角形； （2）可作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，六边形为正六边形，点O为对角线的交点，的面积等于1，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)． (1)在图1中作出一个面积等于4的矩形； (2)在图2中作出一个面积等于4 的菱形． 【分析】（1）连接、，由正六边形的性质可得、、、、、是全等的等边三角形，四边形、是全等的菱形，得，，进而求解即可； （2）如图，延长、交于点G，连接并延长交于点N，交于点M，根据正六边形的性质和菱形的判定可得四边形是菱形，从而可证四边形是菱形，设，则，可得，求得，利用菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接、， ∵六边形为正六边形， ∴、、、、、是全等的等边三角形， ∴，四边形、是全等的菱形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形，； （2）解：如图，延长、交于点G，连接并延长交于点N，交于点M， ∵六边形为正六边形， ∴、、、、、是全等的等边三角形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即四边形是面积为4的菱形． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及正六边形的性质、矩形的判定定理、勾股定理，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 【分析】本题考查了作图——画正多边形，矩形的判定以及圆的相关性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）由题意可知，因此，故，进而求得四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，因此可得，再由，得，因此，故可证得四边形是矩形． 【详解】解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）四边形是矩形．理由如下： 如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·湖北·一模）如图，正五边形内接于⊙O，点F是劣弧上一点(点F不与点D，E重合)，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查正多边形和圆以及圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角的度数． 先由正多边形的边数求出圆心角的度数，再结合圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，，. ∵正五边形 内接于⊙O， ∴ ， ． 故选： B． 2．（2025·山东青岛·一模）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 3．（24-25九年级下·山东德州·期中）如图，、分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理的应用，如图，记外接圆的圆心为，连接，，，求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，记外接圆的圆心为，连接，，， ∵，分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 4．（2025·安徽合肥·三模）如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角等知识．根据多边形的内角和可以求得，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 5．（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正边形的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 6．（2025·山西·模拟预测）平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于H，可证明是等边三角形，得到，则，根据计算求解即可． 【详解】解；如图所示，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于H， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴点O在以B为圆心，的长为半径的圆上， ∴， 故选：B．    7．（2025·浙江金华·三模）下列图形不能被边长为4的正方形完全覆盖的是（  ） A．半径为2的圆 B．半径为的半圆 C．两边长分别为，的三角形 D．斜边长为5的直角三角形 【分析】本题主要考查正方形的性质，圆的基本概念，实数大小比较，解题的关键是掌握相关图形的特征进行判断．先计算出正方形的对角线长，即可逐项进行判定求解即可． 【详解】解：正方形的边长为4， 对角线长为； A．半径为2的圆的直径为4，因此半径为2的圆能被边长为4的正方形完全覆盖，故不符合题意； B、半径为的半圆的直径为5，因为，所以半径为的半圆不能被边长为4的正方形完全覆盖，故B符合题意； C、因为，所以两边长分别为，的三角形，能被边长为4的正方形完全覆盖，故C不符合题意； D、因为，所以斜边长为5的直角三角形能被边长为4的正方形完全覆盖，故D不符合题意． 故选：B． 8．（2025·河北沧州·模拟预测）司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点代表八个方位，如图，与交于点，则点位于点的（   ） A．南偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏东方向 【分析】本题考查方向角、圆周角以及正多边形和圆，掌握正八边形的性质，方向角、圆周角的定义是正确解答的关键．根据正八边形与圆的性质以及圆周角、方向角的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，设正八边形的中心为点，连接、、、， ∴正八边形的中心角为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点位于点的北偏东． 故选：D． 9．（2025·贵州毕节·三模）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，切线的性质，连接．求出，再利用圆周角定理求出，连接，可得，由得，求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵M，N，F分别是与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中，， ∴， ∴， 连接，由对称性可得三点在同一条直线上， 在和中， , ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．（2025·河北唐山·二模）如图8−1，正六边形中，是其对角线，点是边上不与端点重合的动点，下面是两位同学的操作和结论： 嘉嘉 操作：过点作， 交延长线于点． 结论：一定是正三角形 琪琪 操作：过点作， 分别交、于点、． 结论：的长度不变 则对于这两个结论（    ） A．嘉嘉和琪琪均错误 B．嘉嘉和琪琪均正确 C．嘉嘉正确，琪琪错误 D．嘉嘉错误，琪琪正确 【分析】本题考查了正多边形的内角，等边三角形的判断，平行四边形的判定与性质等知识，根据正六边形的性质可求出，，根据平行线的性质可得出，，则可证是正三角形，即可判断嘉嘉的结论；证明四边形是平行四边形，得出，即可判断琪琪的结论． 【详解】解：∵正六边形，是其对角线， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴是正三角形， 故嘉嘉正确， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即的长度不变， 故琪琪正确， 故选：B． 二、填空题 11．（2025·陕西咸阳·二模）如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为 ． 【分析】本题考查正多边形的中心角，连接，根据中心角的计算方法，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵点O是正六边形的中心点， ∴， ∴； 故答案为： 12．（2025·江苏南京·二模）如图，在正多边形中，若，则 ． 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，三角形内角和定理应用，根据求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵所对的边有3条，所对的边有5条， ∴， ∴． 故答案为：108． 13．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一个正边形的中心角与其一个内角的度数之比为，则 ． 【分析】本题考查正多边形的中心角和内角，根据中心角和内角的计算公式，结合两个角的度数的比值，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， 解得：； 故答案为：10． 14．（24-25九年级下·上海宝山·阶段练习）如果一个正多边形的外角是度，那么它的中心角是 度 【分析】本题考查了正多边形中心角、外角的定义和计算方法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正多边形中心角、外角的定义和计算方法得出正边形的中心角与外角相等即可． 【详解】解：正边形的中心角为，由于个外角的和为，所以每一个外角为， 因此正边形的中心角与外角相等， 所以它的中心角是度， 故答案为：． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 ． 【分析】本题主要考查正方形的性质、正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，正确地画出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键． 根据正方形的周长为12，易得，如图∶作正方形的外接圆，圆心为点O，连接，作于点E，则，所以即可解答． 【详解】解：如图，正方形的周长为12， ∴，且， ∴， 如图∶作正方形的外接圆，圆心为点O，连接，作于点E， ∵，， ∴ ∴正方形ABCD的边心距为． 故答案为：． 16．（2025·安徽滁州·三模）如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为 ． 【分析】本题考查圆内接正多边形，三角形内角和，连接，，根据圆内接正五边形，得到，，则，得到，根据等腰三角形得到，再由得到，最后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：连接，， ∵在的圆内接正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）半径为的圆内接正四边形的面积为 ． 【分析】本题考查了正多边形和圆、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；证出是等腰直角三角形是解决问题的关键．求出正四边形的中心角，连接两个顶点，可得等腰直角三角形，由勾股定理可得到正四边形的边长，即可求解． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵四边形是正四边形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴正方形的面积为： 故答案为：． 18．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为 ． 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，作，易得为等边三角形，三线合一，结合勾股定理，求出的长，即可． 【详解】解：连接，作， ∵边长为2的正六边形内接于， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ∴它的内切圆半径为； 故答案为： 19．（2025·湖北黄石·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，直角三角形的性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故答案为：12． 20．（2025·安徽·模拟预测）如图，在内接正六边形中，连接，交于点．设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 【分析】本题考查正多边形和圆，三角形的面积，连接，，连接交于点，得，，求出，故可得． 【详解】解：如图，连接，，连接交于点， 正六边形内接于， 经过点，且，，， ， ， ， 在正六边形中，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 21．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据折叠的性质得到，所以，于是可判断，所以，然后根据切线的判定方法可判断为的切线； （2）先由得到点O、、E共线，设，则，所以,然后利用勾股定理得到，从而可解方程即可． 【详解】（1）解：与相切． 理由如下： 四边形为正方形， ， 正方形沿折叠，使得点恰好落在上， ， ， 在和中， ， ， ， 为的半径， 为的切线： （2）由（1）得， ， 点O、、E共线， 设，则， ， 为的直径， ， ， 在中，， 解得 即线段的长为． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 22．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ．， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长． 23．（24-25九年级下·江西九江·开学考试）请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，圆周角定理；熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，，交点即为圆心． （2）延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 【详解】（1）解：如图1，连接，，相交于点，则点即为所求． （2）解：如图2，延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 24．（2025·江西·模拟预测）如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； (2)如图2，作一个底角为的等腰三角形． 【分析】（1）连接，，交于点，则即为所求作的三角形； （2）连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 【详解】（1）解：如图，连接，，交于点，则即为所求作的三角形； 理由：∵多边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴即为所求作的三角形； （2）解：如图，连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 理由：由（1）可得：，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∴是正五边形的对称轴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求作的等腰三角形， 同理可得：即为所求作的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键． 25．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： (1)如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 【分析】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，垂径定理，圆周角定理，矩形与正方形的判定； （1）根据直径所对的圆周角是直角得出，即可得证； （2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与互相垂直，即可得到的内接 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示，连接，并延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于，，连接，，，，则四边形即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴，即点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，经过的中点， ∴是的直径， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 26．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解； （2）连接交于点M，四边形即为所求； （3）各边延长线的交组成的五边形即为所求． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 27．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，的周长等于，正六边形内接于． (1)求圆心到的距离． (2)求正六边形的面积． 【分析】（）连接，过点作于点，由圆的周长可得，由正六边形的性质可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解； （）由（）可得是等边三角形，得到，可得，再根据解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，则， ∵的周长等于， ∴半径， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即圆心到的距离为； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 28．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心的长． 【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接．先证明是等边三角形，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接． ∵六边形是正六边形， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，． 29．（24-25九年级上·全国·期末）如图，的半径为r，六边形是圆的内接正六边形，四边形是正方形．    (1)求正六边形与正方形的面积比； (2)连接，求度数． 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定与性质． （1）根据正多边形的性质证明是边长为r的等边三角形，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求比值即可； （2）根据，可得出三角形是等腰三角形，结合，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为r的等边三角形， ∴． 正方形的面积为，正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为； （2）解：∵， ∴是等腰三角形． ∵， ∴， ∴． 30．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$