1.2.1空间中的点、直线与空间向量学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

选修一 高二数学 课时学案 编制人： 审核人：李华伟 班级 小组 姓名 使用时间 2025年 月 日 编号： 选修1-06 课题：空间中的点、直线与空间向量 【课标要求】 运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异;运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。 【学习目标】 1.通过学习课本30~31页，能说出并熟记位置向量、方向向量的概念； 2.通过学习课本32~35页，能在空间中利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题； 3.通过学习课本35~37页，知道两条异面直线的距离的定义. 【基础自学】 教材自学：阅读课本30-37页完成以下任务. 知识点1 空间中的点与空间向量 思考1.想一想，怎样描述教室中某位同学相对于你的位置？ 问题1.怎样借助空间向量刻画空间中点的位置？ 注：空间直角坐标系中任意一点都由它的位置向量唯一确定。 知识点2 空间中的直线与空间向量 思考2.观察课本31页图1-2-2，思考如果只借助向量，能不能确定直线AB在空间中的位置？怎样借助空间向量刻画空间中直线的位置呢？ 问题2.什么是直线的方向向量？ (1)如果A、B是直线l上两个不同的点，则v＝，即为直线l的一个 ． (2)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则 。 知识点3 空间中两条直线所成的角 思考3.通过学习课本32页尝试与发现，思考当v1，v2的夹角不大于90°时，直线l1，l2所成的角与v1，v2的夹角的关系如何？当夹角大于90°呢？ 问题3.设空间中两直线 l1，l2的夹角为，则的范围是：___________ 思考4.观察两直线的位置关系， 设v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，如何用表示？ ______________ 问题4. _________________ 【预习评测】 1.判断正误 (1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(　　) (2)两直线的方向向量平行，则两直线平行．(　　) (3)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　 2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3)　　　　　　　　 B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 3．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于(　　) A．30° B．150° C．30°或150° D．以上均错 4.若异面直线l1，l2的方向向量分别是＝(0，－2，－1)，＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　　) A．－ B． C．－ D． 【典例分析】 例1．已知a，b是平面内的两条相交直线，直线n满足n⊥a，n⊥b.求证:n⊥. 例2 如图所示三棱锥O-ABC中，OA，OB， OC两两垂直，E为OC的中点，且OB=OC= 2OA=2，求直线AE与BC所成角的大小 例3 在正方体 ABCD―A1B1C1D1中.试判断满足下列条件的点M，N是否存在: M∈AD1， N∈BD，MN⊥AD1，MN⊥BD. 【巩固练习】 A组 1.向量＝(x, 1，－2)，＝(3，x, 4)，⊥，则x＝(　　) A．8　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．0 2.设v1，v2分别是空间中两条不重合的直线l1，l2的方向向量，分别根据下列条件判断直线l1，l2的位置关系. (1)v1=(0，0，1)，v2=(0，0，-3)； (2)v1=(2，-1，-2)，v2=(6，-3，-6). 3.设v1=(1，2，-2)，v2=(-2，3，2)分别是空间中直线l1，l2的方向向量， 求直线l1，l2所成角的大小. 4.已知点A(3，4，5)，B(3，4，0)，，且O为坐标原点，求点C的坐标. B组 5.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，C1D1的中点,且AA1＝2,AB＝AD＝1. (1)求证：EF⊥A1C； (2)求直线A1C1与DF所成角的余弦值． 1 2 学科网（北京）股份有限公司 $$