课题《堑堵、阳马、鳖臑》的阅读学案衔接教材必修四第十一章《立体几何初步》

该高中数学导学案围绕堑堵、阳马、鳖臑等古代特殊几何体展开，衔接必修四《立体几何初步》，引导学生从长方体分割入手，通过勾画定义核心特征、绘制“长方体→堑堵→阳马→鳖臑”分割模型，建立基础几何体与特殊几何体的关联，搭建从教材基础到拓展知识的学习支架。 这份资料融入《九章算术》传统文化，突出动手实践与空间想象，通过绘制分割模型培养几何直观，问题设计聚焦体积最值、外接球表面积等综合应用，引导学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维推理几何体关系，助力提升空间观念与创新意识。

( 山东 2024级高二 年级阅读学案 编号 ：01 编制人 ： 审 核人： )课题： 堑堵、阳马、鳖臑 ------衔接教材必修四第十一章《立体几何初步》 1、 阅读引导 1.阅读的价值与意义 教材内容的深度拓展：教材仅系统介绍了棱柱、棱锥、棱台等基础几何体，而堑堵、阳马、鳖臑等几何体，本质是长方体、三棱柱等基础几何体的“分割形态”，阅读本内容能帮助你从“分割与补形”的视角重新建立“基础几何体→特殊几何体”的关联，完善立体几何知识体系。 2.阅读要求与方法建议 （1）通读定义，勾画核心特征 阅读材料中各类几何体的定义时，用不同颜色笔勾画关键信息： 堑堵：重点勾画 “斜解立方得两堑堵”“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”； 阳马：重点勾画 “斜解堑堵得阳马”“底面为矩形、一侧棱垂直于底面的四棱锥”； 鳖臑：重点勾画 “四个面均为直角三角形的四面体”“最长棱为对应长方体体对角线”。 对刍甍、刍童等较复杂几何体，标注 “底面形状”“顶面特征”“截面关系”（如刍童是 “平行于刍甍底面的截面与底面之间的几何体”）。 （2）结合图形，绘制简易模型 对照学案中的图形，在草稿纸上动手绘制 “长方体→堑堵→阳马→鳖臑”的分割过程： 先画一个长方体，标注长宽高；沿长方体的 “面对角线 + 体对角线” 方向斜割，得到两个堑堵，标注堑堵的直角三角形底面与垂直侧棱；再沿堑堵的 “顶点 + 相对棱” 剖开，画出阳马（标注矩形底面与垂直侧棱）和鳖臑（标注四个直角三角形面）。 （3）完成思考与评价的题目。 先不看答案，独立完成。遇到卡壳，回到“阅读材料”中查找对应定义（如判断鳖臑时，对照“四个面均为直角三角形”逐一验证）。 3.检查方式 (1)能准确复述几何体定义，检验方法：合上学案，口头回答以下问题：什么是堑堵？如何从长方体得到堑堵？阳马与鳖臑的本质区别是什么？鳖臑的四个面为何都是直角三角形？ (2)能独立解决体积与外接球问题，检验方法：重新独立完成“思考与评价”的3道题目，不参考答案，保证全对。 二、阅读目标 1.通过阅读材料，能直观地认识堑堵、阳马、鳖臑、刍甍、刍童、羡除、楔形四棱台，感受《九章算术》的博大精深。 2.通过阅读材料，能说出堑堵、阳马、鳖臑的结构特征，会解决这些几何体的体积、表面积及外接球的表面积、体积等问题。 三、阅读内容 《九章算术》是中国古代数学的经典著作，里面提及了很多有趣但十分拗口的几何体的名词，如堑堵[qiàn dǔ]、阳马、鳖臑[biē nào]、刍甍(chú méng)、刍童、羡除、楔形四棱台等，其中最有名气的，莫过于“鳖臑”了，下面我们一起认识这些特殊的几何体。 1.堑堵[qiàn dǔ]、阳马与鳖臑[biē nào]的含义 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。” 阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵。 再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个。以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马；余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑。 我们可以看出来，“阳马”和“鳖臑”是截长方体所得，那么如果有需要也可以补形回去。而且“阳马”和“鳖臑”的最长的棱就是对应长方体的体对角线。 立体几何中隐藏的鳖臑： ①正棱锥中的鳖臑 ②长方体中的鳖臑 ③圆柱中的鳖臑 ④直二面角中的鳖臑 ⑤三垂线定理中的鳖臑 2.刍甍(chú méng)、刍童、羡除、楔（xiē）形四棱台的含义 刍甍(chú méng)是底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个楔形体，有时底面也扩展成平行四边形。用平行于刍甍底面的一个面去截刍甍，截面和底面之间的几何体就叫刍童。 羡除是三个面为梯形或平行四边形(至多一个侧面是平行四边形)，其余两个面为三角形的五面几何体。显然这是刍甍的表兄妹，它是将刍甍的底面改为梯形得到。刍童也有个表兄妹，若把刍童上下底面平行的矩形换成平行的梯形，即为楔形四棱台(不是台体)。我们也可以说是用一个平行于羡除底面的面去截羡除，截面和底面之间的几何体就是楔形四棱台。 刍甍 刍童 羡除 楔形四棱台 四、思考与评价 1.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥。现有一如图所示的“堑堵”，其中，若， 则“阳马”的体积最大为（     ） A． B．2 C． D．4 2.（多选）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（ ） A．四棱锥为“阳马” B．四面体为“鳖臑” C．四棱锥体积最大为 D．过点分别作于点，于点，则 3.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点E到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为 ． 五、答案与提示 1.【详解】由题意知：平面，设，则有 ， ， ； 考虑 是关于 开口向下的二次函数，当 时取得最大值，最大值= ，∴ 的最大值为 2. 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”， ∴在堑堵中，，侧棱平面， A选项，∴，又，且，则平面， ∴四棱锥为“阳马”，对； B选项，由，即，又且，∴平面， ∴，则为直角三角形，又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形．∴四面体为“鳖臑”，对； C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号， ，错； D选项，D选项，因为平面，则，且，则平面， ∴，又且， 则平面，则，对； 故选：ABD 3.【详解】连接、交于点，连接、交于点，由球的几何性质可知，刍童外接球的球心必在线段上，如图， 由题意可知，平面，平面，， 设，在中，， 在矩形中，，，， 在中，， 在矩形中，，，， 设外接球半径，，解得， 则，即该刍童的外接球半径为该刍童外接球的表面积为：，故答案为：. 本题也可以看成求圆台的外接球的表面积，圆台的上底面为圆,下底面为圆,如下图： 学科网（北京）股份有限公司 $$