第一章特殊平行四边形训练2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 训练 一、单选题 1．在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，P是边上的动点，，垂足分别为D、E，线段的最小值是（     ）． A．1 B．2 C．2.4 D．4.8 3．如图，矩形的两条对角线相交于点．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．1 4．我国传统建筑中常应用菱形窗户，其设计美观大气．如图，该菱形窗户边框的长为则该菱形窗户的周长为（    ） A． B． C． D． 5．下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（    ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 6．如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，连接．若，，则菱形的面积为（     ） A．30 B．40 C．50 D．60 7．如图，菱形中，E，F分别是边上的动点（E，F不与菱形的顶点重合），连接，G，H分别为的中点，连接．若，的最小值是，则菱形的边长是（　　） A． B． C．6 D．3 8．如图，菱形中，，，则菱形的面积为（   ） A．24 B．30 C．40 D．48 9．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点D，E，F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果，且，那么四边形是正方形．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，则的长为 ． 12．如图，在矩形中，，，点P为对角线上的一个动点（点P不与点A，点C重合），点P关于的对称点为点E，点P关于的对称点为点F，连接，且经过点B，则在点P的运动过程中，线段长度的最小值等于 ．    13．如图，在平面直角坐标系中，菱形中的边落在轴的负半轴上，若轴，对角线、交于点，若点的坐标为．则点的坐标为 ． 14．如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，，是其中左侧两个正方形的对角线交点，同时，也是右侧两个正方形的顶点，则阴影部分的面积是 ． 15．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）． 三、解答题 16．如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 17．如下图，四边形是正方形，，轴，点的坐标为． (1)直接写出下列点的坐标： _________，_________，_________． (2)与轴交于点与轴交于点．求三角形的面积． 18．问题解决： 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，，且与相交于点G． （1）与的位置关系为 ； （2）延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移： （3）如图2，在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，，，，求的长． 19．如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图②所示． (1)________； (2)求点在段上运动时，的面积与运动时间的函数关系式； (3)当的面积为时，求的值． 20．如图，是正方形，点为对角线上一个动点，为边上一点，且． (1)求证：；（提示：过作于，作于） (2)若四边形的面积为，，求正方形的边长； (3)若四边形的面积为25，正方形的边长为，为，试探求与之间的函数关系式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 特殊平行四边形?训练2025—2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D B A C A C A 1．D 【分析】本题考查了矩形和正方形的判定，解题的关键是先判定四边形为矩形，再根据正方形的判定条件添加合适条件． 先根据已知角的条件判定四边形是矩形，再分析各选项能否使矩形变为正方形即可． 【详解】解： ∴四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短等知识，利用矩形的性质是解题的关键；连接，先由勾股定理的逆定理可得；再由得四边形是矩形，则；当时，最短，从而线段取得最小值，利用面积相等即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最短，从而线段最短， ∵， ∴， 故的最小值为． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 因为四边形是矩形，，由可证明，从而可得是等边三角形，由此推出 【详解】解：四边形是矩形， ， ∴ ， 是等边三角形， ∴， 故选：B． 4．D 【分析】此题重点考查菱形的性质、菱形的周长等知识，推导出是解题的关键． 由菱形的性质得，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴该菱形窗户的周长为， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的性质，根据菱形、矩形、正方形的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解： A． 邻边相等：菱形和正方形满足，但矩形邻边不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意． B． 对角相等：菱形、矩形、正方形均为平行四边形，对角均相等，本选项符合题意． C． 对角线互相垂直：菱形和正方形满足，但矩形对角线不一定垂直（仅正方形垂直），本选项不符合题意； D． 对角线相等：矩形和正方形满足，但菱形对角线不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意． 综上，三者共同性质为对角相等， 故选B． 6．A 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出，掌握菱形的面积公式． 由菱形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出，于是得到菱形ABCD的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 菱形的面积， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了菱形的性质，垂线段最短，三角形中位线定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 根据三角形中位线定理得，当时，有最小值，此时也是最小，利用菱形的性质求出，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵G，H分别为的中点， ∴， ∴当时，有最小值，此时有最小值， ∴此时， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了菱形的性质及菱形面积的求法，勾股定理．根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：连接，交于点，    在菱形中，，， ，，， ， ， 菱形的面积． 故选：A． 9．C 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，一元二次方程的应用，作，作，根据题意说明四边形是平行四边形，再根据面积相等说明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出边长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点C作，过点B作，分别交于点E，F， 根据题意，得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴四边形的周长为． 故选：C． 10．A 【分析】根据平行四边形的定义，一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，正方形的判定解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由， 四边形是平行四边形， 故选项①正确； 又， 平行四边形为矩形，选项②正确； 又平分， ， 又， ， ， ， 平行四边形为菱形， 选项③正确； 又，， 平分， 同理可得平行四边形为菱形，但不一定为直角， 故菱形不一定为正方形； 选项④错误， 则其中正确的是①②③ ． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形的性质是解题的关键．先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：在中，为斜边上的中线，， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 12．9.6 【分析】此题主要考查了矩形的性质，轴对称图形的性质，理解矩形的性质，垂线段最短，熟练掌握轴对称图形的性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 连接，过点B作于点H，先由勾股定理求出，由三角形的面积公式求出，根据轴对称的性质得，再根据经过点B得，由此得当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得点P与点H重合时，为最小，最小值为线段的长，则的最小值为4.8，进而即可得出的最小值． 【详解】解：连接，过点作于点，    ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据轴对称的性质得：是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵经过点B， .∴， ∴当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得点P与点H重合时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．延长交轴于点，由菱形的性质得，，再证明，点的坐标为，则，，设，则，然后在中，由勾股定理列出方程，解得，则，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 四边形是菱形， ，， 轴，点的坐标为， ，点的坐标为， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 点的坐标为， 故答案为：． 14．8 【分析】设点为正方形的中心，过点作于点于点，利用正方形的性质，正方形的中心的性质，全等三角形的判定与性质得到，同理求得另一个阴影部分的面积，则结论可得． 【详解】解：设点为正方形的中心，过点作于点于点， ， ∴四边形为矩形， ∵为正方形的中心， ∴四边形为正方形， ， 由题意得：， ， ， 在和中， ， ， ， ∴． 同理：另一个阴影部分的面积， ∴两个阴影部分面积之和是． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正方形的中心的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质和判定，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 15．②④ 【分析】本题考查正方形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠得到，，，进而得到，证明，得到，进而推出判断①，线段的和差关系，等量代换，判断②，设，在中，利用勾股定理求出的长，再根据面积公式，以及等高三角形的面积比等于底边比，判断③和④即可． 【详解】解：∵正方形，， ∴，， ∵折叠， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故①错误； ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴；故③错误； ∵， ∴；故④正确； 故答案为：②④． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理．解题时充分利用了菱形的对角线互相垂直平分、矩形的对角线相等的性质． （1）通过证明四边形是矩形来推知； （2）利用（1）中的、，结合已知条件，在中，由勾股定理求得，然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ． ∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ； （2）解：由（1）知，，，四边形是矩形， ． 在中，由勾股定理得， ，． 四边形是菱形， ，， 菱形的面积是：． 17．(1)；； (2) 【分析】本题考查坐标与图形，正方形的性质，点的坐标，利用数形结合的方法是解题的关键． 根据四边形是正方形，，轴，点的坐标为．可求得 （1）利用数形结合方法求解即可； （2）利用网格，用正方形的面积减去三个直角三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵点的坐标为 ∴，， ∵四边形是正方形，，轴， ∴，， ∴，，． 故答案为：；；． （2）解：． 18．（1）；（2）等腰三角形，见解析；（3）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形和菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识点． （1）证明即可； （2）由全等可得，继而，是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质求证； （3）延长到K，使，连接，证明，证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴与的位置关系为：， 故答案为：； （2）是等腰三角形，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：延长到K，使，连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．(1)6 (2) (3)或 【分析】（1）根据图象得出当点P运动到点A时，求解即可； （2）过点作交于点，证明则四边形为矩形，得出，，结合，，，得出，勾股定理求出，则可得运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，当点在上，即时，根据待定系数法即可解出与之间的函数关系式； （3）先求出在上时，与之间的函数关系式，再代入时，即或，求解即可． 【详解】（1）解：根据图象可得， ∵， ∴当点P运动到点A时，， ∵， ∴， 故答案为：6； （2）解：过点作交于点， ∵，， ∴， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴在中，， ∴， 则可得运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，运动到时的坐标为， 当点在上，即时，设， 代入，，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （3）解：在上，即时，设， 代入，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； 当时，即或， 解得：或， 综上所述：当的值为解得或时，的面积为． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)8 (3) 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求函数关系式，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形： （1）过作于，作于，证明，再证明，即可得证； （2）全等三角形的性质，推出，求出的长，进而求出的长即可； （3）由（2）可知，根据，求出，再根据线段之间的和差关系进行列出函数关系式即可． 【详解】（1）证明：过作于，作于，则：， 是正方形的对角线， ∴， ∵， ， ， 在四边形中， ，， ，又， ， ∵， ， ． （2）解：由（1）知，，， ∵， ∴四边形为正方形， ∵， ， ． ， ， ， ． （3）解：由（2）知，， 则， ∴， 即与之间的函数关系式为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$