5.3 第3课时 行程问题-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步课件(北师大版2024)河南专版

3 一元一次方程的应用 第3课时 行程问题 学习目标 1．能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决问题。熟悉行程问题中路程、速度、时间之间的关系，从而实现从文字语言到符号语言的转换。（重点） 2．体会“方程”是解决实际问题的有效模型，并进一步发展学生的文字语言、符号语言、图形语言的转换能力。（难点） 课时导入 亲爱的同学们，你们读过名著《西游记》吗？关于孙悟空的故事你一定知道很多吧。有这样一首描述孙悟空捉妖的诗：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，风速多少才算准。请你帮孙悟空算算当时的风速每分钟是多少里？ 知识讲解 知识点1 追及问题 小明每天早上要在7:50之前赶到距家1 000 m的学校上学。一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是, 爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。 分析：当爸爸追上小明时，两人所行路程相等。 设爸爸追上小明用了x min.已知爸爸出发时，小明已经走了5 min,所以画线段图分析如下： 80×5 80x 180x 家 学校 小明每天早上要在7:50之前赶到距家1 000 m的学校上学。一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是, 爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。 （1）爸爸追上小明用了多长时间？ 解：设爸爸追上小明用了x min。 根据题意，得180x=80x+80×5。 解这个方程，得x=4。 因此，爸爸追上小明用了4 min。 （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 解：因为180×4=720（m）, 1 000-720=280（m）。 所以，追上小明时，距离学校还有280 m。 小明每天早上要在7:50之前赶到距家1 000 m的学校上学。一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是, 爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。 知识点2 相遇问题 A、B两地相距2 800米,甲车从A地出发每秒行8米,乙车从B地出发每秒行6米,两车同时相向而行,出发几秒后两车相遇? 解：设出发x s后两车相遇。画线段图分析如下： 根据题意得8x+6x=2 800。解得x=20。 所以出发20 s两车相遇。 分析：两车同时相向而行，相遇时两车所行路程和等于A、B两地的距离。 例3 小明和小华两人在 400 m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）如果小明起跑后1min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ 教材例题 解:（1）设小华用xmin 追上小明。 根据等量关系，可列出方程： 260+260x=300x。 解这个方程，得x= 6.5。 因此，小华用 6.5 min 追上小明。 小明和小华两人在 400 m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。 （2）如果小明起跑后1min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 教材例题 （2）设小华起跑后xmin 两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程：260x+300x=400-260。 解这个方程，得x=0.25。 因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。 变式 甲站和乙站相距1 500 km，一列慢车从甲站开出，速度为60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为90 km/h。 (1)若两车相向而行，慢车先开30 min，快车开出几小时后两车相遇？ 分析：此问是相遇问题，即两车行驶路程和=甲、乙两站之间的距离。 设快车开出x小时后两车相遇.画线段图分析如下： 慢车60x km 慢车 先开30min 快车90x km 1 500 km 甲站 乙站 相 遇 由题意得60÷2+60x+90x=1 500。 解得x=9.8。 所以快车开出9.8小时后两车相遇。 甲站和乙站相距1 500 km，一列慢车从甲站开出，速度为60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为90 km/h。 (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1 800 km？　 分析：两车行驶路程和+1 500 km=1 800 km. 设y小时后两车相距1 800 km.画线段图分析如下： 慢车60y km 快车90y km 1 500 km 甲站 乙站 1 800 km 由题意得 60y+90y+1 500=1 800。 解得y=2。 所以2小时后两车相距1 800 km。 甲站和乙站相距1 500 km，一列慢车从甲站开出，速度为60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为90 km/h。 (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1 200 km? 分析：此问题是追及问题，有两种情况，设z 小时后两车相距1 200 km。 画线段图分析如下： 情况一：此时快车在慢车后面 慢车60z km 快车90z km 1 500 km 乙站 甲站 1 200 km 由题意得 1 500+60z-90z=1 200。 解得z=10。 所以10小时后两车相距1 200 km。 知识点3 航行问题 一艘轮船在A、B两地之间航行，顺流航行用了3 h，逆流航行比顺流航行多用30 min，已知轮船在静水中的速度为26 km/h，求水流的速度。 分析：设水流的速度为x km/h。线段图：________________。 找出等量关系：________________________________。 顺流航行的路程＝逆流航行的路程 规范写出解题过程：解：设水流的速度为x km/h。 根据题意得____________________________。 解得x＝_______。 答：水流的速度为_______km/h。 3(26＋x)＝(3＋0．5)(26－x) 2 2 1. 行程问题中的常见类型 （1）相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地距离； （2）追及问题 ①同时不同地：快者走的路程=慢者走的路程+两地距离； ②同地不同时：快者走的路程=慢者走的路程（两者时间不同）。 2. 航行问题的几个公式 （1）船在静水中速度+水速=船的顺水速度； （2）船在静水中速度-水速=船的逆水速度； （3）船的顺水速度=船的逆水速度+水速×2. 3. 环形跑道问题 （1）两人同地同向出发，第n次相遇：； （2）两人同地背向出发，第n次相遇：。 实际问题 数学问题 (一元一次方程) 抽象 寻找等量关系 数学问题的解 (一元一次方程的解) 解方程 实际问题的解 验证 解 释 知识点4 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 随 堂 小 测 1.汽车以72 km/h的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员摁一下喇叭，4 s后听到回声，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340 m/s，设听到回声时，汽车离山谷x m，根据题意，列出方程为(　　) A．2x＋4×20＝4×340 B．2x－4×72＝4×340 C．2x＋4×72＝4×340 D．2x－4×20＝4×340 A 2.A、B两地相距27千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行.已知甲的速度为4千米/时，乙的速度为5千米/时，则甲、乙两人______小时后相遇。 3 3.甲、乙两人相约晨跑，乙出发时，甲跑在乙前方50米处，已知甲跑步速度为每分钟200米，乙跑步速度为每分钟220米，问当两人相距10米时，乙跑了_____________米。 解析：设乙跑了x分钟后，两人相距10米。 ①当乙未追上甲时，220x-200x=50-10， 解得x=2，此时乙跑了220×2=440米； ②当乙超过甲时，220x-200x=50+10， 解得x=3，此时乙跑了220×3=660米。 易错点:问题中的“相距”问题需要考虑多解的情况，本题容易忽略乙赶上并超过甲10米时的情况。 440或660 4.汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少 1．5小时。已知汽船在静水中的速度为18千米/时，水流速度为 2千米/时，求甲、乙两地之间的距离。 解：设汽船从乙地逆水开往甲地需x小时， 根据题意得(18＋2)(x－1．5)＝(18－2)x，解得x＝7．5。 (18－2)×7．5＝120(千米)。 答：甲、乙两地之间的距离为120千米。 5.甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360 米/分，乙的速度为240米/分。 （1）两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？ 解：(1)设x分钟后两人第一次相遇，由题意得360x－240x＝400， 答：两人一共跑了5圈。 答：40秒后两人第一次相遇。 （2）设y分钟后两人第一次相遇，由题意得360y＋240y＝400， 甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度为240米/分。 （2）两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？ 小结 解决行程问题的基本步骤： 问题的已 知条件 画出线 段图 找出等 量关系 列方程 并求解 回答 同向追及问题 相向相遇问题 甲的路程＋乙的路程=总路程 同地不同时： 同时不同地： 甲路程＋路程差＝乙路程； 甲路程＝乙路程 3.一元一次方程解决实际问题的一般步骤 小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 解得x＝。÷400＝5(圈)。 解得y＝。分钟＝40秒。 $$