5.3 第1课时 形积变化问题-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步教案(北师大版2024)河南专版

3 一元一次方程的应用 第1课时 形积变化问题 课题 第1课时 形积变化问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P147-148 教学目标 1.能够借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系。 2.通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用。 教学重难点 重点： 列出一元一次方程解有关形积变化问题。 难点： 依题意准确把握形积问题中的相等关系。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师活动：演示将烧杯中的水倒入试管中，来回两次，并提出问题。 问题：在将烧杯中的水倒入试管的过程中，不变的是什么，变的是什么？ 学生活动：观看演示，思考问题，与同桌交流讨论。 这节课我们就来学习一元一次方程的应用。（教师板书课题： 第1课时 形积变形问题） 通过演示引起学生对本节课的兴趣，由学生熟悉的水量不变引入新课，紧扣课题，从而自然过渡到下面的探究活动。 2.实践探究，学习新知 【探究】 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm，12 cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ 教师活动：提出问题，这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 学生活动：组内讨论分析得出，已知量有旧易拉罐饮料的底面直径和高、新易拉罐饮料的底面直径，未知量有新易拉罐饮料的高。 师生活动：教师引导学生得出，旧易拉罐饮料的容积=新易拉罐饮料的容积，提问圆柱的体积公式，学生举手回答。 教师活动：设新包装的高度为x cm，指导学生计算并填写填写下表： 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 容积/cm3 学生活动：按要求填写表格，并根据等量关系，列出方程求解出x，回答问题。 设新包装的高度为x cm。 根据等量关系，列出方程： 。 解这个方程，得x= 。 因此，易拉罐的高度变为 cm。 【教材例题】 例1 用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形。 （1）如果该长方形的长比宽多1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? （2）如果该长方形的长比宽多0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化？ （3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化？ 分析：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？你能分别用含未知数的式子表示它们的数量关系吗？ 解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4) m。 根据题意，得 2（x+1.4）+2x=10。 解这个方程，得 x=1.8。 1.8+1.4=3.2。 此时长方形的长为3.2 m，宽为1.8 m。 （2）设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+0.8) m。 根据题意，得2（x+0.8）+2x=10。 解这个方程，得 x =2.1。 此时长方形的长为2.9 m，宽为2.1 m，面积为2.9×2.1=6.09(m2)， （1） 中长方形的面积为 3.2×1.8=5.76(m2)。 此时长方形的面积比（1）中长方形的面积增大 6.09-5.76=0.33(m2)。 （3）设正方形的边长为x m。 根据题意，得 4x=10。 解这个方程，得 x =2.5。 正方形的边长为2.5 m,正方形的面积为 2.5×2.5=6.25(m2)， 比（2）中长方形的面积增大6.25-6.09=0.16 (m2)。 教师追问：在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流。 学生活动：根据自己所设的未知数，列出方程与同学交流，并解出方程，先回答问题再进行交流。 【归纳总结】 形积变化问题——等积（等长）变形问题 形状发生了变化，而体积（周长）没变，此时，相等关系是变化前后的体积（周长）相等。 列方程解应用题注意事项： （1）列方程时结合题意找出变化过程中保持不变的量。 （2）列方程解实际问题的关键是找等量关系。 （3）列方程时要注意所有单位要统一。 （4）解出方程的解还要检验其是否符合实际意义。 通过探究逐层深入的问题,让学生发现缺少未知量，所以需要设出未知量在进行求解，经历探究过程，既对已学知识和生活经验进行了回味和运用，也让学生的思想逐步向本节课的中心“寻找等量关系”靠近。 让学生学会分析题意,学会抓住题目中的等量关系列方程。 3.学以致用，应用新知 考点1 等积变形问题 例1 如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（ ） A.π×()2x=π×()2×（x-5） B.π×()2x=π×()2×（x+5） C. π×82x=π×62×（x+5） D. π×82x=π×62×5 答案：B 变式训练1 一个底面半径为4 cm的圆柱形储油器中，用油浸泡了若珠，从中捞出一个体积为80π cm3的钢珠后，油面将下降 . 答案：5 cm 考点2 面积问题 例2 把一个用铁丝围成的长为8、宽为6的长方形改成一个正方形，则这个正方形与原来的长方形相比（ ） A. 面积与周长都不变 B. 面积相等但周长发生变化 C. 周长相等但面积发生变化 D. 面积与周长都发生变化 答案：C 变式训练2 一个长方形的长比宽多2，若把它的长、宽分别增加2后，面积增加了24，求原来长方形的长与宽 . 若设原长方形的宽为x，可列方程为（ ） A. x（x+2）=24 B.（x+4）（x+2）=24 C.（x+4）（x+2）-x（x+2）=24 D. x（x+4）=24 答案：C 考点3 等长变形问题 例3 小明用长16 cm的铁丝围成一个长方形，并且长方形的长比宽多2 cm，设这个长方形的长为x cm，则x的值为 . 答案：5 变式训练3 乐乐家的墙上钉着一个用彩绳围成的三角形（如图中实线所示），乐乐通过移动钉子，把它变形为一个等边三角形（如图中的虚线所示），则等边三角形的边长为 . 答案：7 4.随堂训练，巩固新知 1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加 2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为（ ） A.6 cm　　　B.7 cm　　　C.8 cm　　　D. 9 cm 答案：B 2.欲将一个长、宽、高分别为150 mm、150 mm、20 mm的长方体钢毛坯，锻造成一个直径为100 mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是（ ） A．1 200 mm B. mm C．120π mm D．120 mm 答案：B 3.现有一个如图1所示的密封玻璃器皿，测得其底面直径为20 cm，高为20 cm，装有蓝色溶液若干。若如图 2放置时，测得液面高为10 cm；若如图3放置时，测得液面高为 16 cm，则该密封玻璃器皿总容积（结果保留π）为（ ） A. 1 250π cm3 B. 1 300π cm3 C. 1 350π cm3 D. 1 400π cm3 答案：D 4.如图是由六个正方形拼成的一个长方形，已知最小的正方形的面积为1，则此长方形的面积是 . 答案：143 5.一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成。现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多2米。你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，养鸡场的面积是多少？ 解：根据小王的设计，可以设宽为x米，长为（x+5）米. 根据题意，得2x+（x+5）=35，解得x=10. 因此小王设计的养鸡场的长为x+5=10+5=15（米）， 而墙的长度只有14米， 所以小王的设计不符合实际. 根据小赵的设计，可以设宽为y米，长为（y+2）米. 根据题意，得2y+（y+2）=35，解得y=11. 因此小赵设计的养鸡场的长为y+2=11+2=13（米）， 而墙的长度有14米， 显然小赵的设计符合要求， 此时养鸡场的面积为11×13=143（平方米）. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 形状发生了变化，而体积（周长）没变，此时，相等关系是变化前后的体积（周长）相等。 列方程解应用题注意事项： （1）列方程时结合题意找出变化过程中保持不变的量。 （2）列方程解实际问题的关键是找等量关系。 （3）列方程时要注意所有单位要统一。 （4）解出方程的解还要检验其是否符合实际意义。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P154习题5.3中的T1、T3、T4、T5。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 形积变化问题 形积变化问题 等积变化 投影区 等长变化 学生活动区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 本节课是运用方程解答实际问题的起始课，学生对方程的应用意识没有建立起来，如何把实际问题转化为方程这一环节的处理就尤为重要，这就要求教师做好表率，要先引导学生把所求的量设成字母x，这样就有了方程中的未知数，如何仔细阅读题目，找出题目中的不变量,此处不太好理解，建议教师可以让同学们用橡皮泥做实验，把橡皮泥捏成不同的形状，让学生观察变化中的不变量是什么，有了直观的认识就好理解本节内容，从而引导学生顺理成章地用方程解答问题了。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$