精品解析：福建省莆田市顶墩中学2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学卷

2024-2025学年顶墩中学八年级上学期第二次月考考试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各图形中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 4，8，3 C. 3，3，3 D. 4，3，9 3. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，它的每一个内角大小为（    ） A. B. C. D. 5. 下列能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将图抽象成图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点，若，，的度数为（    ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（    ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 8. 如果，那么、的值分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝132°，则∠A为（　　） A. 40° B. 22° C. 30° D. 52° 10. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 612 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. （1）_____；（2）_____ 12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________． 13. 因式分解：_____． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，则的周长为______． 15. 如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为________． 16. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：代数式，其中． 19. 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．，是筝形的对角线．求证：平分． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠A的度数． 21. 已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接，，，．当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形 22. 学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： （1）已知：线段h，a，b．求作：，使得，，边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”）．若一定，请说明理由；若不一定．请作出符合条件的其他三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 23. 数学中的两位数乘法藏着许多的运算规律，现请观察下列几个等式 （1）请你类比上面的等式，计算：①；②： （2）请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明． 24. 如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）请你用两种不同的方式表示图2阴影部分的面积（直接用含的代数式表示）． 方法一：________；方法二：________．由此可以得出的等式是________； （2）根据（1）中的结论，若，，求的值； （3）如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 25. 在平面直角坐标系中，已知（其中），且． （1）三角形的形状是_________． （2）如图1．若，C为中点，连接，过点A向右作，且，连．过点作直线垂直于x轴，交于点N，求证：． （3）如图2，E在的延长线上，连接，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年顶墩中学八年级上学期第二次月考考试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各图形中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐个分析判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义即：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形， A、 是轴对称图形，故符合题意； B、 不是轴对称图形，故不符合题意； C、 不是轴对称图形，故不符合题意； D、 不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形的定义，能够熟练掌握轴对称图形的定义是解决本题的关键． 2. 下列三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 4，8，3 C. 3，3，3 D. 4，3，9 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，针对每一个选项进行计算，可选出答案． 【详解】解：A．∵，∴这三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； B．∵，∴这三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； C．∵，∴这三条线段能组成三角形，故此选项符合题意； D．∵，∴这三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．理解和掌握三角形的三边关系定理是解题的关键． 3. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A．，、不是同类项，A选项不可以表示为； B．，B选项不可以表示为； C．，C选项可以表示为； D．，D选项不可以表示为； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、同底数幂除法和幂的乘方，掌握整式计算中各种运算法则是解题关键． 4. 如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，它的每一个内角大小为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理求出外角，然后求出每一个内角即可，掌握外角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵正八边形的一个外角为， ∴它的每一个内角大小为， 故选：． 5. 下列能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式：进行计算． 【详解】解：A．不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； B．不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； C．，能用完全平方公式因式分解，故符合题意； D．只有两项，不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解—运用公式法，熟悉完全平方公式是解题的关键． 6. 某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将图抽象成图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点，若，，的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，由平行得，再由三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（    ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．作于点，根据三角形的角平分线的性质定理求得，利用三角形的面积公式得到，再根据三角形的中线性质即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上中线， ∴， 故选：C． 8. 如果，那么、的值分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用多项式乘多项式法则，得到等式左侧的结果，根据对应项，对应相等，求出、的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 【点睛】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的法则，是解题的关键． 9. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝132°，则∠A为（　　） A. 40° B. 22° C. 30° D. 52° 【答案】B 【解析】 【分析】利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理可得结果． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出的度数． 10. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 612 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，求出已有展开式的系数和，推出的展开式的系数和为，进而求出展开式的系数和即可． 【详解】解：∵的展开式的系数和为：； 的展开式的系数和为：； 的展开式的系数和为：； ， ∴的展开式的系数和为， ∴展开式的系数和是； 故选C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. （1）_____；（2）_____ 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了零次幂、有理数乘方等知识点，掌握任何非零数的零次幂为1成为解题的关键． （1）直接根据任何非零数的零次幂为1即可解答； （2）根据有理数乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； ． 故答案为：1，． 12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点．根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 13. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式后，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，则的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得，从而可得的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∵，， ∴ ∴的周长为， 故答案为：． 15. 如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查含30度的直角直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点A作于点E，过点B作于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F， ∵，， ∴，， ∴通过闸机的物体最大宽度为． 故答案为：60． 16. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接，，     是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法与除法运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则以及多项式除以单项式的法则． （1）先根据幂的乘方法则计算乘方，再依据同底数幂的乘法法则进行乘法运算； （2）按照多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得结果相加． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 先化简，再求值：代数式，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， 将代入得，原式． 19. 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．，是筝形的对角线．求证：平分． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，即可证明平分． 【详解】略 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠A的度数． 【答案】∠A＝36°． 【解析】 【分析】设∠A=x°．在△ABD中，由等边对等角得到∠A=∠ABD=x°，由三角形外角的性质得到∠BDC=∠A+∠ABD=2x°．在△BDC中，由等边对等角得到∠BDC=∠BCD=2x°． 在△ABC中，由等边对等角得到∠ABC=∠BCD=2x°，由三角形内角和定理得到x+2x+2x=180，解方程即可． 【详解】设∠A=x°． ∵BD=AD，∴∠A=∠ABD=x°， ∠BDC=∠A+∠ABD=2x°． ∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=2x°． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x°， 在△ABC中，x+2x+2x=180， 解得：x=36，∴∠A=36°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．熟练掌握等于三角形的性质，以及三角形内角和定理，得到各角之间的关系式解答本题的关键． 21. 已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接，，，．当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形 【答案】 证明：∵点D，E关于直线对称， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，． ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得到，．根据等边三角形的性质得到，．求得．根据等边三角形的判定定理即可得到结论； 本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 22. 学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： （1）已知：线段h，a，b．求作：，使得，，边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”）．若一定，请说明理由；若不一定．请作出符合条件的其他三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图所示： （2） 不一定，如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，以及三角形的全等． （1）根据解题思路作图即可； （2）通过题意画出相对应的线段即可得到不同的三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 数学中的两位数乘法藏着许多的运算规律，现请观察下列几个等式 （1）请你类比上面的等式，计算：①；②： （2）请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明． 【答案】 一般规律为： 证明如下： ． 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索： （1）①根据列举的例子，求解即可；②根据列举的例子，求解即可； （2）根据列举的例子，可知两个两位数的乘法中，十位数字之和为10，个位数字相同时，它们的乘积等于十位数字相乘加上个数数字的和乘以100再加上个位数字的乘积，据此利用整式乘法求证即可． 【小问1详解】 解：①由题意得， ； ②由题意得， ； 【小问2详解】 略 24. 如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）请你用两种不同的方式表示图2阴影部分的面积（直接用含的代数式表示）． 方法一：________；方法二：________．由此可以得出的等式是________； （2）根据（1）中的结论，若，，求的值； （3）如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1），， （2）17 （3）阴影部分面积为20 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是解题的关键． （1）方法一：根据图象得出阴影部分正方形边长即可求得面积；方法二：根据大正方形面积减去四个小长方形的面积即可，根据方法一和方法二即可得到等式； （2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解； （3）根据题意找出题中各线段之间的数量关系和等量关系，设，即，阴影部分面积，根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：方法一：；方法二：． 由此可以得出的等式是， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：， ． 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为，正方形和正方形， ， ∵长方形的面积是24， ， 设，即，则， ∴阴影部分面积， ， （负值已舍去）， ， 即阴影部分面积为20． 25. 在平面直角坐标系中，已知（其中），且． （1）三角形的形状是_________． （2）如图1．若，C为中点，连接，过点A向右作，且，连．过点作直线垂直于x轴，交于点N，求证：． （3）如图2，E在的延长线上，连接，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接，若，求的面积． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2） 证明：过点D作轴，垂足为H，交于点S．则． ∵， ∴． ∵C为中点， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂直于x轴，轴， ∴， ∴，． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，可得结论； （2）过点D作轴，垂足为H，交于点S．则．证明，推出，再证明，可得结论； （3）如图2中，过点O作交的延长线于点T，连接．证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2中，过点O作交的延长线于点T，连接． ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $