精品解析：四川省巴中市南江县实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

四川川省巴中市南江县实验中学2024-2025学年 高二上期10月月考数学试题 命题：胡坤成 审题：罗家巍 一､单选题 1. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 2. 从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：mm），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为（ ） A 89 B. 90 C. 89.5 D. 101 3. 设，向量，，，且，，则（ ）． A. B. C. 5 D. 6 4. 若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（ ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，是对立事件，则 B. 若，是互斥事件，，则 C. 若，且，则，是独立事件 D. 若，独立事件，，则 8. 已知一组数据满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的40%分位数是 B. 的平均数小于的平均数 C. 的方差大于的方差 D. 的极差小于的极差 二､多选题 9. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与独立 D. 与独立 10. 以下命题为真命题的是（ ） A. 若样本数据，，，，，的方差为2，则数据，，，，，的方差为8 B. 一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C. 数据0，1，2，4的极差与平均数之积为6 D. 已知一组不完全相同的数据，，，的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，，，其平均数为，则 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ） A. 不存在点，使得 B. 不存在点，使得 C. 点在棱上，且，若，则点的轨迹是圆 D. 当是正方形ABCD的中心时，为线段AB上的动点，则的最小值为 三､填空题 12. 从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是__________. 13. 如图，已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，，则向量___________.（用，，表示） 14. 空间中，两两互相垂直且有公共原点三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作若，，则的斜60°坐标为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，，N为线段D1C1的中点.如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.若则与夹角的余弦值为_____________. 四､解答题 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 16. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 17. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题： 分组 人数 频率 （1）分别求出的值，并补全频率分布直方图； （2）估计这次环保知识竞赛平均分； （3）从成绩在和的两组学生中按分层抽样的方式抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽取的人中成绩都在的概率． 18. 如图，已知四边形为直角梯形，，，点是平面外一点，平面，且，是棱上的动点. （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离； （3）当是中点时，设平面与棱交于点，求的值及截面的面积. 19. 甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求甲连续打四局比赛的概率； （2）求在前四局中甲轮空两局的概率； （3）求第四局甲轮空的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川川省巴中市南江县实验中学2024-2025学年 高二上期10月月考数学试题 命题：胡坤成 审题：罗家巍 一､单选题 1. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算即可得解. 【详解】. 故选：B． 2. 从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：mm），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 89 B. 90 C. 89.5 D. 101 【答案】B 【解析】 【分析】将这组数据从小到大排列后借助百分位数定义计算即可得. 【详解】将该组数据从小到大排列： 76，88，89，89，90，90，101，121， 由，故该组数据的第60百分位数为. 故选：B. 3. 设，向量，，，且，，则（ ）． A B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 因为，，，所以，所以， 所以， 所以. 故选：D. 4. 若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案. 【详解】A选项：，所以，，是共面向量； B选项：，所以，，是共面向量； C选项：， 所以，，是共面向量； D选项：令，显然无解，故不是共面向量. 故选：D 5. 如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，易得则、、，若电路不发生故障，必须是正常工作且，至少有一个正常工作，由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案． 【详解】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件， 则， 电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作， 、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率， 所以整个电路不发生故障的概率为. 故选：C. 6. 如图，正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的向量法，即可建立空间直角坐标系求解. 【详解】取底面的中心为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，, 则， 所以，， 故点到直线的距离为, 故选：A 7. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，是对立事件，则 B. 若，是互斥事件，，则 C. 若，且，则，是独立事件 D. 若，是独立事件，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误； 对于B，若是互斥事件，，则，B错误； 对于C，，则，， 又，则是独立事件，C正确； 对于D，若是独立事件，则是独立事件，而， 则，D错误. 故选：C 8. 已知一组数据满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的40%分位数是 B. 的平均数小于的平均数 C. 的方差大于的方差 D. 的极差小于的极差 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数、极差、平均数、方差的概念及含义计算分析可得． 【详解】对于A，，所以这组数据的40%分位数是，故A错误； 对于B，不妨取这组数据为1，2，3，4，5， 此时的平均数为3，的平均数均为3，故B错误； 对于C，由可知，数据比数据更分散， 所以的方差小于的方差，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确； 故选：D． 二､多选题 9. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与独立 D. 与独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义逐项判断即可. 【详解】试验的样本空间 ， 事件， ，， 对于A，事件与没有公共的基本事件，与互斥，A正确； 对于B，显然是中元素，也满足事件，即与可以同时发生，B错误； 对于C，，，，，与独立，C正确； 对于D，，，，与独立，D正确. 故选：ACD 10. 以下命题为真命题的是（ ） A. 若样本数据，，，，，的方差为2，则数据，，，，，的方差为8 B. 一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C. 数据0，1，2，4的极差与平均数之积为6 D. 已知一组不完全相同的数据，，，的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，，，其平均数为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由方差的性质：即可求解；对B，根据百分位数的定义即可求解；对C，根据极差和平均数的定义即可求解；对D，根据平均数的定义即可求解. 【详解】对A，，，，，，的方差为2， ，，，，，的方差为，故A对； 对B，数据8，9，10，11，12共个数，， 故数据8，9，10，11，12的第80百分位数是：，故B对； 对C，数据0，1，2，4的极差为：，平均数为：， 故极差与平均数之积：，故C错； 对D，一组不完全相同的数据，，，的平均数为， ，故， 故，故D对. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ） A. 不存在点，使得 B. 不存在点，使得 C. 点在棱上，且，若，则点的轨迹是圆 D. 当是正方形ABCD的中心时，为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系标点，设，根据空间向量的坐标运算结合位置关系运算求解，进而判断ABC；对于D：将两个平面翻折成一个平面，结合平面几何性质分析求解. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为为轴，为建立空间直角坐标系， 则， 设， 对于A：因为，，则， 即与不垂直，所以不存在点，使得，故A正确； 对于B：因为， 若，则，解得，不合题意， 所以不存在点，使得，故B正确； 对于C：因为，则，可得， 因为，则， 整理可得， 可知圆心， 且，所以轨迹为圆被四边形截得的4段圆弧，故C错误； 对于D：将正方形和翻折至同一平面，如图所示： 可得，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题 12. 从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】列举所有可能的情况求解即可. 【详解】由题意，任取两个数所有可能的情况有，，，，，，，，，共10种情况， 其中两个数都是奇数的情况有，，共3种情况，故两个数都是奇数的概率是. 故答案： 13. 如图，已知空间四边形，，分别是边，中点，点在上，且，设，，，则向量___________.（用，，表示） 【答案】 【解析】 【分析】由已知，，根据向量线性运算法则，结合图形运算可得结论. 【详解】因为，故， 所以， 因为，分别是边，的中点， 所以，， 所以， 因为，，， 所以. 故答案为：. 14. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作若，，则的斜60°坐标为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，，N为线段D1C1的中点.如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.若则与夹角的余弦值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，通过平行六面体得到，从而得到的斜60°坐标；又因为，所以，结合题中的的斜60°坐标，并通过，计算与夹角的余弦值. 【详解】设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，， ，.                                        因为，所以， 则， ∵，                               . ∴， ， 所以与的夹角的余弦值为. 故答案为：. 四､解答题 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，则得，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，则得，由空间向量的夹角公式求解即可． 【小问1详解】 空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得，所以， 则． 【小问2详解】 因为，则，解得， 所以， 故． 16. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 则 ， 所以. 【小问2详解】 由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 17. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题： 分组 人数 频率 （1）分别求出值，并补全频率分布直方图； （2）估计这次环保知识竞赛平均分； （3）从成绩在和的两组学生中按分层抽样的方式抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽取的人中成绩都在的概率． 【答案】（1），图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表的相关计算即可求出的值，再补全频率分布直方图； （2）用组中给出的数据代入组中值估计平均数的公式即可估计平均分； （3）先利用分层抽样求成绩在和抽取的学生人数，再利用古典概型求解即可. 【小问1详解】 ，，，，补全的频率分布直方图如图所示， 【小问2详解】 用组中值估计平均分： ， 【小问3详解】 因为成绩在和的学生人数比为2：1， 所以按分层抽样的方式在抽取人，记为，在抽取人，记为， 则从中随机抽取人有，共种情况，其中人中成绩都在有种情况， 故抽取的人中成绩都在的概率概率为． 18. 如图，已知四边形为直角梯形，，，点是平面外一点，平面，且，是棱上的动点. （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离； （3）当是的中点时，设平面与棱交于点，求的值及截面的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3）， 【解析】 【分析】（1）通过即可求证； （2）过作的垂线，垂足为，即可证平面，从而为所求距离，借助即可求解； （3）作点满足，再作的中点，说明四边形是平行四边形，通过，得到，进而说明平面，得到四边形是矩形，即可求解. 【小问1详解】 因为四边形为直角梯形，， 不在平面上，平面， 所以平面； 【小问2详解】 根据勾股定理，，则， 过作的垂线，垂足为，则和平行， 因为平面，所以平面， 即为所求距离，， 因为平面，，平面，所以，， 所以， 因为，所以， ，所以， 即，解得. 【小问3详解】 作点满足，则，，，四点共面， 作的中点，则，所以， 所以四边形是平行四边形，则，又， 所以，即，，，四点共面，平面平面， 则与平面的交点必定在上， 所以与的交点即为与平面的交点， 所以，所以， 又，所以， 又，且，平面，， 所以平面，平面， 所以，所以四边形是矩形，， ， 所以四边形的面积， 所以四边形的面积为. 19. 甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求甲连续打四局比赛的概率； （2）求在前四局中甲轮空两局的概率； （3）求第四局甲轮空的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率； （2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可； （3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可. 【小问1详解】 若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜， 所以甲连续打四局比赛的概率； 【小问2详解】 在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空， 故在前四局中甲轮空两局的概率； 【小问3详解】 甲第四轮空有两种情况： 第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空， 第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空， 第1种情况的概率；第2种情况的概率； 由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$