精品解析：山东省东营市文苑学校2024—2025学年上学期第三次阶段性检测九年级数学试题

九年级第三次阶段性检测数学试题 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的顶点在量角器的半圆上，角的两边分别经过量角器的，刻度，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. a＜1 B. a≤1 C. a≥1 D. a≤1且a≠0 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论： ①；②；③当时，或；④；⑤（m为实数），其中正确的结论是（ ） A. ②③④⑤ B. ①③④⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③⑤ 10. 如图，在矩形中，M是边的中点，，垂足为N，连接．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分） 11. 设是方程的两个根，则________． 12. 双曲线和如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为_________． 13. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：）与水平距离 x（单位：） 之间的关系是 ，则他将铅球推出的距离为______________． 14. 如图，在平行四边形中，，若，则_______． 15. 如图，无人机在离地面的点D处，测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶部点C的俯角为，已知操控者A和教学楼之间的水平距离为，教学楼的高度是___________m．（结果精确到1米．参考数据：） 16. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 17. 如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点在直线上，若，且均为等边三角形，则线段的长度为________． 三、解答题（共62分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 《中国汉字听写大会》唤醒了很多人对文字基本功的重视和对汉字文化的学习，我市某校组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表： 抽取的200名学生海选成绩分组表 组别 海选成绩x A组 50≤x＜60 B组 60≤x＜70 C组 70≤x＜80 D组 80≤x＜90 E组 90≤x≤100 请根据所给信息，解答下列问题： （1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，则a的值为　 　，表示C组扇形的圆心角θ的度数为　 　度； （3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？ （4）经过统计发现，在E组中，有2位男生和2位女生获得了满分，如果从这4人中挑选2人代表学校参加比赛，请用树状图或列表法求出所选两人正好是一男一女的概率是多少？ 21. 如图，在Rt中，，点在上，以为直径的经过上的点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线：沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 24. 如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 （1）求抛物线的关系式； （2）是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是______； （2）如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立．请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在直线上时，其他条件不变，连接．若，请画出图形并直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第三次阶段性检测数学试题 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了三视图，根据俯视图的定义解答即可． 【详解】解：该几何体的俯视图是： 故选：C． 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 4. 如图，的顶点在量角器的半圆上，角的两边分别经过量角器的，刻度，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，主要利用了在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，难点在于作辅助线． 根据量角器得出的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】解：如图，设半圆量角器的圆心为，连接， ∵边正好经过刻度线处的点，边正好经过刻度线处的点， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图，已知，，，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：由题意：∵， ∴， 即， ∴， 故选：B 6. 若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. a＜1 B. a≤1 C. a≥1 D. a≤1且a≠0 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△≥0，解得即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根， ∴a≠0，且△＝（﹣2）2﹣4a×1≥0， 解得：a≤1且a≠0， 故选：D． 【点睛】此题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解此题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时， ∵，相似比为2， ∴； 当位似图形与在y轴两侧时， ∵，相似比为2， ∴； 故选：D． 8. 如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用直角三角形面积求法列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 即，故D正确． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，难度不大． 9. 如图，二次函数：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论： ①；②；③当时，或；④；⑤（m为实数），其中正确的结论是（ ） A. ②③④⑤ B. ①③④⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点坐标判断①，特殊点判断②，图象法解不等式，判断③，特殊点结合对称轴，判断④，最值判断⑤；掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为， ∴与的函数值相等，即：，故②正确； ∵点关于的对称点为， ∴当时，或；故③正确； ∵图象过点，， ∴， ∴；故④错误； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，函数值最大， 即：， ∴；故⑤正确； 综上，正确的结论是①②③⑤； 故选：D． 10. 如图，在矩形中，M是边的中点，，垂足为N，连接．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题是考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质．通过证明，可得，得到，可证①④正确；由平行线性质可得，可证，可判断②；通过证明，可得，可求，即可得，则可判断③，即可得出结论． 【详解】解：在矩形中， ， ， ， ∵是边的中点， ， ， ∴，故①正确； ∴，故④正确； ∵四边形是矩形， ， ， ，故②正确； ， ，且， ，且， ， ， ， ， ∴， ∴，故③错误． 综上所述，正确的结论有3个． 故选：C． 二、填空题（11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分） 11. 设是方程的两个根，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：熟记、是一元二次方程的两根时，是解题的关键． 利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：在中，， ∵、是方程的两个根， ， 故答案为：3． 12. 双曲线和如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义．根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵轴，轴， ∴，， ∴四边形的面积． 故答案为：2． 13. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：）与水平距离 x（单位：） 之间的关系是 ，则他将铅球推出的距离为______________． 【答案】10米## 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，成绩就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当时，， ∴， 解之得（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 故答案为：米． 14. 如图，在平行四边形中，，若，则_______． 【答案】50 【解析】 【分析】由为平行四边形可知AB∥CD，可得△AEF∽△CDF，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴△AEF∽△CDF， 又∵， ∴△AEF与△CDF的相似比为 ， ∴ ， ∴， 故答案为：50． 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形面积比为相似比的平方是解此题的关键． 15. 如图，无人机在离地面的点D处，测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶部点C的俯角为，已知操控者A和教学楼之间的水平距离为，教学楼的高度是___________m．（结果精确到1米．参考数据：） 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点A作，垂足为F，延长交于点G，在中，求出的长，然后在中，求出的长，进而即可求解． 【详解】解：如下图，过点A作，垂足为F，延长交于点G， 由题意得：，， 在中，， ，  ， 在中，， ， ， 教学楼的高度是18m， 故答案为：18． 16. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 17. 如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AE．线段AC与BB'的交点为F，线段BF是最短路程． 【详解】如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程． 设∠BAB′＝n°． ∵＝4， ∴n＝120即∠BAB′＝120°． ∵E为弧BB′中点， ∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°， ∴BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝， ∴最短路线长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形的思维． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点在直线上，若，且均为等边三角形，则线段的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，能根据题意得出（ n 为正整数）是解题的关键．根据所给一次函数解析式得出直线与轴正半轴的夹角为，再依次求出的长度，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵一次函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴此直线与轴正半轴的夹角为． ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点的坐标为， ， 同理可得，，，，．．．， 所以（为正整数）， 当时，， 故答案为：． 三、解答题（共62分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型． （1）根据乘方、二次根式、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值的运算法则即可求出答案； （2）根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）解： ． （2）， 则， ， ， 则． 20. 《中国汉字听写大会》唤醒了很多人对文字基本功的重视和对汉字文化的学习，我市某校组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表： 抽取的200名学生海选成绩分组表 组别 海选成绩x A组 50≤x＜60 B组 60≤x＜70 C组 70≤x＜80 D组 80≤x＜90 E组 90≤x≤100 请根据所给信息，解答下列问题： （1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，则a的值为　 　，表示C组扇形的圆心角θ的度数为　 　度； （3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？ （4）经过统计发现，在E组中，有2位男生和2位女生获得了满分，如果从这4人中挑选2人代表学校参加比赛，请用树状图或列表法求出所选两人正好是一男一女的概率是多少？ 【答案】 （1）补全图形如下： （2）15，72；（3）估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人； （4）分别用A、B表示两名女生，分别用C、D表示两名男生，由题意，可列表： 第一次 第二次 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由已知，共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中满足要求的有8种， ∴P（恰好抽到1个男生和1个女生）＝． 【解析】 【分析】（1）用随机抽取的总人数减去A、B、C、E组的人数，求出D组的人数，从而补全统计图； （2）用B组抽查的人数除以总人数，即可求出a；用360乘以C组所占的百分比，求出C组扇形的圆心角θ的度数； （3）用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上（包括90分）所占的百分比，即可得出答案． （4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与所选两人正好是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）D的人数是：200﹣10﹣30﹣40﹣70＝50（人）； （2）B组人数所占的百分比是×100%＝15%，则a的值是15； C组扇形的圆心角θ的度数为360°×＝72°； （3）根据题意得：2000×＝700（人）， 答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人． （4）略． 【点睛】考查的是用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，在Rt中，，点在上，以为直径的经过上的点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接、，则， ，， ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出是解题的关键． （）连接，可得，得到，即得，即可求证； （）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ， 解得， ， 22. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 （2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件）， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线：沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）或 （3）平移后的直线的函数表达式为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移； （1）由正比例函数解析式确定，然后把A点坐标代入中求出得到反比例函数解析式； （2）根据，，然后利用函数图象写出反比例函数图象在一次函数下方所对应的自变量的范围，即可求解； （3）设平移后的直线与轴交于点，连接，，则的面积与的面积相等，进而求得,设平移后的直线的函数表达式为，待定系数法求一次函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线：经过点A，A点的纵坐标是2， ∴当时，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵直线：与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图，设平移后的直线与轴交于点，连接，， ， 的面积与的面积相等， 的面积为30， ，即， ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， ∴平移后的直线的函数表达式为． 24. 如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 （1）求抛物线的关系式； （2）是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），面积最大为 （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将B，C两点坐标代入，利用待定系数法求解； （2）连接，过M作x轴的垂线交于点N，，其中为定值，设M点坐标为，则，化为顶点式，即可求出最值； （3）取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，由直角三角形斜边中线的性质可得，设点P坐标为，利用勾股定理解，求出n的值即可． 【小问1详解】 解：把B，C两点坐标代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，过M作x轴的垂线交于点N， 在中，令， 解得或， ∴A点坐标为． ∴，且， ∴， ∵， ， ∴直线BC解析式为， 设M点坐标为，则N点坐标为， ∵M在第四象限， ∴， ∴， ∴当时，，， ∴当M为时，四边形的面积有最大值， 最大值． 【小问3详解】 解：存在．如图，取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q， 在中，由勾股定理得， 由题意，当时，， 易求，抛物线的对称轴为直线， 设点P坐标为， ∴， ， 由，得， 解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数的最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想． 25. 在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是______； （2）如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立．请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在直线上时，其他条件不变，连接．若，请画出图形并直接写出的面积． 【答案】（1）， （2） （1）中的结论：，仍然成立，理由如下： 如图2中，连接，设与交于， 菱形中，且， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． （1）中的结论：，仍然成立； （3）的面积为或． 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明即可证得结论； （2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明即可； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【小问1详解】 解：如图1，连接，延长交于点， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， ， ； 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 四边形是菱形， ，平分， ，， ， ，， ， 由（2）知， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形， ， 如图4中，当点在的延长线上时，同法可得， ， 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $