1.1.2空间向量的数量积运算课后提升训练-2025-2026学年高二上学期人教A版选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算课后提升训练 人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 2．设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 3．已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 6．正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 8．已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（    ） A．最小值为B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 10．已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知正四面体的每条棱长均为为正四面体的外接球的直径，点在正四面体的表面上运动，则下列结论正确的是（    ） A．正四面体外接球的表面积为 B．正四面体内切球的体积为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题. 12．在空间四边形中，，，，，则 ． 13．已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 14．、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 16．如图，已知空间四边形． (1)若，，求证：； (2)求的值． 17．如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 18．如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 19．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，． (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 参考答案 一、单项选择题 1．D 【分析】利用，以及两个向量的数量积的定义可得的值，即可得出结果． 【详解】由题意 ， 又，即，得， 所以． 故选：D． 2．B 【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【详解】 . 故选：B 3．D 【分析】结合异面直线所成角的范围，由空间向量来求异面直线所成角即可． 【详解】依题意，得， 则， 故选：D 4．D 【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 5．D 【分析】由平面向量基本定理可得，再由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则， 所以 . 故选：D 6．C   7．B 【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 8．B 【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 二、多项选择题 9．BC 【分析】设的中点为，连接，由，可得点在以为球心，以1为半径的球面上．又设，由题可得，据此可得答案. 【详解】设的中点为，连接，则，则， 即点在以为球心，以1为半径的球面上． 如图，因为，所以． 因为正四面体的棱长为，所以，，又， 所以．设， 则． 因为，所以． 故选：BC 10．ABC 【分析】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以，故．故D错误. 故选：ABC 11．ABD 【分析】把正四面体放入正方体中，通过求得正方体的外接球的半径判断A；利用等体积法求得内切球的半径判断B；设正四面体的外接球球心为，利用向量的数量积运算可得，进而可求范围. 【详解】正四面体的每条棱长均为，把这个正四面体放在一个棱长为2的正方体内， 如图所示，则其外接球直径为正方体的体对角线，由正四面体的每条棱长均为， 可得正方体的棱长为，利用勾股定理可得正方体的体对角线为， 从而可得外接球的半径，外接球的表面积为，故A正确. 由题意可得， 设正四面体的内切球半径为，所以， 解得，其体积，故B正确. 设正四面体的外接球球心为，则， .因为点在正四面体的表面上运动，所以， 则的取值范围为，所以C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．22 【分析】由，可得，化简可得，然后结合可得答案. 【详解】因，则， ， 则， 整理得，因此． . 故答案为：22 13． 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 14． 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．(1)10 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由向量数量积的定义计算即可； （2）根据数量积为0证明垂直； （3）由，再计算模长即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以； （3）因为， 所以 . 所以. 16．(1)证明见解析 (2)0 【分析】（1）得，得，两式相减，化简得到答案 （2），代入提公因式化简可以得到答案 【详解】（1）因为，所以， 同理可得，两式相减可得， 即，所以． （2） ． 17．(1)1 (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. （2）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】（1）依题意，． （2）取中点，则． 而，则，所以． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性定理和向量的数量积定义进行求解即可. （2）根据空间向量的线性定理、向量的数量积定义和向量的模进行求解即可. 【详解】（1）由题意可得，，， 所以. （2） ， 所以线段的长为． 19．(1)， (2)（ⅰ）14；（ⅱ） 【分析】（1）连接，取中点为，连接，结合空间向量的线性运算，以为基底表示向量即可求解； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，，即可得结论. 【详解】（1）连接，取中点为，连接．    因为底面是正六边形，所以，即， 所以，又因为，所以． （2）由题知，， 根据，可知， 因为底面是正六边形，所以，所以． （ⅰ）． （ⅱ）因为， 所以，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$