3.1.2椭圆的简单几何性质讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学讲义 2025～2026学年上学期高二数学讲义 教材：人教A版高中数学选择性必修第一册 章节：3.1.2椭圆的简单几何性质 part1 知识清单 知识点01：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 知识点02：椭圆的简单几何性质 知识点03：常用结论 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点04：直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 2、直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为 运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： （3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点， ．求：的面积（用、、表示）． 设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知： · ① 由椭圆定义知： ②，则得 故 Part2 教材重点例题与习题 1.求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 【答案】解：由题知，得，，， 所以长轴长，短轴长， 离心率：，焦点，， 顶点坐标、、、． 2.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点已知，，试建立适当的坐标系，求截口所在的椭圆的方程；精确到 【答案】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为在中， ． 由椭圆的性质知，， ． 所求的椭圆方程为．  3.动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹？ 【答案】解：由点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数． 则， 整理得点的轨迹方程为：． 故答案为：．  4.已知直线和椭圆为何值时，直线与椭圆 有两个公共点 有且只有一个公共点没有公共点 【答案】解：由方程组 消去、得 方程的根的判别式 由，得，此时方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆个不同的公共点． 由，得，此时方程有两个相等的实数根，直线与椭有且只有一个公共点． 由，得，或此时方程没有实数根，直线与椭圆没有公共点．  5.求下列椭圆的焦点坐标： ． 【答案】解：的，， 焦点在轴上，， 则焦点坐标为，； ，即为， 由，可得焦点在轴上， ， 即焦点的坐标为，． 6.求适合下列条件的椭圆的标准方程：焦点在轴上，，焦点在轴上，，． 【答案】解：焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， ，，，，， 椭圆的标准方程为． 焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， ，，，，， 椭圆的标准方程为．  7.求适合下列条件的椭圆的标准方程：经过，两点 长轴长等于，离心率等于． 【答案】解：由题意知，、分别是椭圆的长轴，短轴的端点，且焦点在轴上， 设椭圆的标准方程为由题意知，，， 椭圆的标准方程为． ，又，，， 椭圆的标准方程为或．  8.比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆为什么 与 与． 【答案】解：化为，其离心率， 椭圆的离心率， ， 更圆，更扁； 化为，其离心率， 椭圆的离心率， ， 更圆，更扁．  9.求下列直线与椭圆的交点坐标： ， ，． 【答案】解：由消去并整理，得， ，此时， 交点的坐标为 由消去并整理，得 ， 或，此时或． 交点的坐标为或  10.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长． 【答案】解：椭圆的左焦点，倾斜角为的直线的斜率为：， 则直线的方程为：， 设，， 联立 消去，整理得， 所以，， 又，， 所以．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知焦点在轴上的椭圆：的焦距为，则的离心率(    ) A. B. C. D. 2.已知椭圆的离心率为，则(    ) A. B. C. D. 3.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 4.已知椭圆的焦点在轴上，，是椭圆短轴的两个端点，是椭圆的一个焦点，且，则(    ) A. B. C. D. 5.椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 6.椭圆的长轴长为(    ) A. B. C. D. 7.椭圆的离心率是(    ) A. B. C. D. 8.已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的斜率为(    ) A. B. C. D. 9.过椭圆中心的直线交椭圆于两点，右焦点为，则的最大面积是(    ) A. B. C. D. 10.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是(    ) A. B. C. D. 11.椭圆的左顶点到右焦点的距离为(    ) A. B. C. D. 12.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为(    ) A. B. C. D. 13.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 14.椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 15.已知椭圆的离心率为，则      A. B. C. D. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 16.已知椭圆的左、右焦点为，为坐标原点，直线过交于两点，若的周长为，则(    ) A. 椭圆焦距为； B. 椭圆方程为； C. 弦长； D. ． 17.已知直线：被椭圆：截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有(    ) A. B. C. D. 三、填空题 18.已知，，分别是椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于的方程无实根，则椭圆的离心率的取值范围是          ． 19.如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜角母线与竖直方向所成角后，液面呈椭圆形，当时，该椭圆的离心率为           20.写出一个长轴长等于离心率倍的椭圆标准方程为          ． 21.已知点，在椭圆：上，则椭圆的方程为          ，若直线交椭圆于，两点，则          ． 22.已知点，椭圆上两点，满足，则当___________时，点横坐标的绝对值最大． 23.若椭圆的离心率为，则          ． 24.已知椭圆的离心率，则的值等于          ． 25.黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”，离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”：的左右顶点分别为，，“优美椭圆”上动点异于椭圆的左右顶点，设直线，的斜率分别为，，则          ． 26.如图，平面与平面相交成锐二面角，其大小为，平面内的一个圆在平面上的射影是离心率为的椭圆，则等于          ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 27.已知，是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点， 若为等边三角形，求的离心率； 如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围． 28. 已知椭圆的离心率为，，，，的面积为． Ⅰ求椭圆的方程 Ⅱ设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点求证：为等腰三角形． 29.设椭圆：的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为． 当与轴垂直时，求直线的方程； 设为坐标原点，证明：． 30.已知椭圆：的短轴长为，离心率为 求椭圆的方程； 设过定点的直线与中的椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  【解答】 解：椭圆：的焦点在轴上，且焦距为， ，， ，， ． 故选C． 2.【答案】  【解答】 解：由题意，，得，则， ，即． 故选B． 3.【答案】  【解答】 解：椭圆：的一个焦点为， 可得，解得， ， ． 故选C． 4.【答案】  【解答】 解：椭圆的焦点在轴上， ，，，                         则，，， ，， 则， 即，则， 得，得， 故选：． 5.【答案】  【解答】解：由条件可知，， 所以， 所以． 故选A． 6.【答案】  【解答】 解：椭圆的长轴长． 故选：． 7.【答案】  【解答】 解：由椭圆，得， ， ，， 即． 故选C． 8.【答案】  【解答】 解：设直线与椭圆相交于两点， 代入椭圆方程可得，， 两式相减得， ，，， ，解得． 故选C． 9.【答案】  【解答】 解：设，则， 的面积是， 当最大时，的面积取最大值， 所以直线与轴垂直时，的面积取最大值， 则的面积的最大值为． 故选C． 10.【答案】  【解答】 解： 由题意，可设， 设，，，， ，， ， ， 故选B． 11.【答案】  【解答】 解：由椭圆知，则， 椭圆的左顶点为，右焦点， 椭圆的左顶点到右焦点的距离为． 故选D． 12.【答案】  【解答】 解：由椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍， 可得， 解得． 故选A． 13.【答案】  【解答】 解：由椭圆：的一个焦点为， 则，且，得，则， 所以的离心率为． 故选C． 14.【答案】  【解答】 解：将椭圆方程化为标准方程得， 所以，，， 所以长轴长为， 短轴长为， 离心率为． 故选B． 15.【答案】  【解答】 解：因为椭圆的离心率为， 所以， 得． 故选A． 16.【答案】  【解答】 解：直线过，得，即，椭圆焦距为，故A错误； 的周长为，根据椭圆定义得的周长为，所以，得， 所以，所以椭圆方程为，故B正确； 联立得，， 所以，故C正确； 到直线的距离， 所以故D错误， 故选BC． 17.【答案】  【解答】 解：由于直线：被椭圆截得的弦长为， 根据对称性可得：，，满足条件． 直线被椭圆截得的弦长不为． 综上可得：下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有． 故选ACD． 18.【答案】  【解答】 解：由关于的方程无实根，则， 即， 故， 解得或，  而， ． 故答案为． 19.【答案】  【解答】 解：设圆柱形杯子的底面半径为，画示意图如图所示： 则是椭圆的长半轴长，是椭圆的短半轴长，则， 又，则．  故答案为：． 20.【答案】答案不唯一  【解答】 解：不妨设椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为， 因为长轴长等于离心率倍，故，即， 不妨令，则， 所以满足条件的一个椭圆方程为． 故答案为：答案不唯一 21.【答案】  【解答】 解：由题意可知：椭圆：上，由点，，焦点在轴上， 则，， 椭圆的标准方程：； Ⅱ设，， 则，消去，整理得， 则，，，， 则． 故答案为：；． 22.【答案】  【解答】 解：设，， 由，， 可得，， 即有，， 又， 即为， 又， 得， 可得， 解得，， 则， 即有 ， 即有时，有最大值， 即点横坐标的绝对值最大． 故答案为：． 23.【答案】  【解答】 解：椭圆的方程为： ， 即， 则椭圆的焦点在轴，， 解得． 故答案为． 24.【答案】或  【解答】 解：由题意可得，， 椭圆， 当椭圆焦点在轴上时，，， 则， 可得， 离心率，解得； 当椭圆焦点在轴上时，，， 则， 可得， 离心率， 解得． 综上所述，或． 故答案为或． 25.【答案】  【解答】 解：设，，， “优美椭圆”的左顶点，右顶点， 则 ， 故答案为． 26.【答案】  【解答】 解：由题意可得：平面上的一个圆在平面上的射影是一个离心率为的椭圆， 也可以说为：上的一个离心率为的椭圆在上的射影是一个圆， 设圆的半径为，所以， 又因为，并且，所以 所以，所以． 故答案为． 27.【答案】解：连接，由为等边三角形，可知在中， ，，，于是， 故曲线的离心率． 由题意可知，满足条件的点存在，当且仅当： ，，， 即， ， ， 由及得，又由知，故， 由得，所以， 从而，故， 当，时，存在满足条件的点． 所以，的取值范围为．  28.【答案】解：Ⅰ由题解得 所以椭圆的方程为． Ⅱ证明：由知，， 设，则， ， 设直线方程为，直线方程为， 由解得点． 由于， 于是直线的方程为，直线的方程为． 由，解得点． 于是，所以轴． 设中点为，则点的纵坐标为． 故中点在定直线上． 从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以， 所以为等腰三角形．  29.【答案】解：，， 与轴垂直， 直线的方程为， 由，解得或 的坐标为或， 直线的方程为或； 当与轴重合时，， 当与轴垂直时，为的垂直平分线， ， 当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，， ，，则，， 则， 由，，得， 将代入，整理可得， 则，，， ， 从而， 故，的倾斜角互补， ， 综上，．  30.【答案】解：由已知得 ，， 又， 解得， 椭圆的方程为． 由题意知，直线斜率存在，可设直线方程为，将其代入， 得， 设，， ，解得， 由根与系数的关系，得， 为锐角， ， ， ， ， 代入，， 化简得， 解得， 由且， 解得  第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$