3.1.1椭圆及其标准方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学讲义 2025～2026学年上学期高二数学讲义 教材：人教A版高中数学选择性必修第一册 章节：3.1.1椭圆及其标准方程 part1 知识清单 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02：椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 特别说明： 1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. Part2 教材重点例题与习题 1.如果椭圆上一点与焦点的距离等于，那么点与另一个焦点的距离是          ． 【答案】  【解答】 解：椭圆， ， 由椭圆的定义可得，， 椭圆上一点与焦点的距离等于， ， ． 故答案为：． 2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程． 【答案】解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 由焦点坐标知，， 所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 3.如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程； 【答案】解：设，，则． 为线段的中点， ，即，． 又点在圆：上， ，即． 故点的轨迹方程为．  4.如图，设，两点的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程． 【答案】解：设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率 ． 同理，直线的斜率． 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程为． 点的轨迹是除去，两点的椭圆．  5.求适合下列条件的椭圆的标准方程： ，，焦点在轴上； ，，焦点在轴上； ，． 【答案】解：椭圆的标准方程为． 焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，，，， 椭圆的标准方程为． ，，， 由得 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为．  6.已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点． 求的周长； 如果不垂直于轴，的周长有变化吗为什么 【答案】由椭圆可得， 根据椭圆的定义：， ， ， 故的周长为； 不垂直于轴，的周长没有变化． 根据椭圆的定义：，， ，  7.已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是，点的轨迹是什么？为什么？ 【答案】解：设，因为直线的斜率与直线的斜率的商是， 所以， 所以，， 整理解得． 所以点的轨迹是直线，并除去一点．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为(    ) A. B. C. D. 2.是椭圆上一点，且，则(    ) A. B. C. D. 3.椭圆的焦点坐标是(    ) A. B. C. D. 4.焦点在轴上，长半轴长为，短轴长为的椭圆的标准方程为(    ) A. B. C. D. 5.椭圆和具有  (    ) A. 相同的离心率． B. 相同的焦点． C. 相同的顶点． D. 相同的长、短轴． 6.已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么：(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 7.如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，则(    ) A. B. C. D. 8.已知椭圆的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 9.与圆：内切且与圆：外切的动圆圆心的轨迹为(    ) A. 圆 B. 线段 C. 椭圆 D. 双曲线 二、填空题 10.椭圆的焦距为，则          ． 11.椭圆两焦点之间的距离为          ． 12.设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为______． 13.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是          ． 14.已知点在椭圆方程上，点坐标为，则的取值范围为          ． 15.设是椭圆的长轴，若把分成等分，依次过每个分点作的垂线，交椭圆的上半部分于、、．为椭圆的左焦点，则的值          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.已知，是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点， 若为等边三角形，求的离心率； 如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围． 17.求适合下列条件的曲线的标准方程： 与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆标准方程； 经过点，的双曲线标准方程． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  【解答】 解：因为， 所以椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为． 故选B． 2.【答案】  【解答】 解：由椭圆的方程为，可化为， ． 是椭圆上一点， 根据椭圆的定义可得：， ． 故选A． 3.【答案】  【解答】 解：根据题意，椭圆的标准方程为， 则其焦点在轴上，且， 则椭圆的焦点坐标为和， 故选B． 4.【答案】  【解答】 解：由题可设椭圆方程为， 所以，，， 故椭圆方程为： ． 故答案选：． 5.【答案】  【解答】 解：若， 椭圆的焦点为，顶点为，，长轴长为，短轴长为， 离心率为； 椭圆的焦点为，顶点为，，长轴长为，短轴长为， 离心率为， 所以两个椭圆的离心率相同． 同理可得当时，两个椭圆的离心率相同． 故选A． 6.【答案】  【解答】 解：是的中点， 平行轴，即垂直于轴， ， ， 设，根据椭圆定义可知， ，解得：， ，， ：：． 故选：． 7.【答案】  【解答】 解：由题意，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为， 则，， 所以． 故选A． 8.【答案】  【解答】 解：由题知椭圆的右焦点为，设左焦点为， 由椭圆的定义可得，即， 可得． 由可得， 解得，所以． 又因为点在椭圆内，所以， 所以，解得或． 综上，实数的取值范围是． 故选A． 9.【答案】  【解答】 解：圆：可化为， 所以圆的圆心坐标，半径， 圆：可化为， 所以圆的圆心坐标，半径， 设动圆圆心，半径为， 由题意可得：， ， 于是， 故动圆圆心的轨迹为椭圆． 故选C． 10.【答案】或  【解答】 解：由题意可得焦距，， 当椭圆焦点在轴上时，有，则， 当椭圆焦点在轴上时，有，则， 所以的取值为或． 故答案为：或． 11.【答案】  【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：， 其焦点坐标为， 则两焦点之间的距离为， 故答案为：． 12.【答案】  【解答】 解：设，， 由椭圆：可得，，，， 则取， 由于为上一点且在第一象限，可得， 为等腰三角形，可能或， 所以 解得 所以 故答案为 13.【答案】  【解答】 解：由椭圆得，，， 设椭圆的右焦点为，连接， 线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 连接，可得， 中，，，， 由余弦定理得 ， ， ，即直线的斜率为． 故答案为． 14.【答案】  【解答】 解：设，则， 又在椭圆 ， ，其中， 关于的二次函数，开口向上，它的对称轴是， 根据二次函数的性质， 可知：当时，取得最小值；当时，取得最大值． 所以，的取值范围是， 故答案为： 15.【答案】  【解答】 解：是椭圆的左焦点，不妨令右焦点为， 分别连接点与，，九个点， 根据对称性易知当时有：，其中、， 由椭圆定义可知：，， ， 即， 又， ． 故答案为． 16.【答案】解：连接，由为等边三角形，可知在中， ，，，于是， 故曲线的离心率． 由题意可知，满足条件的点存在，当且仅当： ，，， 即， ， ， 由及得，又由知，故， 由得，所以， 从而，故， 当，时，存在满足条件的点． 所以，的取值范围为．  17.【答案】解：椭圆的焦点坐标为，  椭圆过，  ，  ，，  椭圆的标准方程为；  设双曲线方程为， 点，在双曲线上， 解之得 双曲线方程为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$