圆锥曲线培优三对称问题专练-2025届高三数学二轮复习

圆锥曲线培优三 对称问题 1.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P（，1），F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且·＝1. (1)求椭圆C的方程； (2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|，设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值． 【解】　(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，则1＝（－c－，－1），2＝（c－，－1）.因为·＝－c2＋2＋1＝1，所以c＝.又P（，1）在椭圆上，故＋＝1，又a2＝b2＋2，解得a2＝4，b2＝2， 故所求椭圆方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0， 由Δ>0，得m2<4k2＋2(*)，且x1＋x2＝，因此y1＋y2＝， 所以D. 又N(0，－m)，所以|ND|2＝＋， 整理得|ND|2＝. 因为|NF|＝|m|，所以＝＝1＋. 令t＝8k2＋3，t≥3， 故2k2＋1＝， 所以＝1＋＝1＋. 令y＝t＋，所以y′＝1－， 当t≥3时，y′>0，从而y＝t＋在[3，＋∞）上单调递增， 因此t＋≥，当且仅当t＝3时等号成立，此时k＝0，所以≤1＋3＝4， 由(*)得－<m<且m≠0，故≥. 设∠EDF＝2θ，则sin θ＝≥，所以θ的最小值为， 从而∠EDF的最小值为，此时直线l的斜率为0. 综上所述，当k＝0，m∈（－，0）∪（0，）时，∠EDF取得最小值. 2.已知F(c，0)是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点，M(2c，c)，原点O到直线MF的距离为，点在E上． (1)求E的方程； (2)过点F作直线与E交于A，B两点，直线MA，MB与y轴分别交于H，G两点，求证：H，G关于点(0，－1)对称． 解：(1)由题意可得直线MF的方程为y＝(x－c)，即x－y－c＝0. 原点O到直线MF的距离为＝，解得c＝1.因为点在E上，所以2a＝＋＝2，即a＝，又b2＝a2－c2＝1，所以E的方程为＋y2＝1. (2)证明：当直线AB的斜率为0时，可得H（0，－1），G（0，－－1）， 所以H，G关于点(0，－1)对称． 当直线AB的斜率不为0或不存在时，设过点F的直线方程为x＝my＋1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2). 将直线方程与椭圆方程联立，得 消去x，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝. 直线MA的方程为y－1＝(x－2)，令x＝0，得yH＝， 同理可得yG＝. 所以＝ ＝＝＝－1. 所以HG的中点为(0，－1)，即H，G关于点(0，－1)对称． 3.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(c，0)，且满足c－b＝－1，c2－b2＝2. (1)求椭圆E的标准方程； (2)若E上存在M，N两点关于直线l：y＝kx＋对称，且满足·＝0（O为坐标原点），求l的方程． 【解】　(1)由c－b＝－1，c2－b2＝2，可得c＋b＝＝＋1，解得c＝，b＝1，a2＝4，故椭圆E的标准方程为＋y2＝1. (2)由题意可知当k＝0时，直线l：y＝， 此时E上不会存在M，N两点关于直线l：y＝对称，不合题意， 故设直线MN的方程为y＝－x＋t，联立 整理得x2－x＋4t2－4＝0， 需满足Δ＝16>0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝， 故y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2t＝－＋2t＝， y1y2＝＝x1x2－(x1＋x2)＋t2＝， 故MN的中点坐标为， 即， 由于M，N两点关于直线l：y＝kx＋对称， 故将该点坐标代入y＝kx＋得＝k·＋，化简得t＝－. 由·＝0可得(x1，y1)·(x2，y2)＝0，即x1x2＋y1y2＝0， 所以＋＝0， 化简得5k2t2－4k2－4＝0， 将t＝－代入5k2t2－4k2－4＝0中，可得11k4－24k2－80＝0， 解得k2＝4或k2＝－（舍去）， 当k2＝4时，t＝－＝－1，满足Δ＝16>0，故k＝±2， 所以l的方程为y＝2x＋或y＝－2x＋. 4.在平面直角坐标系中，分别过点A(－2，0)，B(2，0)的直线l1，l2的斜率之积为－. (1)求l1与l2的交点P的轨迹方程； (2)已知直线AP与直线x＝2交于点Q，线段QB的中点为M，若点F的坐标为(1，0)，求证：点B关于直线FM的对称点在直线PF上． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则l1的斜率为，l2的斜率为， 由×＝－，化简可得＋＝1(x≠±2)， 所以点P的轨迹方程为＋＝1(x≠±2). (2)证明：“点B关于直线FM的对称点在直线PF上”等价于“FM平分∠PFB”，如图． 设直线AP的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，则Q(2，4k)，M(2，2k)，设点P(x0，y0)， 由得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，Δ＝144>0，得x0＝且y0＝. ①当PF⊥x轴时，x0＝1，此时k＝±，所以P，Q(2，±2)，M(2，±1)， 此时，点M在∠PFB的平分线所在的直线y＝x－1或y＝－x＋1上，则FM平分∠PFB. ②当k≠±时，直线PF的斜率为kPF＝＝，所以直线PF的方程为4kx＋(4k2－1)y－4k＝0， 所以点M到直线PF的距离d＝＝ ＝＝|2k|＝|BM|， 又|BM|即点M到∠PFB的边BF的距离，所以FM平分∠PFB. 综上，点B关于直线FM的对称点在直线PF上． 5.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一动点到两焦点F1(－c，0)，F2(c，0)的距离之和为4，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)试确定m的取值范围，使得C上存在不同的两点关于l：y＝4x＋m对称． 解：(1)依题意，令动点为P，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以a＝2，又＝，所以c＝1，b2＝3，则椭圆方程为＋＝1. (2)设存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于l对称，且AB中点Q(x0，y0)，则两式相减，得kAB＝－＝－，所以y0＝3x0，又y0＝4x0＋m，所以 所以＋<1， 所以m∈. 6.在圆O：x2＋y2＝4上取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆O上运动时，设线段PD中点M的轨迹为E. (1)求E的方程． (2)试问：在E上是否存在M，N两点关于直线l：y＝kx＋对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)设M(x，y)，则点P(x，2y)，将P(x，2y)代入圆O：x2＋y2＝4，可得x2＋4y2＝4， ∴E的方程为＋y2＝1. (2)存在． 显然，直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN的方程为y＝－x＋m， 联立消去y并整理得(k2＋4)x2－8mkx＋4k2(m2－1)＝0， Δ＝(－8mk)2－16(k2＋4)k2(m2－1)>0，化为k2＋4>k2m2. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 依题意OM⊥ON，可得·＝0， ∴x1x2＋y1y2＝0， 又y1y2＝＝x1x2－(x1＋x2)＋m2， ∴x1x2＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋m2＝0， 即－·＋m2＝0，解得k2＝， 由MN的中点在直线y＝kx＋上，得＝k·＋， 即＝k·＋，化为＋＝0， 把k2＝代入化为10m2＋m－6＝0， 解得m＝（舍去）或m＝－， ∴k2＝＝2，解得k＝±， 满足k2＋4>k2m2，即满足Δ>0， ∴在E上存在M，N两点关于直线l：y＝kx＋对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点，直线l的方程为y＝±x＋. 7.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，（0，）是椭圆C上一点． (1)求椭圆C的方程． (2)若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A(－2，1)是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值．如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． 解：(1)由题意知b＝，又离心率e＝，所以a＝c，于是有所以a＝2，c＝. 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)是． 由于直线l的斜率为，所以可设直线l的方程为y＝x＋t， 代入椭圆C：x2＋4y2＝8，可得x2＋2tx＋2t2－4＝0. 由于直线l交椭圆C于P，Q两点，所以Δ＝4t2－4(2t2－4)>0，解得－2<t<2. 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，于是有x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4.由于点P与点E关于原点对称，故点E(－x1，－y1)， 设直线AE与AQ的斜率分别为kAE，kAQ，由于点A(－2，1)， 则kAE＋kAQ＝＋＝， 又y1＝x1＋t，y2＝x2＋t， 于是有(2－x1)(y2－1)－(2＋x2)(y1＋1)＝2(y2－y1)－(x1y2＋x2y1)＋x1－x2－4＝x2－x1－(x1x2＋tx1＋tx2)＋x1－x2－4＝－x1x2－t(x1＋x2)－4＝－(2t2－4)－t(－2t)－4＝0， 即kAE＋kAQ＝0.故直线AE与AQ的斜率之和为0. 8.已知点B(1，0)，点M是圆A：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，线段MB的垂直平分线交半径MA于点P，当点M在圆A上运动时，记点P的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)作BQ⊥x轴，交轨迹E于点Q（点Q在x轴的上方），直线l：x＝my＋n(m，n∈R)与轨迹E交于C，D两点（l不过点Q），若CQ和DQ关于直线BQ对称，试求m的值． 解：(1)圆A：(x＋1)2＋y2＝16的圆心A(－1，0)，半径r＝4， ∵点P为线段MB的垂直平分线与半径MA的交点，∴|PM|＝|PB|， ∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PM|＝|AM|＝4>|AB|＝2， ∴点P的轨迹E是以A，B为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝4，2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝＝， ∴轨迹E的方程为＋＝1. (2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)， ∵BQ⊥x轴，点Q在x轴的上方， 将x＝1代入方程＋＝1，可得y＝±，则Q， 联立可得(3m2＋4)y2＋6mny＋3n2－12＝0， Δ＝36m2n2－12(3m2＋4)(n2－4)>0，可得n2<3m2＋4， 由根与系数的关系可得y1＋y2＝－，y1y2＝. ∵CQ，DQ关于直线BQ对称，∴kCQ＋kDQ＝0， 则＋＝0⇒(x1－1)· ＋(x2－1)＝0， 又x1＝my1＋n，x2＝my2＋n， 则2my1y2＋(y1＋y2)－3n＋3＝0，即2m·＋·－3n＋3＝0， 化简得3m2＋(2n－8)m－4n＋4＝0，即(m－2)(3m＋2n－2)＝0， 则m＝2或3m＋2n－2＝0， 当3m＋2n－2＝0时，n＝1－m， 此时，直线l的方程为x＝my＋1－m＝m＋1， 直线l过点Q，不符合题意． 综上所述，m＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线培优三 对称问题 1.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P（，1），F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且·＝1. (1)求椭圆C的方程； (2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|，设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值． 2.已知F(c，0)是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点，M(2c，c)，原点O到直线MF的距离为，点在E上． (1)求E的方程； (2)过点F作直线与E交于A，B两点，直线MA，MB与y轴分别交于H，G两点，求证：H，G关于点(0，－1)对称． 3.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(c，0)，且满足c－b＝－1，c2－b2＝2. (1)求椭圆E的标准方程； (2)若E上存在M，N两点关于直线l：y＝kx＋对称，且满足·＝0（O为坐标原点），求l的方程． 4.在平面直角坐标系中，分别过点A(－2，0)，B(2，0)的直线l1，l2的斜率之积为－. (1)求l1与l2的交点P的轨迹方程； (2)已知直线AP与直线x＝2交于点Q，线段QB的中点为M，若点F的坐标为(1，0)，求证：点B关于直线FM的对称点在直线PF上． 5.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一动点到两焦点F1(－c，0)，F2(c，0)的距离之和为4，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)试确定m的取值范围，使得C上存在不同的两点关于l：y＝4x＋m对称． 6.在圆O：x2＋y2＝4上取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆O上运动时，设线段PD中点M的轨迹为E. (1)求E的方程． (2)试问：在E上是否存在M，N两点关于直线l：y＝kx＋对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 7.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，（0，）是椭圆C上一点． (1)求椭圆C的方程． (2)若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A(－2，1)是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值．如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． 8.已知点B(1，0)，点M是圆A：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，线段MB的垂直平分线交半径MA于点P，当点M在圆A上运动时，记点P的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)作BQ⊥x轴，交轨迹E于点Q（点Q在x轴的上方），直线l：x＝my＋n(m，n∈R)与轨迹E交于C，D两点（l不过点Q），若CQ和DQ关于直线BQ对称，试求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$