17.1 一元二次方程 暑假巩固练习2024-2025学年沪科版八年级数学下册

沪科版八年级下册 17.1 一元二次方程 暑假巩固 一、一元二次方程解的定义与识别 1.已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A. B. C. D. 2.已知关于x的一元二次方程（a≠0），若，则该方程必有一个根是（    ） A. B. C. D. 3.下列一元二次方程中有一个根是的是（    ） A. B. C. D. 4.写出一个未知数为x，二次项系数为1，且有一个根为1的一元二次方程：            5.写出有一个根为0的一个一元二次方程       ． 6.观察下列方程： (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 7.从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 二、化为一元二次方程的一般形式 1.把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A. B. C. D. 2.将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A. B. C. D. 3.一元二次方程化为一般形式是（ ） A. B. C. D. 4.一元二次方程化为一般式是      ． 5.方程化成一般式是            ． 6.把下列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）2x2＝31； （2）x（x）＝0； （3）（x﹣2）2+1＝x﹣2； （4）x2﹣（x﹣1）2+（2x+3）2＝x2﹣2． 7.将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式． 三、根据一元二次方程的解求未知字母或代数式的值 1.已知是关于的方程的一个根，则的值为（    ） A. B.1 C.2 D. 2.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A.1 B.0 C.﹣1 D.±1 3.若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4 4.若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则6a2﹣2a+2024的值是 　　． 5.若关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣5＝0的一个根是1，则a的值是 　　． 6.若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值． 7.已知m是方程2x2﹣7x+1＝0的一个根，求代数式m（2m﹣7）+5的值． 四、利用一元二次方程的一般形式确定各项系数 1.一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝1化为一般形式后，常数项为（　　） A.﹣6 B.6 C.﹣5 D.5 2.已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的常数项是0，则a的值为（　　） A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D. 3.若将一元二次方程3x2﹣1＝﹣x化成一般式为3x2+bx+c＝0，则b﹣c的值为（　　） A.2 B.﹣3 C.1 D.﹣1 4.将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a+b+c＝　     　． 5.一元二次方程5x2+x﹣3＝0的常数项是 　     　． 6.将一元二次方程（2x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝0化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 7.已知关于x的一元二次方程（a+2）x2+（a2﹣4）x+2＝0的一次项系数为0，请你求出a的值． 五、根据实际问题抽象为一元二次方程 1.一次足球联赛实行单循环比赛（每两支球队之间都比赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是（　　） A.x（x﹣1）＝15 B.x（x+1）＝15 C. D. 2.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A.200（1+x）2＝242 B.200（1﹣x）2＝242 C.200（1+2x）＝242 D.200（1﹣2x）＝242 3.由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　） A.5+5x+52＝20 B.5（1+x）2＝20 C.5（1+x）3＝20 D.5+5（1+x）+5（1+x）2＝20 4.公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，设正方形空地原来的边长为x m，则可列方程为 　                    　． 5.某出版社为支持“乡村图书馆”建设，购买了两批次的书，每次降价且降价比例一样，每本书的售价由50元降为32元，设每次降价的百分率是x，则根据题意，可列方程为 　          　． 6.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式． （1）某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增长率都相同，求每月印刷的增长率x； （2）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生132条消息． 7.一个大正方形的边长是小正方形边长的3倍多1，若两正方形面积和为53，求两正方形的边长．（列方程，并化为一般式） 六、利用一元二次方程的概念求字母的值 1.关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（　　） A.﹣2 B.2 C.±2 D.4 2.方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A.m＝﹣2 B.m＝2 C.m＝±2 D.m≠±2 3.若关于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为（　　） A.﹣1 B.1 C.2 D.±3 4.当方程（m+1）x﹣2=0是一元二次方程时，m的值为   ． 5.若方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　   　． 6.若关于x的方程（k﹣1）x|k﹣3|+2x＝3是一元二次方程，求k的值． 7.关于x的方程． （1）m取何值时，它是一元二次方程？ （2）m取何值时，它是一元一次方程？ 沪科版八年级下册 17.1 一元二次方程 暑假巩固（参考答案） 一、一元二次方程解的定义与识别 1.已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 2.已知关于x的一元二次方程（a≠0），若，则该方程必有一个根是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】时，左边，右边， ∵， ∴左边=右边， 故是方程的一个根； 当时，左边，右边， ∵， ∴左边≠右边， 故不是方程的一个根； 当时，左边，右边， ∵， ∴左边≠右边， 故不是方程的一个根； 当时，左边，右边， ∵， ∴左边≠右边， 故不是方程的一个根； 故选A． 3.下列一元二次方程中有一个根是的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】、把方程得，左边右边， ∴不是方程的根，该选项不合题意； 、把方程得，左边右边， ∴不是方程的根，该选项不合题意； 、把方程得，左边右边， ∴不是方程的根，该选项不合题意； 、把方程得，左边右边， ∴是方程的根，该选项不合题意； 故选：． 4.写出一个未知数为x，二次项系数为1，且有一个根为1的一元二次方程：            【答案】（不唯一）． 【解析】答案不唯一． 设一元二次方程为， 把代入可得，， 所以， 如：，时，． 故答案为：（不唯一）． 5.写出有一个根为0的一个一元二次方程       ． 【答案】 【解析】有一个根为0的一个一元二次方程． 故答案为： 6.观察下列方程： (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 【答案】（1）解：由规律得，第5个方程为：；其两个解，； 故答案为：；，； （2）解：根据规律，第n个方程为：，其两个解为：，； 当时，方程左边右边， 当时，方程左边右边， ∴，是方程的两个根． 7.从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 【答案】（1）解：一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根； （2）由于时，，故也是方程的一个根． 即：方程还有另一个根：． 二、化为一元二次方程的一般形式 1.把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴方程的一般形式为：． 故选：A． 2.将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ， 故选C． 3.一元二次方程化为一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， ， ， 故选：C． 4.一元二次方程化为一般式是      ． 【答案】 【解析】， ； 故答案为：． 5.方程化成一般式是            ． 【答案】 【解析】 ． 故答案为：． 6.把下列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）2x2＝31； （2）x（x）＝0； （3）（x﹣2）2+1＝x﹣2； （4）x2﹣（x﹣1）2+（2x+3）2＝x2﹣2． 【答案】解：（1）∵2x2＝31， ∴2x2﹣31＝0； （2）x（x）＝0， x2x＝0； （3）（x﹣2）2+1＝x﹣2， x2﹣4x+4+1＝x﹣2， x2﹣4x﹣x+4+1+2＝0， x2﹣5x+7＝0； （4）x2﹣（x﹣1）2+（2x+3）2＝x2﹣2， x2﹣x2+2x﹣1+4x2+12x+9＝x2﹣2， x2﹣x2+2x﹣1+4x2+12x+9﹣x2+2＝0， 3x2+14x+10＝0． 7.将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式． 【答案】解：根据题意，得：（x+1）•2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22， 整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22， 即：x2+2x﹣18＝0， 它符合一元二次方程的定义． 三、根据一元二次方程的解求未知字母或代数式的值 1.已知是关于的方程的一个根，则的值为（    ） A. B.1 C.2 D. 【答案】B 【解析】解：∵是关于的方程的一个根， 将代入得 解得． 故选：B． 2.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A.1 B.0 C.﹣1 D.±1 【答案】C 【解析】把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0得|a|﹣1＝0， 解得a＝1或a＝﹣1， ∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣1． 故选：C． 3.若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4 【答案】A 【解析】把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0可得4﹣6+a＝0， 解得a＝2， 故选：A． 4.若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则6a2﹣2a+2024的值是 　　． 【答案】2026． 【解析】∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根， ∴3a2﹣a﹣1＝0，则3a2﹣a＝1， ∴6a2﹣2a+2024 ＝2（3a2﹣a）+2024 ＝2×1+2024 ＝2026， 故答案为：2026． 5.若关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣5＝0的一个根是1，则a的值是 　　． 【答案】2． 【解析】把x＝1代入x2+2x+a﹣5＝0得1+2+a﹣5＝0， 解得a＝2， 故答案为：2． 6.若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值． 【答案】解：将x＝a代入x2﹣3x﹣9＝0得a2﹣3a﹣9＝0， ∴a2﹣3a＝9， （a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1） ＝a2﹣16﹣3a+3 ＝a2﹣3a﹣13 ＝9﹣13 ＝﹣4． 7.已知m是方程2x2﹣7x+1＝0的一个根，求代数式m（2m﹣7）+5的值． 【答案】解：根据题意得：2m2﹣7m+1＝0， ∴2m2﹣7m＝﹣1， ∴m（2m﹣7）+5＝2m2﹣7m+5＝﹣1+5＝4． 四、利用一元二次方程的一般形式确定各项系数 1.一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝1化为一般形式后，常数项为（　　） A.﹣6 B.6 C.﹣5 D.5 【答案】D 【解析】方程整理得：x2﹣3x﹣2x+6＝1， 即x2﹣5x+5＝0， 则常数项为5． 故选：D． 2.已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的常数项是0，则a的值为（　　） A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D. 【答案】B 【解析】由题意，， 解得：a＝﹣1， 故选：B． 3.若将一元二次方程3x2﹣1＝﹣x化成一般式为3x2+bx+c＝0，则b﹣c的值为（　　） A.2 B.﹣3 C.1 D.﹣1 【答案】A 【解析】∵3x2﹣1＝﹣x ∴3x2+x﹣1＝0 ∵一元二次方程3x2﹣1＝﹣x化成一般式为3x2+bx+c＝0， ∴b＝1，c＝﹣1 ∴b﹣c＝2 故选：A． 4.将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a+b+c＝　     　． 【答案】﹣3． 【解析】（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3 整理得3x2﹣7x+1＝0， ∴a＝3，b＝﹣7，c＝1， ∴a+b+c＝3﹣7+1＝﹣3， 故答案为：﹣3． 5.一元二次方程5x2+x﹣3＝0的常数项是 　     　． 【答案】﹣3． 【解析】一元二次方程5x2+x﹣3＝0的常数项是﹣3； 故答案为：﹣3． 6.将一元二次方程（2x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝0化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】解：由（2x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝0得﹣3x2+8x﹣1＝0， ∴二次项系数为﹣3，一次项系数为8，常数项为﹣1． 7.已知关于x的一元二次方程（a+2）x2+（a2﹣4）x+2＝0的一次项系数为0，请你求出a的值． 【答案】解：∵一次项系数为0， ∴a2﹣4＝0， （a+2）（a﹣2）＝0， ∴a+2＝0，a﹣2＝0， 解得a1＝2，a2＝﹣2． ∵a+2≠0， ∴a＝﹣2（舍去）． 故a＝2． 五、根据实际问题抽象为一元二次方程 1.一次足球联赛实行单循环比赛（每两支球队之间都比赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是（　　） A.x（x﹣1）＝15 B.x（x+1）＝15 C. D. 【答案】C 【解析】根据题意得：x（x﹣1）＝15． 故选：C． 2.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A.200（1+x）2＝242 B.200（1﹣x）2＝242 C.200（1+2x）＝242 D.200（1﹣2x）＝242 【答案】A 【解析】根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242， 故选：A． 3.由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　） A.5+5x+52＝20 B.5（1+x）2＝20 C.5（1+x）3＝20 D.5+5（1+x）+5（1+x）2＝20 【答案】D 【解析】∵第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为x， ∴第二周票房约5（1+x）亿元，第三周票房约5（1+x）2亿元． 依题意得：5+5（1+x）+5（1+x）2＝20． 故选：D． 4.公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，设正方形空地原来的边长为x m，则可列方程为 　                    　． 【答案】（x﹣3）（x﹣2）＝56． 【解析】由图可得， （x﹣3）（x﹣2）＝56， 故答案为：（x﹣3）（x﹣2）＝56． 5.某出版社为支持“乡村图书馆”建设，购买了两批次的书，每次降价且降价比例一样，每本书的售价由50元降为32元，设每次降价的百分率是x，则根据题意，可列方程为 　          　． 【答案】50（1﹣x）2＝32． 【解析】∵平均每次降价的百分率是x，原价是50， ∴经过一次降价为50（1﹣x），经过两次降价为50（1﹣x）2， ∵经过两次降价为32， ∴50（1﹣x）2＝32 故答案为：50（1﹣x）2＝32． 6.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式． （1）某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增长率都相同，求每月印刷的增长率x； （2）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生132条消息． 【答案】解：（1）设每月印刷的增长率都为x， 根据题意得：50（1+x）2＝72． 化为一般形式为25x2+50x﹣11＝0； （2）设有x个好友，依题意得 x（x﹣1）＝132， 化为一般形式为x2﹣x﹣132＝0． 7.一个大正方形的边长是小正方形边长的3倍多1，若两正方形面积和为53，求两正方形的边长．（列方程，并化为一般式） 【答案】解：设小正方形边长为x，则大正方形边长为3x+1， ∵两正方形面积和为53， 则得（3x+1）2+x2＝53， 所以10x2+6x﹣52＝0． 六、利用一元二次方程的概念求字母的值 1.关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（　　） A.﹣2 B.2 C.±2 D.4 【答案】A 【解析】根据“关于x的方程是一元二次方程”得到：a2﹣2＝2且a﹣2≠0， 解得a＝﹣2． 故选：A． 2.方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A.m＝﹣2 B.m＝2 C.m＝±2 D.m≠±2 【答案】A 【解析】∵（m﹣2）x|m|﹣3x﹣7＝0是一元二次方程， ∴|m|＝2， ∴m＝±2． ∵m﹣2≠0， ∴m≠2， ∴m＝﹣2． 故选：A． 3.若关于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为（　　） A.﹣1 B.1 C.2 D.±3 【答案】D 【解析】∵关于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程， ∴|a|﹣1＝2， 解得：a＝±3， ∴a的值为±3． 故选：D． 4.当方程（m+1）x﹣2=0是一元二次方程时，m的值为   ． 【答案】-1； 【解析】解：因为原式是关于x的一元二次方程， 所以m2+1=2， 解得m=±1． 又因为m﹣1≠0， 所以m≠1， 于是m=﹣1． 故答案为﹣1． 5.若方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　   　． 【答案】3． 【解析】由题意得|m﹣1|＝2， ∴m﹣1＝±2， 解得m＝3或m＝﹣1， ∵m+1≠0，即m≠﹣1， ∴m＝3， 故答案为：3． 6.若关于x的方程（k﹣1）x|k﹣3|+2x＝3是一元二次方程，求k的值． 【答案】解：由题意得： ， ∴， 解得k＝5． 7.关于x的方程． （1）m取何值时，它是一元二次方程？ （2）m取何值时，它是一元一次方程？ 【答案】解：（1）是一元二次方程， m+1≠0，m2+1＝2， m＝1， 当m＝1时，方程是一元二次方程； （2）是一元一次方程， ①m+1≠0，m2+1＝1， m＝0； ②m+1＝0，解得m＝﹣1； ③m2+1＝0且m﹣3≠0， 方程无解． 故当m＝0或m＝﹣1时，方程是一元一次方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$