17.1 一元二次方程 暑假巩固练习2024-2025学年沪科版八年级数学下册

沪科版八年级下册 17.1 一元二次方程 暑假巩固 一、化为一元二次方程的一般形式 1.将一元二次方程化成一般形式是（    ） A. B. C. D. 2.把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A. B. C. D. 3.将一元二次方程化成一般形式正确的是（    ） A. B. C. D. 4.将一元二次方程化为一般形式为      ． 5.把方程化成一元二次方程的一般形式是      ． 6.把下列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）2x2＝31； （2）x（x）＝0； （3）（x﹣2）2+1＝x﹣2； （4）x2﹣（x﹣1）2+（2x+3）2＝x2﹣2． 7.把关于x的一元二次方程5x2+a（1﹣x）＝3x+1化成一般形式． 二、根据一元二次方程的解求未知字母或代数式的值 1.已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2022的值等于（　　） A.2024 B.2022 C.2023 D.2021 2.关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A.﹣3 B.1 C.3 D.9 3.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A.1 B.0 C.﹣1 D.±1 4.已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m+2022的值为 　　． 5.若a是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根，则代数式a3+2a2﹣5a的值为 　　． 6.已知关于x的方程x2﹣kx+12＝0的一个根为3，求k的值． 7.已知m是方程2x2﹣7x+1＝0的一个根，求代数式m（2m﹣7）+5的值． 三、利用一元二次方程的一般形式确定各项系数 1.将一元二次方程x2＝﹣2x+8化为一般形式后，若二次项系数为1，则常数项为（　　） A.﹣2 B.2 C.﹣8 D.8 2.把一元二次方程1＝2x﹣3x2化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A.3，﹣2，1 B.﹣3，2，﹣1 C.3，﹣2，﹣1 D.3，2，﹣1 3.一元二次方程2x2﹣12x﹣9＝5的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A.2，﹣12，14 B.2，﹣12，﹣14 C.2，12，14 D.2，12，﹣14 4.将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a+b+c＝　     　． 5.一元二次方程5x2+x﹣3＝0的常数项是 　     　． 6.把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项． （1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2； （2）． 7.将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． 四、一元二次方程解的定义与识别 1.方程的一个根为（    ） A.1 B. C. D. 2.若，，则关于的一元二次方程中（    ） A.必有一根为1 B.必有一根为 C.必有一根为0 D.必有一根为2 3.对于一元二次方程，若二次项系数是2，则下列说法错误的是（    ） A.二次项是 B.一次项是 C.常数项是1 D.是它的一个根 4.写出一个未知数为x，二次项系数为1，且有一个根为1的一元二次方程：            5.在和中，      是方程的解． 6.从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 7.观察下列方程： (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 五、利用一元二次方程的概念求字母的值 1.若关于的方程是一元二次方程，则（　　） A. B. C. D. 2.方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A.m＝﹣2 B.m＝2 C.m＝±2 D.m≠±2 3.若是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A.2 B.﹣2 C.0 D.2或﹣2 4.若方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　   　． 5.关于x的方程(m+1)x|m-1|+mx-1=0是一元二次方程，则m=          ． 6.已知关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣2m＝0是一元二次方程，求m的值． 7.关于x的方程． （1）m取何值时，它是一元二次方程？ （2）m取何值时，它是一元一次方程？ 六、根据实际问题抽象为一元二次方程 1.由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　） A.5+5x+52＝20 B.5（1+x）2＝20 C.5（1+x）3＝20 D.5+5（1+x）+5（1+x）2＝20 2.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A.x（x+1）＝90 B.x（x+1）＝90 C.x（x﹣1）＝90 D.x（x﹣1）＝90 3.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A.（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B.32x+2×20x＝32×20﹣570 C.（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D.32x+2×20x﹣2x2＝570 4.已知某种盆花，若每盆植3株时，平均每株盈利8元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少1元，要使每盆的盈利达到30元，每盆应多植多少株？如果设每盆多植x株，那么可以列出的方程是 　                       　． 5.某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，则可以列出方程为 　                         　． 6.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式． （1）某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增长率都相同，求每月印刷的增长率x； （2）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生132条消息． 7.某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）． 沪科版八年级下册 17.1 一元二次方程 暑假巩固（参考答案） 一、化为一元二次方程的一般形式 1.将一元二次方程化成一般形式是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】将一元二次方程化成一般形式为， 故选：D． 2.把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故选：A． 3.将一元二次方程化成一般形式正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵ ∴ 故选：A． 4.将一元二次方程化为一般形式为      ． 【答案】 【解析】去括号得， 移项、合并得， 故答案为：． 5.把方程化成一元二次方程的一般形式是      ． 【答案】 【解析】∵， ∴， 故答案为：． 6.把下列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）2x2＝31； （2）x（x）＝0； （3）（x﹣2）2+1＝x﹣2； （4）x2﹣（x﹣1）2+（2x+3）2＝x2﹣2． 【答案】解：（1）∵2x2＝31， ∴2x2﹣31＝0； （2）x（x）＝0， x2x＝0； （3）（x﹣2）2+1＝x﹣2， x2﹣4x+4+1＝x﹣2， x2﹣4x﹣x+4+1+2＝0， x2﹣5x+7＝0； （4）x2﹣（x﹣1）2+（2x+3）2＝x2﹣2， x2﹣x2+2x﹣1+4x2+12x+9＝x2﹣2， x2﹣x2+2x﹣1+4x2+12x+9﹣x2+2＝0， 3x2+14x+10＝0． 7.把关于x的一元二次方程5x2+a（1﹣x）＝3x+1化成一般形式． 【答案】解：5x2+a（1﹣x）＝3x+1， 5x2+a﹣ax﹣3x﹣1＝0， 5x2﹣（a+3）x+a﹣1＝0． 二、根据一元二次方程的解求未知字母或代数式的值 1.已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2022的值等于（　　） A.2024 B.2022 C.2023 D.2021 【答案】A 【解析】∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根， ∴m2﹣m﹣2＝0， ∴m2﹣m＝2， ∴m2﹣m+2022＝2+2022＝2024， 故选：A． 2.关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A.﹣3 B.1 C.3 D.9 【答案】C 【解析】∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0， ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得m＝3． 故选：C． 3.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A.1 B.0 C.﹣1 D.±1 【答案】C 【解析】把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0得|a|﹣1＝0， 解得a＝1或a＝﹣1， ∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣1． 故选：C． 4.已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m+2022的值为 　　． 【答案】2024． 【解析】∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根， ∴m2﹣m﹣2＝0， ∴m2﹣m＝2， ∴m2﹣m+2022＝2+2022＝2024， 故答案为：2024． 5.若a是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根，则代数式a3+2a2﹣5a的值为 　　． 【答案】6． 【解析】∵a是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根， ∴a2﹣a﹣2＝0， ∴a2＝a+2， ∴a3＝a（a+2）＝a2+2a＝a+2+2a＝3a+2， ∴a3+2a2﹣5a＝3a+2+2（a+2）﹣5a＝3a+2+2a+4﹣5a＝6． 故答案为：6． 6.已知关于x的方程x2﹣kx+12＝0的一个根为3，求k的值． 【答案】解：将x＝3代入原方程得：32﹣3k+12＝0， 解得：k＝7， ∴k的值为7． 7.已知m是方程2x2﹣7x+1＝0的一个根，求代数式m（2m﹣7）+5的值． 【答案】解：根据题意得：2m2﹣7m+1＝0， ∴2m2﹣7m＝﹣1， ∴m（2m﹣7）+5＝2m2﹣7m+5＝﹣1+5＝4． 三、利用一元二次方程的一般形式确定各项系数 1.将一元二次方程x2＝﹣2x+8化为一般形式后，若二次项系数为1，则常数项为（　　） A.﹣2 B.2 C.﹣8 D.8 【答案】C 【解析】x2＝﹣2x+8， x2+2x﹣8＝0， 常数项是﹣8． 故选：C． 2.把一元二次方程1＝2x﹣3x2化成ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A.3，﹣2，1 B.﹣3，2，﹣1 C.3，﹣2，﹣1 D.3，2，﹣1 【答案】A 【解析】一元二次方程1＝2x﹣3x2的一般形式为3x2﹣2x+1＝0， 3x2﹣2x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，﹣2，1， 故选：A． 3.一元二次方程2x2﹣12x﹣9＝5的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A.2，﹣12，14 B.2，﹣12，﹣14 C.2，12，14 D.2，12，﹣14 【答案】B 【解析】由已知方程得到：2x2﹣12x﹣14＝0，所以一元二次方程2x2﹣12x﹣9＝5的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣12，﹣14． 故选：B． 4.将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a+b+c＝　     　． 【答案】﹣3． 【解析】（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3 整理得3x2﹣7x+1＝0， ∴a＝3，b＝﹣7，c＝1， ∴a+b+c＝3﹣7+1＝﹣3， 故答案为：﹣3． 5.一元二次方程5x2+x﹣3＝0的常数项是 　     　． 【答案】﹣3． 【解析】一元二次方程5x2+x﹣3＝0的常数项是﹣3； 故答案为：﹣3． 6.把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项． （1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2； （2）． 【答案】解：（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4； （2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1． 7.将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0， 它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1． 四、一元二次方程解的定义与识别 1.方程的一个根为（    ） A.1 B. C. D. 【答案】A 【解析】把代入方程得，， ∴是方程的解，故A符合题意； 把代入方程得，， ∴不是方程的解，故B不符合题意； 把代入得，， ∴不是方程的解，故C不符合题意； 把代入方程得，， ∴不是方程的解，故D不符合题意； 故选：A． 2.若，，则关于的一元二次方程中（    ） A.必有一根为1 B.必有一根为 C.必有一根为0 D.必有一根为2 【答案】B 【解析】∵，， ∴， ∴必有一根为， 故选：B． 3.对于一元二次方程，若二次项系数是2，则下列说法错误的是（    ） A.二次项是 B.一次项是 C.常数项是1 D.是它的一个根 【答案】D 【解析】解：∵， ∴． A．二次项是，正确； B．一次项是，正确； C．常数项是1，正确； D．当时，，所以不是它的一个根，故不正确； 故选D． 4.写出一个未知数为x，二次项系数为1，且有一个根为1的一元二次方程：            【答案】（不唯一）． 【解析】答案不唯一． 设一元二次方程为， 把代入可得，， 所以， 如：，时，． 故答案为：（不唯一）． 5.在和中，      是方程的解． 【答案】 【解析】将代入到方程中，得 ∴不是方程的解； 将代入到方程中，得 ∴是方程的解． 故答案为：． 6.从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 【答案】（1）解：一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根； （2）由于时，，故也是方程的一个根． 即：方程还有另一个根：． 7.观察下列方程： (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 【答案】（1）解：由规律得，第5个方程为：；其两个解，； 故答案为：；，； （2）解：根据规律，第n个方程为：，其两个解为：，； 当时，方程左边右边， 当时，方程左边右边， ∴，是方程的两个根． 五、利用一元二次方程的概念求字母的值 1.若关于的方程是一元二次方程，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：依题意得：， 解得：，故C正确． 故选：C． 2.方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A.m＝﹣2 B.m＝2 C.m＝±2 D.m≠±2 【答案】A 【解析】∵（m﹣2）x|m|﹣3x﹣7＝0是一元二次方程， ∴|m|＝2， ∴m＝±2． ∵m﹣2≠0， ∴m≠2， ∴m＝﹣2． 故选：A． 3.若是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A.2 B.﹣2 C.0 D.2或﹣2 【答案】D 【解析】∵是关于x的一元二次方程， ∴m2﹣2＝2， ∴m＝2或m＝﹣2， 故选：D． 4.若方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　   　． 【答案】3． 【解析】由题意得|m﹣1|＝2， ∴m﹣1＝±2， 解得m＝3或m＝﹣1， ∵m+1≠0，即m≠﹣1， ∴m＝3， 故答案为：3． 5.关于x的方程(m+1)x|m-1|+mx-1=0是一元二次方程，则m=          ． 【答案】3 【解析】因为关于x的方程(m+1)x|m-1|+mx-1=0是一元二次方程, 所以,且 m+1, 解得:或,且, 所以, 故答案为:3. 6.已知关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣2m＝0是一元二次方程，求m的值． 【答案】解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣2m＝0是一元二次方程， ∴|m|＝2且m﹣2≠0， 解得m＝±2且m≠2， ∴m的值为﹣2． 7.关于x的方程． （1）m取何值时，它是一元二次方程？ （2）m取何值时，它是一元一次方程？ 【答案】解：（1）是一元二次方程， m+1≠0，m2+1＝2， m＝1， 当m＝1时，方程是一元二次方程； （2）是一元一次方程， ①m+1≠0，m2+1＝1， m＝0； ②m+1＝0，解得m＝﹣1； ③m2+1＝0且m﹣3≠0， 方程无解． 故当m＝0或m＝﹣1时，方程是一元一次方程． 六、根据实际问题抽象为一元二次方程 1.由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　） A.5+5x+52＝20 B.5（1+x）2＝20 C.5（1+x）3＝20 D.5+5（1+x）+5（1+x）2＝20 【答案】D 【解析】∵第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为x， ∴第二周票房约5（1+x）亿元，第三周票房约5（1+x）2亿元． 依题意得：5+5（1+x）+5（1+x）2＝20． 故选：D． 2.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A.x（x+1）＝90 B.x（x+1）＝90 C.x（x﹣1）＝90 D.x（x﹣1）＝90 【答案】D 【解析】设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝90． 故选：D． 3.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A.（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B.32x+2×20x＝32×20﹣570 C.（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D.32x+2×20x﹣2x2＝570 【答案】C 【解析】∵道路的宽为x m， ∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形． 根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570． 故选：C． 4.已知某种盆花，若每盆植3株时，平均每株盈利8元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少1元，要使每盆的盈利达到30元，每盆应多植多少株？如果设每盆多植x株，那么可以列出的方程是 　                       　． 【答案】（x+3）（8﹣x）＝30． 【解析】根据题意可得（x+3）（8﹣x）＝30． 故答案为：（x+3）（8﹣x）＝30． 5.某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，则可以列出方程为 　                         　． 【答案】60+60（1+x）+60（1+x）2＝218． 【解析】∵该配件厂一月份生产配件60万个，且该厂平均每月生产配件的增长率为x， ∴该配件厂二月份生产配件60（1+x）万个，三月份生产配件60（1+x）2万件． 根据题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2＝218． 故答案为：60+60（1+x）+60（1+x）2＝218． 6.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式． （1）某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增长率都相同，求每月印刷的增长率x； （2）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生132条消息． 【答案】解：（1）设每月印刷的增长率都为x， 根据题意得：50（1+x）2＝72． 化为一般形式为25x2+50x﹣11＝0； （2）设有x个好友，依题意得 x（x﹣1）＝132， 化为一般形式为x2﹣x﹣132＝0． 7.某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）． 【答案】解：每降价2元，多销售6件， 设降价x元，则多销售3x件； 降价后销售件数为（30+3x）件，每件利润为（40﹣x）元． 则有（30+3x）（40﹣x）＝1000， 整理得3x2﹣90x﹣200＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $$