24.1圆的有关性质同步练习 2025-2026学年 人教版数学九年级上册

24.1圆的有关性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，已知，则的度数是（       ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，是直径，弦于点H．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，的直径与弦交于点E，若B为弧的中点，则下列说法错误的是（    ） A．弧弧 B． C． D． 4．圆的面积扩大为原来的 4 倍，则半径 （      ） A．扩大为 4 倍 B．扩大为 倍 C．不变 D．扩大为2倍 5．下面哪个阴影部分的图形是扇形（   ） A． B． C． D． 6．下列有关圆的一些结论： ①任意三点可以确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； ④圆内接四边形对角互补； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等． 正确的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，A，B，C是上的三个点，若，则（    ）． A． B． C． D． 8．如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（    ） A．5 B．6.5 C．7.5 D．8 9．如图，是的直径， ，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 10．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（　　） A． B． C． D． 11．下列语句中，正确的是 （   ） A．半径是弦 B．弦是直径 C．半圆是劣弧 D．直径是最长的弦 12．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 二、填空题 13．一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 ． 14．如图，是上的三个点，，则度数是 ．    15．如图，、、是上的三点，，，连结交于点，连结，则的度数为 ．    16．如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则 ． 17．如图，A、B、C是圆上的三点，，．若点C到的距离是，则该圆的半径为 ．    三、解答题 18．如图，是直径，是的弦，，求的度数． 19．如图，是的直径，，，求的度数．    20．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好过圆心，连接． (1)若，，求的半径． (2)若，求的度数． 21．如图，在一个的正方形网格中，格点A，B，C均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹． (1)在图1中作图：画出直径． (2)在图2中作图：在上找一点，使． 22．如图，四边形中，，，过三点的圆与交于点． (1)求证：是的中点； (2)若，求证：． 23．如图，为的弦，于点于点．若，求证：．    24．已知P是上一点，过点P不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接、，若． (1)如图1，当，，时，求的半径； (2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，若，探究直线与的位置关系，并证明． 《24.1圆的有关性质》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D B B C A D D 题号 11 12 答案 D C 1．D 【分析】根据等腰三角形的性质得出，求出，再求出，根据圆内接四边形对角互补求出即可． 【详解】解：，， ， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，能熟记圆内接四边形的性质是解此题的关键． 2．C 【分析】连接，根据垂径定理求出，根据圆的性质及线段的和差求出，，根据勾股定理求出，据此即可得解． 【详解】解：连接， ∵是直径，弦， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 3．B 【分析】根据垂径定理及其推论判断即可． 【详解】解：∵点B为的中点， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； ∵是的直径，， ∴，，故C、D选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故B选项说法错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 4．D 【分析】根据圆面积公式作答即可． 【详解】解：设原来圆面积为S，当圆的面积扩大为原来的 4 倍，即，根据圆面积公式，那么，所以则半径扩大为2倍； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是圆面积公式，正确掌握圆面积公式是解题的关键． 5．B 【分析】根据扇形的定义判断即可； 【详解】解：扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形； 所以：、、 均不是扇形； 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的定义，理解扇形的形状特点是解题的关键． 6．B 【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、三角形的外心进行判断即可得到正确结论． 【详解】解：不共线的三点确定一个圆，故表述不正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故表述不正确； 平分弦不是直径的直径垂直于弦，故表述不正确； 圆内接四边形对角互补，故表述正确； 三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故表述正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质、三角形的外心，熟练掌握定义与性质是解题的关键． 7．C 【分析】利用圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理． 8．A 【分析】先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧BE的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，解得， 即的半径为5． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．D 【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，进而根据角的和差就可算出答案． 【详解】解：∵ ， ， ∴， ∴． 故答案为：D． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对圆心角相等是解题的关键． 10．D 【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案 【详解】解：设半径为 ，则 在 中，有 ，即 解得 故选：D 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件． 11．D 【分析】本题主要考查了圆的基本概念辨析，深刻理解圆的相关概念是解题的关键． 根据圆的相关概念逐一判断即可． 【详解】解：A. 说法错误，半径不是弦，因为“连接圆上两点的线段叫做弦”，故选项不符合题意； B. 说法错误，因为“直径是弦，是最长的弦，但弦不一定是直径”， 故选项不符合题意； C. 说法错误，半圆既不是劣弧也不是优弧，因为“小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧”，故选项不符合题意； D. 说法正确，直径是最长的弦，故选项符合题意； 故选：． 12．C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 13．或 【分析】根据条件画出相应的图形，利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，    ∵一条弦把圆分成两部分，如图， ∴弧的度数是，弧的度数是， ∴， ∴， ∴， 故答案为或． 【点睛】本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 14． 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键． 15．/20度 【分析】本题考查了圆的有关概念，三角形内角和及等腰三角形的性质．由，可求，然后求，再根据即可求出． 【详解】， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．/110度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，平行线的性质，等边对等角，连接，则，根据等边对等角和平行线的性质推出，则由平角的定义可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵所对圆心角的度数是 ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．25 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系．设该圆的圆心为O，连接与交于点M，根据，得到，进而得，设半径的长为，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设该圆的圆心为O，连接与交于点M，   ， ， 为的半径， ，即， ， ， ， 设半径的长为，则， ， 解得，即该圆的半径为， 故答案为：25． 18． 【分析】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，注意：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等． 连接，根据圆周角定理和已知条件得出，再根据圆周角定理可得，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ，， ． 19． 【分析】根据圆的性质进行计算即可得． 【详解】解：在中，AB是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角相等． 20．(1)的半径为10； (2)． 【分析】（1）设，利用勾股定理构建方程求解； （2）证明，可得结论． 【详解】（1）解：设， ∵，是直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为10； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理逆定理可得，根据圆周角定理得出为直径，取格点、，找出中点，连接并延长交于，即为所求； （2）延长交格点于，连接交于，由垂直平分线的性质可得，根据弧、弦、圆心角的关系可得点即为所求． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴为直径， 取格点、，连接交于，可得点为圆心，连接并延长交于，即为所求． （2）解：延长交格点于，连接交于，由网格可知， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，主要知识点有：网格特征、圆周角定理、弧、弦、圆心角的关系、勾股定理逆定理、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握圆周角定理及网格特征是解题关键． 22．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理是解答的关键． （1）连接，先根据圆周角定理证得为直径，进而，再利用等腰三角形的三线合一性质可得结论； （2）连接．根据已知和（1）中结论，结合等腰三角形的性质得到，再根据三角形的内角和定理得到，再利用圆周角定理得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接． 三点共圆，且， 为直径， ，即 又 即是的中点． （2）证明：连接． ， 则， 又， ， ． 23．证明见解析． 【分析】连接，利用证明，推出，得到，即可证明． 【详解】证明：连接．   ， ． 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24．(1)； (2)平行，证明见解析． 【分析】（1）连接，首先根据已知条件求出，进而判断出为直径，然后再根据勾股定理求出的长度，即可求出的半径； （2）连接、、，延长交于点，根据圆周角定理可得，再结合已知条件可得，根据已知条件可得，进而求得，再根据三线合一得到，最后根据平行线的判定定理证出结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵ ，， ∴， ∴为直径， ∵，， ∴在中根据勾股定理得： ， ∴或（舍去）， ∴半径为． （2）解：直线与的位置关系为：， 证明：连接、、，交于点F，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，（三线合一）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角定理、等弧所对的圆心角相等、相等的圆周角所对的弧相等、三线合一、平行线的判定定理，是一道综合题，正确作出辅助线并灵活运用相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$