1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3 空间向量及其运算的坐标表示过关检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第一章（2019）人教A版） 一、单选题 1．若与共线，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 3．在空间直角坐标系中，已知点，则线般的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（    ） A． B．1 C． D． 6．已知空间向量，若共面，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 二、多选题 7．已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．，，是共面向量 8．已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（    ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 三、填空题 9．若，，则与向量垂直的单位向量的坐标是 （写出一个即可）． 10．已知，则向量在向量上的投影向量是 . 四、解答题 11．如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 12．已知，，． (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值． 13．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． （13题图） （14题图） 14．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 解析 一、单选题 1．若与共线，则（    ） A．2 B． C．4 D． 答案：D 分析：根据与共线，由求解. 解析：∴与共线，∴，即，∴，.故选：D 2．已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 答案：A 分析：先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 解析：因为，所以， 所以. 故选： 3．在空间直角坐标系中，已知点，则线般的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：设线般的中点坐标为，则，由空间向量的坐标运算即可求解. 解析：设线般的中点坐标为， 由可得， 所以可得，所以线般的中点坐标是， 故选：A. 4．在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：根据关于平面对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，得出点坐标，再利用空间向量减法的坐标运算求出向量坐标，再计算模长即可． 解析：由点与点关于平面对称，则对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，可得， 所以， ， 故选：A． 5．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（    ） A． B．1 C． D． 答案：B 分析：方法一：建立空间直角坐标系，求向量的坐标，根据向量坐标运算公式求结论；方法二：利用向量表示，结合数量积定义及运算律求结论. 解析：方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，， ，，，，，， ，，． 方法二：由题意可知， ， ． 堑堵为直三棱柱，且， ， ． 故选：B. 6．已知空间向量，若共面，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 答案：B 分析：运用空间向量共面的定理，结合坐标运算即可. 解析：因为若共面，则，即， 故，解得 故选:B. 二、多选题 7．已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．，，是共面向量 答案：BCD 分析：A利用求解；B数量积的坐标运算；C求模公式；D根据求解. 解析：若，则存在使得，即，无解，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 由A可知与可构成一组基底，故若，，是共面向量， 则存在使得， 即，解得，故，，是共面向量，D正确. 故选：BCD 8．已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（    ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 答案：BD 分析：根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 解析：设，则，由，且， 可得，所以点的坐标是，故A不正确； 因为，则，故B正确； 因为，，所以， 且，， 则，故C错误； 由C可知， 则四边形的面积为，故D正确； 故选：BD 三、填空题 9．若，，则与向量垂直的单位向量的坐标是 （写出一个即可）． 答案：（答案不唯一） 分析：设向量与垂直，应用向量垂直的坐标表示得到一个， 再求出对应的一个单位向量. 解析：设向量与垂直，则，即， 取，得，，从而， 所以与共线的单位向量的坐标为或． 故答案为：（答案不唯一） 10．已知，则向量在向量上的投影向量是 . 答案： 分析：向量在向量上的投影向量为，据此计算即可. 解析：因为，，所以， ， 向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 四、解答题 11．如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 分析：（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标； （2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标. 解析：（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直． 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，，则，，，； （2）， ， ． 12．已知，，． (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值． 分析：利用空间向量坐标表示的数量积计算公式、夹角余弦公式和模长公式解决相关问题． 解析：（1） （2），，,， 设与的夹角为，则． （3），， 根据， 解得． 13．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 分析：以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果． 解析：（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． 14．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 分析：（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案； 法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案； 解析：（1）法1，结合题图，， 由题，， 则， 所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； （2） 法1，，， 则，， 则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 （3）法1，由于，， 因此，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，， 则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$