1.1.1第一课时空间向量及其线性运算课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一课时　空间向量及其线性运算 第一章 1.1 1.1.1　空间向量及其线性运算 索引 1.由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念. 2.由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握并熟悉运用空间向量的线性运算. 学习目标 知识点清单 一、新知填空(预习教材P2~P3后填空) 1.空间向量的概念与表示 (1)空间向量的定义:在空间,我们把具有______和______的量叫做空间向量. (2)空间向量的长度:空间向量的大小叫做向量的______或____. (3)表示法 ①字母表示法:用字母a,b,c,…表示; ②几何表示法:空间向量用__________表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作_______,其模记为________或||. 大小 方向 长度 模 有向线段 |a| 4 2.特殊的空间向量 (1)零向量:规定长度为0的向量叫做________,记为0. (2)单位向量:________的向量叫做单位向量. (3)相反向量:与向量a长度______而方向______的向量,叫做a的相反向量,记为-a. (4)共线(平行)向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线________________,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量______,即对于任意向量a,都有0____a. (5)相等向量:方向______且模______的向量称为相等向量.在空间,______ 且______的有向线段表示同一向量或相等向量. 零向量 模为1 相等 相反 互相平行或重合 平行 ∥ 相同 相等 同向 等长 5 3.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾______相接,首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点对角线为和 图形叙述 顺次 6 减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点,连______,方向指向______向量 图形叙述 加法 运算 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 终点 被减 7 4.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为空间向量的数乘 几何 意义 λ>0 λa与向量a的方向______ λa的长度是a的长度的________倍 λ<0 λa与向量a的方向______ λ=0 λa=0,其方向是任意的 运算律　 结合律 λ(μa)=_______ 分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=____________ 相同 相反 |λ| (λμ)a λa+λb 8 二、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.向量的长度与向量的长度相等.( ) 2.若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同.( ) 3.零向量没有方向.( ) 提示　零向量的方向是任意的. 4.空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致.( ) 5.空间向量a用几何表示法表示时,表示该向量的有向线段的起点可任意选取.( ) √ √ × √ √ 9 6.化简-+所得的结果是0.( ) 提示　0是零向量，不是数字0. 7.两个向量可以比较大小.( ) 提示　向量不能比较大小,只研究它们是否相等,因为每个向量都由长度和方向两个要素构成,长度可比较大小,但方向无法比较. 8.空间向量的数乘运算中,λ只决定向量的大小,不决定向量的方向.( ) 提示　在空间向量的数乘运算中,当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反;当λ=0时,λa=0,λa与a共线.λa的长度是a的长度的|λ|倍. √ × × 10 例题探究 11 √ 下列说法中正确的是 A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b| C.空间向量的减法满足结合律 D.在四边形ABCD中,一定有+= 例1 |a|=|b|,说明a与b的模相等,但方向不确定;对于a的相反向量b=-a, 故|a|=|b|,从而B正确; 只定义加法具有结合律,减法不具有结合律; 一般的四边形不具有+=,只有在平行四边形中才能成立.故选B. 一、空间向量的有关概念 12 题型总结 空间向量的概念辨析 在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是模相等且方向相反. 13 √ (1)(链接教材P5练习2)(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算结果为的是 A.-- B.+- C.-- D.-+ 例2 A中,--=-=; 二、空间向量的加(减)法运算 √ B中,+-=+=; C中,--=-=-=≠; D中,-+=++=+≠.故选AB. 14 (2)化简(-)-(-)=　　　.  0 法一(转化为加法运算) (-)-(-)=--+=+++ =+++=+=0. 法二(转化为减法运算) (-)-(-)=(-)+(-)=+=0. 15 题型总结 空间向量加、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量:向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可平移空间向量得到运算结果. 16 (链接教材P5练习4)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: 例3 三、空间向量的数乘运算 (1); ∵P是C1D1的中点, ∴=++=a++=a+c+=a+c+b. 17 (2)∵N是BC的中点, (2);(3)+. ∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c. (3)∵M是AA1的中点, ∴=+=+=-a+=a+b+c. 又=+=+=+=c+a, ∴+=+=a+b+c. 18 题型总结 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质. 19 课堂小结 课后作业 1、完成课后习题P5的 练习2、3、4 2、完成学校发的习题资料（大小本） $$