22.3　实际问题与二次函数同步教学讲义（知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.3　实际问题与二次函数同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：二次函数与几何图形面积的最值 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值. 知识点02：利用二次函数解决商品利润最大问题 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识点03：利用二次函数解决抛物线形实物问题 1、 分析题意,把实际问题转化为数学问题,画出图形.抽象转化数学问题运用数学知识问题的解决 2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系. 3、选用适当的解析式求解. 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。 题型1： 图形问题 【例1】如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大，为． 故选：D． 【练1】用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．设窗的高度为，宽为，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可． 【详解】解：设窗的高度为，宽为， 故， ∴． ∴当时，S最大值为． 故选：C． 题型2： 拱桥问题 【例1】某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选：A． 【练1】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为，点B的坐标为，再把解析式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和为的一半，即2米，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴这个抛物线的解析式为， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降2米， 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴水面宽度增加到米， ∴比原先的宽度增加了米， 故选：C． 题型3：销售问题 【例1】某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 【练1】某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出．若每床每天收费提高5元，则有1张床位不能租出；若每床每天收费再提高5元，则再有1张床位不能租出；若每次按提高5元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（   ） A．3125元 B．2120元 C．2950元 D．1280元 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．设每床每晚收费应提高个5元，旅店每天营业收入为元，然后根据题意可得函数解析式：，再根据二次函数的性质即可求得答案． 【详解】解：设每床每晚收费提高个5元，旅店每天营业收入为元， 根据题意得： ， 当时，最大，最大值为1280元， 该旅店每天营业收入最多为1280元， 故选：D． 题型4： 投球问题 【例1】一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的有（   ） ①此抛物线的解析式是 ②篮圈中心的坐标是 ③此抛物线的顶点坐标是 ④篮球出手时离地面的高度是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解题的关键．对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数关系式为． ， ∴篮圈中心在抛物线上，故选项②正确； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，拋物线的顶点坐标是．故选项①正确，选项③错误； 设篮球出手时离地面的高度是. 令中， 可得． 可知篮球出手时离地面的高度是.故选项④错误． 则说法正确的有①②， 故选：C． 【练1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 题型5： 喷泉问题 【例1】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 【练1】如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把代入解析式求出的值可判定①；求出抛物线的顶点坐标可判定②；求出喷头的坐标可判定③，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为，故②正确； 当时，， ∴喷头的坐标为， ∴水珠在空中只有一次到达到竖直高度，故③错误； 综上，正确结论的个数是个， 故选：． 题型6： 增长率问题 【例1】最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 【练1】据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键． 分别表示8月，9月的销量，再把7，8，9三月的销量加起来即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：平均月增长率为， 则8月份销量为：， 9月份销量为：， ∴， 故选：D． 一、单选题 1．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程．把代入，化为一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 即 ， 解得（不符合题意，舍去），或． 故选C． 2．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，先求出点到轴的距离为，再结合轴对称的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点A到x轴的距离是， ∴令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点到轴的距离为， ∵点A，B在抛物线上，，关于y轴对称， ∴， 故选：D． 3．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ） A．24米 B．22米 C．12米 D．11米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为． 【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中： 得到：， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故选：B． 4．小迪同学以二次函数的图象（O为坐标原点）为灵感设计了一款酒杯，如图为酒杯的设计稿，若，则酒杯的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先根据的长度确定点的横坐标，再代入二次函数求出点的纵坐标，最后结合二次函数顶点坐标求出的长度．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：，且抛物线关于轴对称 点的横坐标为 点在抛物线上 当时， 抛物线的顶点的坐标为 故选：D． 5．新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，能够表示出一台电视的利润和销售量增加的部分是解题的关键．根据利润问题公式：总利润单台利润销售数量，单台利润为原售价减进价再减去降价，销售数量随降价增加，即可列出方程． 【详解】解：设每台电视降价元， 降价后单台利润是元，卖出的台数是台， 商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元， 可列方程为， 故选：B． 6．一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式． 先求出一次函数的解析式，再求出秒的速度，可以判断A； 分别求出重物在秒时间内下降的距离与在秒时间段内下降的距离，可判断B； 根据（A）中求得的函数表达式，可判断C； 先求出函数表达式，再求出时的函数值，可判断D． 【详解】解：设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 所以当秒时，米/秒，故A正确，但不符合； 该重物在秒时间段内下降的距离为米，在秒时间段内下降的距离为，故B错误，符合； 直线的解析式为，所以时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒，故C正确，但不符合； 设距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 因为当时，， 所以，解得：， 所以距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 当秒时，，该重物下降距离为米，故D正确，但不符合， 故选：B． 7．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为； ②飞机着陆后滑行才能停下来； ③飞机着陆后滑行才能停下来． 其中，正确的结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用；求出当时的函数值即可判断①；求出函数值的最大值及此时的时间，可判断②与③，从而可确定答案． 【详解】解：当时，，故①正确； ， 当时，飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行了，故②③正确； 综上，三个全部正确； 故选：D． 8．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论： ①小球在空中经过的路程是40； ②与之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为6； ④当小球的高度时，．以上结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点，读懂函数图象是解题的关键． 根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m； 故①错误； ②设函数解析式为：， 把代入得， 解得， 函数解析式为， 故②错误； ③令，， 解得：或6， 小球的运动时间为， 故③正确； ④把代入解析式得，， 解得：或， 小球的高度时，t为秒或秒， 故④错误； 综上，正确的只有一个， 故选A． 9．从某一高度自由下落的小球离地面的高度与下落时间满足关系式，它的图象如图所示，点为其图象上一点．小球下落过程中的速度与小球离的距离满足关系式，已知该小球到达地面的速度超过时会对地面造成伤害，则下列说法错误的是（   ） A．小球开始下落时离地面的高度为 B．小球落地 C．小球不会对地面造成伤害 D．第时小球的速度为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确地列出函数关系式是解题的关键．根据题意和二次函数的性质逐个选项进行判断，即可求解． 【详解】解：A、把代入得：， 解得：， 小球开始下落时离地面的高度为， 故A选项说法正确； B、由上可知，， 把代入得：， 小球落地， 故B选项说法正确； C、由题意得，小球落地时离的距离， 代入得：， ， 小球会对地面造成伤害， 故C选项说法错误； D、把代入得：， 第时小球离地面的高度为， 第时小球离的距离， 代入中得：， ， 第时小球的速度为， 故D选项说法正确； 综上所述，故选：C． 10．如图，正方形的边长为4，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．到达点C停止运动，连接，设运动时间为t（秒）， 的面积为S，则S与t的函数图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的几何动点，一次函数，函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．读懂题意，则进行分类讨论，即当时，点E在线段上，当时，点E在线段上，分别根据面积公式列式化简，结合函数图象即可作答． 【详解】解：∵在正方形中，，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动． ∴（秒），（秒）， ∴当时，点E在线段上，点F在线段上，如图： 则， ∴， 此时，S与t的函数图象为一次函数的图象， 当时，点E在线段上，点F在线段上，如图， 则， ∴，， ∴ ． ∴， 此时，S与t的函数图象是开口向下的二次函数，且时，点三点重合， 综上，． 故选：C． 二、填空题 11．从地面向上抛出的小球，小球的高度（单位）与运动时间（单位：）之间的关系是，则小球运动过程中，小球高于地面的时长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，可令h=25，则，求出后即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴令，则． ∴或． ∴小球高于地面的时长为 故答案为：． 12．某公司准备修建两间矩形办公室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留一扇1m宽的门．已知现有材料可修建成27m长的墙（不包括门），则建成的办公室面积最大为 （不考虑墙的厚度）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、性质，将二次函数一般式化为顶点式是解题的关键． 设垂直于墙的边长为m，则平行于墙的边长为m．根据矩形面积公式可得，将其化为顶点式利用函数性质求最大值即可． 【详解】解：设垂直于墙的边长为m，则平行于墙的边长为m． 根据题意得， ， 二次函数图象开口向下，当时，函数有最大值，最大值为 故答案为： 13．如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是 m，铅球推出的过程中最大高度是 m． 【答案】 10 3 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由图可知，要求的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可；要求铅球推出的过程中最大高度，即求得顶点的纵坐标即可． 【详解】解：将代入， ， 整理得：， ， 解得：或（舍去） ∴铅球推出的水平距离的长是． ∵， ∴顶点的坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴铅球推出的过程中最大高度是． 故答案为：10；3． 14．以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，三角形的面积，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而根据三角形的面积公式计算即可，掌握二次函数图象与坐标交点坐标的求法是解题的关键． 【详解】解：如图，设抛物线与相交于点，与轴相交于点， 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行 m才能停下来． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式，求出s取得最大值即可． 【详解】解：， 因为， 所以s的最大值为， 故答案为：． 16．一次函数与二次函数的图象交于A，B两点．若，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，学会利用图象法解不等式是解题的关键．令，得到一次函数与二次函数的交点坐标，，画出和的图象，利用图象法，写出二次函数的图象在一次函数的图象上方对应的x取值范围即可． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴，， 如图，画出和的图象， 由图象可得：当，即二次函数的图象在一次函数的图象上方， ∴x的取值范围是或． 故答案为：或． 17．如图，四边形是一块边长为的正方形铁板，在边上选取一点，分别以和为边截取两块相邻的正方形板材，当的长为 时，截取的板材面积最小． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数与图形面积的计算，理解题意，得到截取面板的面积为，结合二次函数求最值的计算方法即可求解． 【详解】解：∵截取的两块面板均为正方形，，则，设截取面板的面积为， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小为， 故答案为：1 ． 18．2023年5月28日，中国东方航空使用中国商飞全球首架交付的大型客机，执行航班，开启这一机型全球首次商业载客飞行，该航班标志若的“研发、制造、取证、投运”全面贯通．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数表达式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为 秒． 【答案】18 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 由题意得，由可知当时，s有最大值，然后根据题意作答即可． 【详解】解：， ， ∴当时，s有最大值， ∵飞机滑行到最大距离时停下，此时滑行的时间最长， ∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒． 故答案为：18． 三、解答题 19．如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 【答案】(1)矩形菜园面积的最大值为1050平方米 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的性质求最大值； （2）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的最大值求解即可． 【详解】（1）解：设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为1050平方米． 答：矩形菜园面积的最大值为1050平方米； （2）解：当木栏增加米时，木栏总长为米， 设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， ∵矩形菜园面积的最大值为2800米， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 20．如图1所示的是山西晋城景德桥，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米． (1)如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式． (2)现有两个宽为4米，高3米的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由． 【答案】(1) (2)两小舟能同时从桥下穿过，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． （1）设抛物线解析式为，再根据题意求解即可； （2）由题意得，令解出方程，再进行判断即可得到解答． 【详解】（1）解：由题意得，点O和点A的坐标分别为和， ∵B为函数顶点， ∴， 设抛物线解析式为， ∵顶点， ∴， 再将代入解析式可得，， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）两小舟能同时从桥下穿过，理由如下： ∵两小舟的高均为3米， ∴当时，， 解得，， ∴最大能通行的宽度为：（米）， ∵两小舟宽为4米， ∴， ∴两小舟能同时从桥下穿过． 21．掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目，实心球行进路线是一条抛物线．在体育课上，刘欣同学在练习投实心球时，某次实心球行进高度与水平距离之间的函数关系图象如图所示，掷出时起点处的高度，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)若刘欣投实心球时正前方的点处是一个沙坑距离刘欣最近的边缘，请你判断她此次投出的实心球能否进入沙坑，并说明理由． 【答案】(1) (2)她此次投出的实心球能进入沙坑 【分析】本题考查二次函数的应用．用顶点式求得二次函数的解析式是解决本题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标和点A的坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）令，求得合适的的值，与5比较即可得到实心球能否进入沙坑． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，点A坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 关于x的函数表达式为：； （2）解：她此次投出的实心球能进入沙坑． 理由：当时，， ， 解得：，不合题意，舍去， ， 她此次投出的实心球能进入沙坑． 22．2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 (2)；W的最大值为4500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：由题意得， ， ∵，， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3　实际问题与二次函数同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：二次函数与几何图形面积的最值 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值. 知识点02：利用二次函数解决商品利润最大问题 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识点03：利用二次函数解决抛物线形实物问题 1、 分析题意,把实际问题转化为数学问题,画出图形.抽象转化数学问题运用数学知识问题的解决 2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系. 3、选用适当的解析式求解. 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。 题型1： 图形问题 【例1】如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【练1】用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A． B． C． D． 题型2： 拱桥问题 【例1】某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 【练1】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（    ） A． B． C． D． 题型3：销售问题 【例1】某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【练1】某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出．若每床每天收费提高5元，则有1张床位不能租出；若每床每天收费再提高5元，则再有1张床位不能租出；若每次按提高5元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（   ） A．3125元 B．2120元 C．2950元 D．1280元 题型4： 投球问题 【例1】一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的有（   ） ①此抛物线的解析式是 ②篮圈中心的坐标是 ③此抛物线的顶点坐标是 ④篮球出手时离地面的高度是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【练1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型5： 喷泉问题 【例1】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【练1】如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 题型6： 增长率问题 【例1】最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【练1】据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 2．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 3．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ） A．24米 B．22米 C．12米 D．11米 4．小迪同学以二次函数的图象（O为坐标原点）为灵感设计了一款酒杯，如图为酒杯的设计稿，若，则酒杯的高为（   ） A． B． C． D． 5．新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 6．一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 7．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为； ②飞机着陆后滑行才能停下来； ③飞机着陆后滑行才能停下来． 其中，正确的结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论： ①小球在空中经过的路程是40； ②与之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为6； ④当小球的高度时，．以上结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．从某一高度自由下落的小球离地面的高度与下落时间满足关系式，它的图象如图所示，点为其图象上一点．小球下落过程中的速度与小球离的距离满足关系式，已知该小球到达地面的速度超过时会对地面造成伤害，则下列说法错误的是（   ） A．小球开始下落时离地面的高度为 B．小球落地 C．小球不会对地面造成伤害 D．第时小球的速度为 10．如图，正方形的边长为4，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．到达点C停止运动，连接，设运动时间为t（秒）， 的面积为S，则S与t的函数图象正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．从地面向上抛出的小球，小球的高度（单位）与运动时间（单位：）之间的关系是，则小球运动过程中，小球高于地面的时长为 ． 12．某公司准备修建两间矩形办公室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留一扇1m宽的门．已知现有材料可修建成27m长的墙（不包括门），则建成的办公室面积最大为 （不考虑墙的厚度）． 13．如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是 m，铅球推出的过程中最大高度是 m． 14．以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 ． 15．飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行 m才能停下来． 16．一次函数与二次函数的图象交于A，B两点．若，则x的取值范围是 ． 17．如图，四边形是一块边长为的正方形铁板，在边上选取一点，分别以和为边截取两块相邻的正方形板材，当的长为 时，截取的板材面积最小． 18．2023年5月28日，中国东方航空使用中国商飞全球首架交付的大型客机，执行航班，开启这一机型全球首次商业载客飞行，该航班标志若的“研发、制造、取证、投运”全面贯通．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数表达式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为 秒． 三、解答题 19．如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 20．如图1所示的是山西晋城景德桥，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米． (1)如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式． (2)现有两个宽为4米，高3米的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由． 21．掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目，实心球行进路线是一条抛物线．在体育课上，刘欣同学在练习投实心球时，某次实心球行进高度与水平距离之间的函数关系图象如图所示，掷出时起点处的高度，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)若刘欣投实心球时正前方的点处是一个沙坑距离刘欣最近的边缘，请你判断她此次投出的实心球能否进入沙坑，并说明理由． 22．2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$