22.1.2 二次函数y＝ax²的图象和性质同步教学讲义（知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1.2 二次函数y＝ax²的图象和性质同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：二次函数 y=ax 2 的图象的画法 用描点法画函数 y=ax2( a ≠ 0)的图象的一般步骤 (1) 列表：自变量 x 的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图象情况 . (2) 描点：点取得越多、越密集，画出的图象就越准确 . (3) 连线：按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，依次用光滑的曲线连接各点 . 知识点02：二次函数y=ax 2 (a>0) 的图象与性质 知识点03：二次函数 y=ax 2 (a＜0) 的图象与性质 题型1：二次函数 y=ax 2图象上的点 【例1】函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点，解答此题的关键是理解二次函数图象上的点都满足二次函数的解析式，满足二次函数解析式的点都在二次函数的图象上．将点代入解析式求解判断即可． 【详解】解：A、当时，， 函数的图象一定经过点，符合题意； B、当时，， 函数的图象不经过点，不符合题意； C、当时，， 函数的图象不经过点，不符合题意； D、当时，， 函数的图象不经过点，不符合题意； 故选：A． 【练1】已知二次函数，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．把，，分别代入计算即可判断． 【详解】解：当时，， 二次函数的图象经过点不经过点， 当时，， 二次函数的图象不经过点， 故选：C． 题型2：二次函数 y=ax 2图象的开口方向 【例1】若拋物线的开口向上，则m的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴m的值可能为3． 故选：C． 【练1】已知函数是二次函数，且图象开口向上，则a的值是（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】由二次函数得到x的指数部分要为2，从而解出a的值， 又因为图象开口向上，二次项系数要大于0，确定符合条件的a的值. 【详解】解：该函数为二次函数，故自变量x的指数必须为2， 即 二次项系数为，开口向上要求系数大于0， 即 综上，，故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数的定义和开口方向的条件， 熟知二次函数的定义及图象特点是解题的关键. 题型3：二次函数 y=ax 2的增减性 【例1】已知点均在抛物线上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数值的比较，属于基础题型．根据二次函数的性质解答，即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点均在抛物线上，且， ∴． 故选：B 【练1】若点，，在函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，根据知图像开口向下，且对称轴为，当时，随的增大而减小，据此可得答案．掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：∵函数，且， ∴该二次函数的图像开口向下，且对称轴为， 又∵点，，在函数的图像上，且， ∴，，的大小关系是：． 故选：C． 一、单选题 1．二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数中二次项系数的正负决定图象开口方向是解题的关键． 根据二次函数解析式得到二次项系数，由此即可求解． 【详解】解：二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上， 故选：C ． 2．下列函数中，y随x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答的关键． 根据一次函数以及二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； B、∵，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； C、，y随x的增大而减小，故该选项符合题意； D、∵， ∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【答案】D 【分析】本题考查了基本二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，顶点坐标，结合图象进行判断． 【详解】解：由抛物线可知， A.，抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意； B.顶点坐标为，故选项B正确，不符合题意； C.对称轴为直线，故选项C正确，不符合题意； D.当时，y有最小值0，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 4．二次函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．根据解析式确定出的值为负数，得到抛物线开口向下，再由解析式可知抛物线的对称轴是轴，顶点为，即可确定出其图象． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴是轴，顶点为， 由可知，抛物线开口向下， 故选：D． 5．下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 C．有最高点 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质． 由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：抛物线的开口向上，有最低点，对称轴为y轴， 当时，函数值随x的增大而减小， ∴四个选项中只有B选项的说法正确， 故选：B． 6．下列四个函数中，随增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数和二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A. ，随增大而增大，故该选项不符合题意； B. ，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，故该选项不符合题意； C. ，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，故该选项不符合题意； D. ，随增大而减小，故该选项符合题意； 故选：D． 7．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数的对称轴为直线轴，求得关于轴的对称点为，根据抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，进而即可判断的大小关系． 【详解】解：∵，对称轴为轴，图象开口向上， 当时，随的增大而增大，关于轴的对称点为， ∵点都在二次函数的图象上，， ∴． 故选：A． 8．如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程，求函数值等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 先求出抛物线与直线的交点坐标，进而确定封闭图形（不包括边界）的的取值范围为，于是可得的整数解为，，，根据函数图象分别求出当，，时的整点数，将其相加即可得出的值． 【详解】解：令， 解得：，， 抛物线与直线围成的封闭图形（不包括边界）的的取值范围为：， 的整数解为：，，， 当时，，， 满足条件的整点为一个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 满足条件的整点共个，故， 即：的值为， 故选：． 9．关于函数，，，的图象的共同点，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．都有最低点 C．y随x增大而增大 D．对称轴是y轴 【答案】D 【分析】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数的图象性质是解题的关键． 根据值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点或最低点，从而判定B；根据函数的增减性判定C；根据函数的对称轴判定D． 【详解】解：A．函数与的开口向下，函数与开口向上，故此选项不符合题意； B．函数与的开口向下，有最高点；函数与开口向上，有最低点，故此选项不符合题意； C．函数与，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小；函数与，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；故此选项不符合题意； D．函数的对称轴都是轴，故此选项符合题意； 故选：D． 10．当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对称轴为直线，即轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，即轴，， ∴当时，二次函数有最大值， 由，根据距离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，有最小值， ∴当时，函数的取值范围为， ∴最大值与最小值的和为， 故选：． 二、填空题 11．函数与直线交于点，当的取值范围是 时，随的增大而增大． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． 求出该函数对称轴，由可知该函数开口向下，则在对称轴右侧随的增大而增大，进而即可解答． 【详解】解：将代入中，得， 将代入中，得， 函数的解析式为， 当时，随的增大而增大， 故答案为：． 12．对于二次函数，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数值的取值范围，根据解析式可得二次函数开口向下，对称轴为y轴，则在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，进而得到当时，y有最大值，最大值为0，再求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为0， 当时，，当时，， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 13．二次函数的图象的开口向 ． 【答案】下 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：二次函数，， 则图象的开口向下， 故答案为：下 14．下列二次函数①的图象，开口大小从大到小排列是 ．（填对应的序号） 【答案】②③① 【分析】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：二次函数的解析式中，的绝对值越小，开口越大．利用二次函数的绝对值决定抛物线的开口大小可得出答案． 【详解】解：， 抛物线开口按从大到小的顺序排列是②③①， 故答案为：②③①． 15．变式题 点在对称轴同侧→点在对称轴异侧   若点在二次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数图象的对称性，可得点也在该函数图象上，根据时，二次函数随x的增大而减小作答即可． 【详解】解：根据二次函数图象的对称性，可得点也在该函数图象上． 当时，二次函数随x的增大而减小，点在二次函数的图象上， ． 故答案为：． 16．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 17．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值 【详解】抛物线与形状相同，开口方向相反 则， ∴的解析式为 故答案为： 18．抛物线与的开口大小相等，开口方向相反，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，两个抛物线的开口大小相等、方向相反时，其二次项系数互为相反数，即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线与的开口大小相等， ∴，即， ∵中，开口向下，两抛物线开口方向相反， ∴开口向上， ∴， ∴． 三、解答题 19．若二次函数的图象经过点，求该函数的解析式并写出对称轴． 【答案】函数解析式为，对称轴是y轴 【分析】本题考查了的图象与性质，解题关键是牢记它的对称轴是y轴，图象上的点的坐标代入解析式能让左右两边相等． 【详解】解：根据题意，得，解得， ∴所求的函数解析式为， ∴对称轴是y轴． 20．已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【答案】(1)函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 (2)8 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m； （1）先把代入，求出函数解析式，再根据函数的解析式，，可得出抛物线开口向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标． （2）把代入（1）中所求的解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 21．已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入线求出a的值即可； （2）在中，令，求出对应的y值，即可判断． 【详解】（1）解：把代入线得：， 解得， ； （2）解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 22．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求实数的值； (2)写出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)，对称轴是轴 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键． （1）根据二次函数的次数是2可得方程，根据二次函数的性质，可得，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得 ， 解得； （2）由（1）得二次函数的解析式为， 的顶点坐标是，对称轴是y轴． 23．如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等： （1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标； （2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵轴，且点B在抛物线上， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵的面积为2，轴， ∴， ∴， ∴或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或或或． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.2 二次函数y＝ax²的图象和性质同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：二次函数 y=ax 2 的图象的画法 用描点法画函数 y=ax2( a ≠ 0)的图象的一般步骤 (1) 列表：自变量 x 的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图象情况 . (2) 描点：点取得越多、越密集，画出的图象就越准确 . (3) 连线：按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，依次用光滑的曲线连接各点 . 知识点02：二次函数y=ax 2 (a>0) 的图象与性质 知识点03：二次函数 y=ax 2 (a＜0) 的图象与性质 题型1：二次函数 y=ax 2图象上的点 【例1】函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【练1】已知二次函数，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 题型2：二次函数 y=ax 2图象的开口方向 【例1】若拋物线的开口向上，则m的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【练1】已知函数是二次函数，且图象开口向上，则a的值是（    ） A． B．2 C． D．0 题型3：二次函数 y=ax 2的增减性 【例1】已知点均在抛物线上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【练1】若点，，在函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 2．下列函数中，y随x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 3．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 4．二次函数的图象是（　　） A．B． C． D． 5．下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 C．有最高点 D．随的增大而增大 6．下列四个函数中，随增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 7．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 9．关于函数，，，的图象的共同点，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．都有最低点 C．y随x增大而增大 D．对称轴是y轴 10．当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．函数与直线交于点，当的取值范围是 时，随的增大而增大． 12．对于二次函数，当时，y的取值范围是 ． 13．二次函数的图象的开口向 ． 14．下列二次函数①的图象，开口大小从大到小排列是 ．（填对应的序号） 15．变式题 点在对称轴同侧→点在对称轴异侧   若点在二次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 16．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 17．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 18．抛物线与的开口大小相等，开口方向相反，则 ． 三、解答题 19．若二次函数的图象经过点，求该函数的解析式并写出对称轴． 20．已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 21．已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 22．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求实数的值； (2)写出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 23．如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$