22.1.1 二次函数 同步教学讲义（知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1.1 二次函数同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：二次函数的相关概念 1.二次函数的定义： 一般地，形如 y=ax2+bx+c ( a， b， c 是常数， a ≠ 0 )的函数，叫做二次函数.其中， x 是自变量， a， b， c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2.判断一个函数是否为二次函数的步骤： (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 知识点02：建立二次函数模型表示变量间的关系 建立二次函数模型的一般步骤 1.审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量) ，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言 ； 2. 找相等关系 ：分析常量和变量之间的关系，列出等式 ； 3. 列二次函数解析式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示并把它整理成二次函数的一般形式 . 题型1： 二次函数的识别 【例1】下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【练1】下列函数中，为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【练2】下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型2： 二次函数的定义求参数 【例1】已知是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【练1】若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 【练2】若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3： 列二次函数关系式 【例1】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【练1】在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【练2】两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．函数的二次项系数是（　） A．4 B． C．3 D．1 3．关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 4．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 5．若函数是二次函数，则有（    ） A． B． C． D． 6．若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 7．若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 9．一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．当 时，函数是二次函数． 11．二次函数的一次项系数是 ． 12．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 13．如果是二次函数，那么 ． 14．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ． 15．已知某种产品的成本价为30元/kg，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（单位：kg）与售价x（单位：元/kg）满足关系式：．设这种产品每天的销售利润为w（单位：元），则w与x之间的函数解析式为 ． 16．若函数为二次函数，则实数 ． 17．若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围为 ． 三、解答题 18．指出下列二次函数中相应的，，的值： (1)； (2)； (3)． 19．下列函数中，哪些是二次函数？ (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 20．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 21．已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.1 二次函数同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：二次函数的相关概念 1.二次函数的定义： 一般地，形如 y=ax2+bx+c ( a， b， c 是常数， a ≠ 0 )的函数，叫做二次函数.其中， x 是自变量， a， b， c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2.判断一个函数是否为二次函数的步骤： (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 知识点02：建立二次函数模型表示变量间的关系 建立二次函数模型的一般步骤 1.审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量) ，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言 ； 2. 找相等关系 ：分析常量和变量之间的关系，列出等式 ； 3. 列二次函数解析式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示并把它整理成二次函数的一般形式 . 题型1： 二次函数的识别 【例1】下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数进行判断即可． 【详解】解：A、最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、原函数化简为：是一次函数，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 【练1】下列函数中，为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识点是解题的关键； 一般地，形如(其中)的函数是二次函数，据此逐项分析判断即可． 【详解】A. 是一次函数，故本选项不符合题意； B. 展开后为，是二次函数，故本选项符合题意； C. ，未明确，若则不是二次函数，故本选项不符合题意； D. 是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【练2】下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数，需满足形如且为整式函数的条件． 【详解】解：选项A：此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，排除； 选项B：二次函数需满足，但题目未限定的取值（如时为一次函数），因此不一定是二次函数，排除； 选项C：，展开得：， 符合，且为整式函数，因此一定是二次函数； 选项D：，含分式项（即），非整式函数，不符合二次函数定义，排除． 故选：C． 题型2： 二次函数的定义求参数 【例1】已知是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，可得关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故选：． 【练1】若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 【练2】若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 题型3： 列二次函数关系式 【例1】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【练1】在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式。根据已知得出三角形的高，再利用三角形的面积公式列式即可． 【详解】解：∵BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1， ∴这条边上的高为：2x+1， 根据题意得出：. 故选：C． 【练2】两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 一、单选题 1．下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如、、为常数，的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B． 是一次函数，故此选项不符合题意； C．是二次函数，故此选项符合题意； D． 不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．函数的二次项系数是（　） A．4 B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的标准形式为（其中a、b、c是常数，且），其中为二次项的系数，据此可得答案． 【详解】解：函数的二次项系数是4， 故选：A． 3．关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．根据二次函数的定义：形如，进行求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，得：． 故选：C． 4．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：D． 5．若函数是二次函数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据二次函数的定义解答即可．本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得． 故选：B． 6．若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，解得或， ， ， ． 故选：B． 7．若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：C． 8．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：． 9．一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 二、填空题 10．当 时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 【详解】解：由题意可知：， 解得 又∵，即， 综上所述： 故答案为． 11．二次函数的一次项系数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 12．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ，， 解得：， 故答案为：1． 13．如果是二次函数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数是二次函数是解题的关键，根据二次函数定义求出即可． 【详解】解：是二次函数， 且， 解得， 故答案为：． 14．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为，二次函数最高次必须为二次，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 15．已知某种产品的成本价为30元/kg，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（单位：kg）与售价x（单位：元/kg）满足关系式：．设这种产品每天的销售利润为w（单位：元），则w与x之间的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式 【详解】解：根据题意得：， 代入得：， 整理得： 故答案为 16．若函数为二次函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的一般式为（，为常数）是解本题的关键． 根据二次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴． 故答案为：2． 17．若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ， 解得：， m的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题 18．指出下列二次函数中相应的，，的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，， (2)，， (3)，， 【分析】本题考查的是二次函数的定义，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． （1）直接根据是二次项系数，是一次项系数，是常数项解答即可； （2）先化为一般形式，再根据是二次项系数，是一次项系数，是常数项解答即可； （3）直接根据是二次项系数，是一次项系数，是常数项解答即可； 【详解】（1）， ，，； （2）， ，，； （3）， ，，． 19．下列函数中，哪些是二次函数？ (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 【答案】(1)是二次函数 (2)不是二次函数 (3)是二次函数 (4)不是二次函数 (5)是二次函数 【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：是二次函数，符合题意； （2）解：不是二次函数，不符合题意； （3）解：是二次函数，符合题意； （4）解：不是二次函数，不符合题意； （5）解：是二次函数，符合题意． 20．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）把代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，． ∴y的值为． 21．已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）根据二次函数的概念得，且，求解即可； （2）根据一次函数的概念得且，，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得，且， 解得 ∴时，该函数为二次函数； （2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时， 且， 解得， 当首项系数为零时，， 解得和， 综上，，和时，该函数为一次函数． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$