4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1、 学习目标 1．认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异． 2．通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小(快慢)的经验． 二、学习重难点 重点：三类函数增长的结论，函数增长快慢比较的常用方法． 难点：通过数据分析表述函数增长快慢的理由． 三、自主预习、知识梳理 1. 三种函数的增长趋势 当 a > 1 时，指数函数 y＝ax 是_________，并且当 a 越大时，其函数值的增长就_________． 当 a > 1 时，对数函数 y＝loga x 是_________，并且当 a 越小时，其函数值的增长就__________． 当 x > 0，n > 1 时，幂函数 y＝xn 也是_________，并且当 x > 1 时，n 越大，其函数值的增长就__________． 2. 在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是______函数. 3. 三种函数的增长对比 对数函数 y＝loga x(a > 1) 增长_________（填写快慢），幂函数 y＝xn (n > 0)，指数函数y＝ax(a > 1)增长的快慢交替出现，当 x 足够大时，一定有____________. 4. 在区间(0，＋∞)上，当 a > 1，n > 0 时，是否总有logax < xn < an成立？ 四、应用举例 例1 从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿．“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米．”发明者说．“只是几粒米?”国王回答说．“是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米…,以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋盘为止，这就是我的愿望．”国王很高兴．“如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了．"国王想．于是国王大声地说“好!把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”．国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗? 解 第格放的米粒数显然符合指数函数(x{1，2，3，…，64})，本题实际上是求64个函数值的和，我们不妨求．假定每1000颗麦子重40克，3500亿吨．显然国王不能满足发明者的要求． 例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案? 解 令第天，回报为元 方案一： 方案二： 方案三： 天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 方案一 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 方案二 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 方案三 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 204.8 409.8 显然通过表格求和可以看出 投资7天及以下选择方案一 投资8-10天选择方案二 投资11天及以上选择方案三． 例3若不等式在内恒成立，求实数的取值范围． 解 分析：由得，把不等式的两边分别看做两个函数，利用数形结合的方法，通过图像进行转化． 在同一坐标系中作和的图象， 要使在内恒成立， 只需在的图像的上方，于是， ∵时，，∴只要时， ∴，即，又，所以，故取值范围为． 五、课堂练习 1.在一次数学实验中，采集到如下一组数据： x 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则x，y的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中a，b为待定系数）( ) A. B. C. D. 2.下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是( ) A. B. C. D. 3.有一组实验数据如表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 下列所给函数模型较适合的是( ) A. B. C. D. 4.设，，，则a，b，c的大小关系是( ). A. B. C. D. 5.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( ) A. B. C. D. 6.有一组试验数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y 4 13 28 49 76 下列所给函数模型适合的是( ) A. B. C. D. 7.（多选）函数，，在区间上( ) A.的递减速度越来越慢 B.的递减速度越来越慢 C.的递减速度越来越慢 D.的递减速度慢于的递减速度 8.（多选）在同一坐标系中，对于函数与的图象，下列说法错误的是( ) A.与的图象有两个交点 B.与的图象有三个交点 C.，当时，的图象恒在的图象的上方 D.，当时，的图象恒在的图象的上方 9.三个变量，，随变量x变化的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 30 5 130 505 1130 2005 3130 4505 5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120 5 30 55 80 105 130 155 其中关于x呈指数增长的变量是___________. 10.三个变量，，随自变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 5 135 625 1715 3645 6633 5 29 245 2189 19685 177149 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40 其中符合对数函数模型的变量是__________，符合指数函数模型的变量是__________，符合幂函数模型的变量是__________. 三、课后练习 1.当时，，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 2.下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是( ) A. B. C. D. 3.在某种新型材料的研制过程中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A. B. C. D. 4.三个变量，，随着变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 5 135 625 1715 3635 6655 5 29 245 2189 19685 177149 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x成对数型函数、指数型函数、幂型函数关系的变量依次是( ) A.，， B.，， C.，， D.，， 5.下列函数中，增长速度越来越慢的是( ) A. B. C. D. 6.下列说法中正确的是( ). A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B.对任意的， C.对任意的， D.一定存在，当，，时，总有 7.（多选）已知函数，，，当x在上逐渐增大时，有下列关于这三个函数的描述，其中说法正确的是( ) A.的增长速度越来越快 B.的增长速度越来越快 C.的增长速度一直快于 D.的增长速度有时慢于 8.（多选）设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是( ) A.的增长速度最快， 的增长速度最慢 B.的增长速度最快， 的增长速度最慢 C.的增长速度最快， 的增长速度最慢 D.的增长速度最快， 的增长速度最慢 9.甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，.有以下结论： ①当时，乙总在最前面；②当时，丙在最前面；当时，丙在最后面； ③若它们一直运动下去，则最终在最前面的是甲. 其中所有正确结论的序号是__________. 10.水滴进玻璃容器，如图所示（设单位时间内进水量相同），那么水的高度h是如何随时间t变化的？请填上与容器匹配的图象的序号. a：_________；b：_________；c：_________；d：_________. 答案及解析 三、自主预习、知识梳理 1. 增函数；越快；增函数；越快；增函数；越快 2. 指数 3. 最慢；ax > xn > loga x 4. 不是，但总存在x0，使得当a > 1，n > 0，x > x0 时，logax < xn < ax成立． 五、课堂练习 1.答案：B 解析：根据题表中的数据描点如图所示.由图可知A，C，D均不满足题意，故选B. 2.答案：D 解析：当时，指数函数增长速度最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数的增长速度最快. 3.答案：C 解析：由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C. 4.答案：A 解析：在上是增函数，.为减函数， .. 5.答案：D 解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D. 6.答案：C 解析：通过题中所给数据可知，随着x的增大，y的增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C. 7.答案：ABC 解析：函数，，在区间上的图象如图所示， 在上，的递减速度越来越慢，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度与的递减速度的快慢随x的不同取值而有所不同，故D错误.故选ABC. 8.答案：AC 解析：，，，，，，，， 则可在同一坐标系内作出两函数图象如图所示. 显然两函数的图象有三个交点A，B，C，故A错误，B正确； 由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度， 所以当时，的图象恒在的图象的上方，故C错误，D正确.故选AC. 9.答案： 解析：指数型函数呈“爆炸式”增长. 从表格中可以看出，三个变量，，，的值随着x的增加都是越来越大，但是增长速度不同，相比之下，变量的增长速度最快，可知变量关于x呈指数型函数变化. 故答案为：. 10.答案：；； 解析：由题中表格，可知三个变量，，随着x的增大都是越来越大的，其中的增长速度最快，符合指数函数模型，的增长速度最慢，符合对数函数模型，符合幂函数模型. 六、课后练习 1.答案：B 解析：方法一：在同一坐标系中画出函数，，的图象如图所示，在区间内从上往下依次是，，的图象，.故选B. 方法二：取，经检验知B正确.故选B. 2.答案：D 解析：依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数模型，故随着x的增长，的增长速度最快.故选D. 3.答案：B 解析：由题表中数据可知函数在上是增函数，且增长速度越来越快，分析选项可知B符合，故选B. 4.答案：C 解析：指数型函数增长变化率最快，对数型函数增长变化率最慢，幂型函数增长变化率趋于中间，所以是幂型函数，是指数型函数，是对数型函数，故选C. 5.答案：B 解析：一次函数的增长速度不变，选项A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中的对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.故选B. 6.答案：D 解析： 7.答案：BD 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象，如图所示， 由图可知的增长速度没有变化，所以A错误； 在上，的增长速度越来越快，所以B正确； 由图可知在上，的增长速度最慢，而在上，的增长速度最快，所以C错误，D正确. 故选BD. 8.答案：ACD 解析：画出函数，，的图象，如图所示， 结合图象，可得三个函数，，中， 当时，函数增长速度最快，增长速度最慢. 所以选项B正确;选项ACD不正确. 故选：ACD. 9.答案：②③ 解析：当时，，，；当时，，，，所以当时，乙不总是在最前面，故①不正确.根据三种函数的变化特点，当时，，可知当时，丙在最前面；当时，丙在最后面，故②正确；因为指数函数呈爆炸式增长，所以若它们一直运动下去，最终在最前面的是甲，故③正确. 10.答案：（3）；（2）；（4）；（1） 解析：容器a和b的水面上升速度是匀速的，且容器a的水面上升得快，因此a对应（3），b对应（2），容器c的水面开始是缓慢上升，后来上升得快，而容器d的水面是开始上升得快，中间较缓慢，后来加快，因此c对应（4），d对应（1）. 学科网（北京）股份有限公司 $$