4.2.2换底公式学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

4.2.2换底公式 一、学习目标 1．通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算． 2．运用对数运算性质解决有关问题． 二、学习重难点 重点：对数运算的性质与换底公式的应用． 难点：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值． 三、自主预习、知识梳理 1．对数的换底公式：对于任意正数 ，以及正数 ，都有 ________. 2．换底公式的常见形式： ______或 ______（其中 为自然对数的底数，约等于 2.718）. 3．换底公式的推论 1：若 ，则 ______. 4．换底公式的推论 2：若 ，则 ______. 5．换底公式的作用：（1）将不同底的对数转换为______的对数；（2）进行同底对数________的运算；（3）将底数转换为_________或_________计算. 四、应用举例 例1 计算：（1）；（2）； （3）（0，0，且，）． 解: 根据对数的换底公式，得 （1）； （2）； （3）． 例2 计算：（1）；（2）． 解：根据对数的换底公式，得 （1） （2） 例3 (1)已知，，试用，表示． (2)设，求的值． 解：(1)由，得． 又，则． (2)由，得，， 由换底公式得，， ∴． 五、课堂练习 1.已知，，则( ) A. B. C. D. 2.化简式子等于( ) A.0 B. C.-1 D. 3.已知，，则( ) A. B. C. D. 4.若，则( ). A.9 B. C.25 D. 5.若，则( ) A. B. C.1 D. 6.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数）.某蓄电池在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）( ) A.0.82 B.1.15 C.3.87 D.5.5 7.（多选）下列各项不正确的是( ) A. B. C. D. 8.（多选）下列运算错误的是( ). A. B. C. D. 9.已知，，则用a，b表示为__________. 10.已知，，则__________.（用m，n表示） 三、课后练习 1.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A. B. C. D. 2.已知，，，，则下列等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 3.5G技术的原理之一便是著名的香农公式：，它表示在被高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中称为信噪比.按照香农公式，若不改变信道带宽W，将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（参考数据：）( ) A. B. C. D. 4.已知，，则用m，n表示为( ) A. B. C. D. 5.已知m，n，p是均不等于1的正实数，，，则( ) A.2 B. C.1 D. 6.设，，则( ) A. B. C. D. 7.（多选）若，，则下列等式恒成立的为( ) A. B. C. D. 8.（多选）对任意的正实数x，y，下列等式成立的是( ) A. B. C. D. 9.计算：___________. 10.已知a，b是方程的两个实数根，则__________. 答案及解析 三、自主预习、知识梳理 1． 2． 3． 1 4． 5．相同底；相除；常用对数；自然对数 五、课堂练习 1.答案：B 解析：， 故选：B. 2.答案：A 解析：原式， 故选：A. 3.答案：D 解析：由题意知. 4.答案：D 解析：因为，所以，所以，所以. 5.答案：C 解析：，，，.故选C. 6.答案：B 解析：根据题意可得两式相除可得，所以，可得.故选B. 7.答案：ABC 解析：对于A，当时，，当时，，故A错误； 对于B，由对数的运算性质可知B错误； 对于C，由n次方根的性质，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故C错误； 对于D，，故D正确.故选ABC. 8.答案：ABD 解析：对于A，，故A错误. 对于B，，故B错误. 对于C，，故C正确. 对于D，，故D错误. 9.答案： 解析：. 10.答案： 解析：由，得，又， 所以. 六、课后练习 1.答案：D 解析：A选项，，所以A错误. B，D选项，由于，所以B错误，D正确. C选项，不妨设，则，， 此时，所以C错误.故选D. 2.答案：B 解析：，， 两式相除得， 又，， 所以. 故选：B. 3.答案：B 解析：将信噪比从1000提升至5000，C大约增加了，所以C大约增加了. 4.答案：C 解析：由换底公式，得，所以，故，又，，所以.故选C. 5.答案：C 解析：设，则且，，，， 易知x，y，z均不等于0，，，， 则， ，故选C. 6.答案：A 解析：由，得， 则 .故选A 7.答案：BD 解析： A × 令，则. B √ . C × 令，则. D √ . 8.答案：ACD 解析：，中等式不成立.，，A，C，D中的等式显然成立.故选ACD. 9.答案： 解析：，，，，，，原式. 10.答案： 解析：方法一：因为a，b是方程的两个实数根，所以将看作整体，由根与系数的关系得，， 则 . 方法二：因为的实数根为或， 不妨设，，则，， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$