2.3函数的单调性和最值学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

2.3函数的单调性和最值 1、 学习目标 1．理解增函数、减函数、最值等概念． 2.能判断函数的单调性，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值（或值域）． 二、学习重点、难点 重点：证明函数的单调性；能利用函数的单调性求函数的最值． 难点：求含参的一元二次函数的最值，利用函数最值解决实际问题． 三、自主预习、知识梳理 设函数 的定义域是 是定义域 上的一个区间： 1．如果对于任意的 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递增，区间 叫作函数 的___________区间. 2．如果对于任意的 ，当 时，都有 ＿＿ ，那么就称函数 在区间 上单调递减，区间 叫作函数 的__________区间. 3．如果函数 在区间 上__________或__________，那么就称函数 在区间 上具有单调性，单调递增区间和单调递减区间统称为__________. 4．如果对于定义域 上任意的 ，当 时，都有 _____ ，那么就称函数 是增函数；如果对于定义域 上任意的 ，当 时，都有 _______ ，那么就称函数 是减函数. 5．若存在实数 ，对所有的 ，都有 ，且存在 ，使得 ，则称 为函数 的________值；类似地，可定义函数 的________值，函数的最大值和最小值统称为_________. 函数单调性判定（设 是定义域 内自变量） 6． 在 上为_____函数； 在 上为_____函数. 7． 在 上为_____函数：在 上为_____函数. 4、 例题 例1判断函数的单调性，并给出证明． 答案：画出函数的图像．由图像可以看出，函数在定义域R上为减函数． 下面利用函数单调性的定义证明这一结论． 证明：任取、∈R，且，则，所以3（）>，即．由函数单调性的定义可知，函数在定义域R上是减函数． 这个证明是在定义域内任取，通过计算与的差，得到，从而有函数单调性的定义判断函数在定义域R上是减函数． 例2 判断函数的单调性，并给出证明． 解：画出函数的图象．由图象可以看出，函数在定义域[，+∞）上是增函数． 证明：任取、[，+∞）且，则． 所以． 由，即． 由函数的单调性的定义可知，函数在定义域[，+∞）上是增函数． 这个证明是在定义域内任取，通过计算与的差，得到从而由函数单调性的定义判断函数在定义域[，+∞）上是增函数． 例3试用函数单调性的定义证明，函数在区间（1]上单调递减，在区间[1，+∞)上单调递增． 证明：任取、（1]且． 因为，所以， 即．这表明函数在区间（1]上单调递减， 同理可证，函数在区间[1，+∞)上单调递增． 在判断函数的单调性时，常常借助其图象，得到猜测，证明函数在一个区间上的单调性时，通常在这个区间上任取、，且，然后计算与的差，由其值大于或小于来判断在该区间上的增减性． 例4 已知函数f=-2x+3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求m的取值范围. 解：由于函数f=-2x+3开口向上，其对称轴为，可知其最小值为f=2，又因为当f=-2x+3=3时解得0或者2，如图， 故m的取值范围是[1，2]. 五、课堂练习 1.已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为( ) A.3 B.4 C.5 D.7 2.如果二次函数在区间上是减函数，则a的取值范围是( ). A. B. C. D. 3.已知函数的对称轴为直线，则下列关系式正确的是( ). A. B. C. D. 4.已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内单调的函数是( ) A. B. C. D. 5.定义在区间上的函数的图象如图所示，则下列关于函数的说法错误的是( ) A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递增 C.函数在区间上单调递减 D.函数在区间上没有单调性 6.已知函数若存在最小值，则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.（多选）若函数在R上是单调函数，则a的取值可能是( ) A.0 B.1 C. D.3 8.（多选）下列说法正确的是( ) A.函数的图象是一条直线 B.若函数在上单调递减，则 C.若，则 D.函数的单调递减区间为 9.已知是R上的增函数，则a的取值范围是_______________. 10.已知一次函数在上的最大值为9，则实数a的值为_________. 六、课后练习 1.若函数则函数的单调递减区间为( ) A. B. C.和 D. 2.函数，的最大值与最小值之和为( ). A.1.75 B.3.75 C.4 D.5 3.下列四个函数在上为增函数的是( ). ①；②；③；④. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.已知函数在上是增函数，则a的取值范围是( ). A. B. C. D. 5.已知函数在区间上的最大值为3，则实数t的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.下列说法中正确的是( ). A.若对任意，当时，，则在I上是增函数 B.函数在R上是增函数 C.函数在定义域上是增函数 D.函数的单调递减区间是 7.（多选）已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数的图象的对称轴为，则下列结论正确的是( ). A. B. C. D. 8.（多选）若函数为R上的单调函数，且满足对任意，都有，则的值可能为( ) A.4 B.6 C.7 D.10 9.已知定义在上的函数满足，都有，且，则实数m的取值范围是__________. 10.已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断在上的单调性. 答案及解析 三、自主预习、知识梳理 1． ；单调递增 2． ；单调递减 3．单调递增；单调递减；单调区间 4． ； 5． ；最大；最小；最值 6．增；减 7．増；减 五、课堂练习 1.答案：D 解析：函数在R上单调递增， 当时，，， 所以最大值与最小值之和为7. 故选:D 2.答案：B 解析：函数图象的对称轴为直线，函数在区间上是减函数，可得，解得. 3.答案：C 解析：因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，所以在上单调递减.因为，所以. 4.答案：B 解析：对于A，函数分别在及上单调递增，但存在，使，故A不符合题意；对于C，函数分别在及上单调递增，但存在，使，故C不符合题意；对于D，函数分别在及上单调递减，但存在，，使，故D不符合题意；只有B符合增函数的定义，具有单调性，故选B. 5.答案：C 解析： 6.答案：B 解析：若，则； 若，当时，单调递增，没有最小值； 若，当时，单调递减，， 当时，若函数有最小值，则或解得. 综上，a的取值范围为，故选B. 7.答案：BC 解析：当时，增函数， 所以当时，也为增函数， 所以 解得. 故选：BC 8.答案：BD 解析：对于A，函数的定义域为整数集，所以其图象是一系列的点，A错误； 对于B，函数图象的对称轴为直线，且开口向上，则，解得，B正确； 对于C，令，得，故，C错误； 对于D，函数的定义域为或，该函数是由与复合而成的，由复合函数“同增异减”的原则可知，要求的单调递减区间，只需求（或）的单调递减区间，易知其单调递减区间为，故的单调递减区间为，D正确. 9.答案： 解析：根据题意，可得，解得. 所以a的取值范围是. 故答案为：. 10.答案：2或 解析：当时，在上单调递增， 解得则； 当时，在上单调递减， 解得则. 综上所述，或. 六、课后练习 1.答案：C 解析：函数的大致图象如图所示， 一元二次函数图象的对称轴为直线，所以函数的单调递减区间为和.故选C. 2.答案：B 解析：函数图象的对称轴为直线，则在上单调递减，在上单调递增，，，，故选B. 3.答案：C 解析：①在上为减函数；②在上既不是增函数，也不是减函数；③在上是增函数；④在上是增函数. 4.答案：D 解析：由于函数在上是增函数，因此函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，且， 即解得. 5.答案：D 解析：函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，函数在区间上单调递减，则； ②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则函数在或处取得最大值，由于， 所以，即， 解得，此时. 综上所述，实数t的取值范围是，故选D. 6.答案：A 7.答案：BD 解析：在上是减函数，其图象的对称轴为直线， 在上是增函数，. 又，， ，. 8.答案：CD 解析：因为为R上的单调函数，且满足对任意，都有，所以为定值，设，则，且，故，解得或. 当时，，则； 当时，，则. 综上，的值为7或10. 故选CD. 9.答案： 解析：由题意得函数在上单调递增，因为，所以，解得. 10.答案：（1） （2）在上单调递增 解析：（1）函数的定义域为. （2）任取，且， 则 . ，且， ，， ，， 故在上单调递增. 学科网（北京）股份有限公司 $$