2.1生活中的变量关系、2.2.1函数概念学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

2.1生活中的变量关系、2.2.1函数概念 1、 学习目标 1. 从实际生活中的例子出发，让学生认识到日常生活中各种变量之间的依赖关系，能利初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别． 2．在实际问题中找出变量之间的对应关系，深刻理解函数的概念． 3．会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 4．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 5．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 二、学习重难点 重点：函数的概念以及构成函数的三要素． 难点：函数概念的形成及理解． 三、自主预习、知识梳理 1．给定实数集 R 中的两个______________ 和 ，如果存在一个对应关系 使对于 中的_______________，在集合 B 中都有_____________________，那么就把对应关系 叫作定义在 A 上的一个函数，记作 其中集合 A 叫作函数的__________， 叫作自变量，与 值对应的 y 值叫作___________，集合 叫作函数的_________. 2．函数的三要素：____________、____________、___________. 3．判断两个函数是同一个函数的方法：_____________________________. 四、探究新知、例题讲解 活动1：通过生活实例，探究函数概念． 实例1：一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标． 炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律是 实例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积几年的变化情况． 实例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化． 时间（年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 恩格尔系数（% ） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 通过这三个实例，思考以下问题． 问题1：从炮弹发射到炮弹落地的时间内，时间t和高度h分别对应的集合是什么？是否存在某一时间t没有高度h与之相对应？是否有两个或多个高度与之相对应？ 答案：炮弹飞行时间的变化范围是数集，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集，对应关系 ．从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应． 问题2：从1979-2001年，年份和臭氧空洞面积所对应的集合分别是什么？是否存在某一年份没有面积与之对应？有两个或多个面积与之相对应？ 答案：年份对应的数集，臭氧空洞面积所对应的数集，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应． 问题3：从1991-2001年，年份和恩格尔系数所对应的集合分别是什么？是否存在某一时间没有恩格尔系数与之相对应？是否有两个或多个恩格尔系数与之相对应？ 答案： 年份对应的集合A={1991，1992，1993，1994，1995，1996，1997，1998，1999，2000，2001} 恩格尔系数所对应的集合 B={53．8，52．9，50．1，49．9，48．6，46．4，44．5，41．9，39．2，37．9} 思考：以上三个实例中变量的对应关系有什么共同点呢？ 答案：(1)都有两个非空数集A，B；(2)两个数集间都有一种确定的对应关系； (3) 对于数集A中的任意一个数，数集B中都有唯一确定的数和它对应． 思考：你能用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念吗？ 答案：给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作，．其中集合A称为函数的定义域，x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值，集合称为函数的值域． 活动2：讨论，准确把握函数概念． 问题4：观察下面两种数集的对应关系，判断它们能否构成函数？ 答案：第一个图中不是函数关系，出现了“一对多”不满足对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应这个条件． 第二个图中不是函数关系，因为在集合A中“4”在集合B中没有元素与之对应，在集合A中出现了元素剩余． 第三个图中是函数关系，虽然在集合A中出现了“多对一”的情况，但是符合函数定义． 第四个图中是“一对一”函数关系． 特别注意：对应关系可以“一对一”，“多对一”，但不能“一对多”． 问题5：函数y与是同一个函数吗？ 答案：函数y与是同一个函数，虽然它们的解析式看着不同，但它们表示的函数结果都是一样的，在这里，函数概念强调了数与数之间的对应关系，并且对应关系指的是对应的结果，而不是对应的过程． 例题 例1 下面各组的两个函数是否为同一个函数？ （1） ; （2）; （3）; （4）; 答案：(1)因为的定义域是R，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数； (2)因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数； (3)因为的定义域是，的定义域是R，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数； (4)和虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数． 例2 求下面函数的定义域． （1）y; （2）y; （3）y; 答案：（1）为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，即，解得． 所以函数y的定义域是； （2） 为使函数有意义，只需解析式中分式的被开方数非负，且分式的分母不为零．即解得 所以函数y定义域是； （3）为使函数有意义，只需解析式中分式的被开方数非负，即解得x．所以函数y的定义域是=． 五、课堂练习 1.已知函数，则( ) A.1 B. C. D. 2.函数的定义域为( ) A.R B. C. D. 3.下列变量之间不存在依赖关系的是( ) A.扇形的圆心角与它的面积 B.某人的体重与其饮食情况 C.水稻的亩产量与施肥量 D.某人的衣着价格与视力 4.函数的定义域是( ) A. B. C. D. 5.下列四个式子中，y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 6.函数的值域是( ) A. B. C. D. 7.下列各组函数表示同一个函数的是( ) A.， B.， C. D.， 8.已知函数的定义域，值域，则( ) A. B. C. D. 9.函数的定义域为__________. 10.函数的值域为__________. 六、课后练习 1.下列各式能确定y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 2.下列函数中，与相同的函数是( ) A. B. C. D. 3.下列变量之间的关系，是函数关系的是( ) A.光照时间和果树的亩产量 B.某地蔬菜的价格和蔬菜的供应量 C.等边三角形的边长和面积 D.等腰三角形的底边长和面积 4.下列各组函数中是同一个函数的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 5.函数的值域是( ) A. B. C. D. 6.已知函数的定义域为，则函数的定义域是( ) A. B. C. D. 7.函数的定义域为R的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 8.若函数的定义域为R，则a的取值范围为__________. 9.已知集合，的定义域为B，若，则实数a的取值范围是__________. 10.已知函数. （1）求，； （2）若，求x的值； （3）若，求的值域. 答案及解析 三、自主预习、知识梳理 1． 非空数集；每一个数 ；唯一确定的数 和它对应；定义域；函数值；值域 2． 定义域、对应关系、值域 3．定义域相同且对应关系完全一致（此时值域也必然相同） 五、课堂练习 1.答案：D 解析：因为函数，所以， 故选:D 2.答案：B 解析：由分母不零即可得，可得， 所以该函数定义域为. 故选:B 3.答案：D 解析： 4.答案：B 解析：由题可知，得， 所以的定义域是. 故选：B. 5.答案：C 解析：对于A，D，并非对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与之对应， 所以y不是x的函数； 对于B，因为不等式组无解， 所以不存在实数x，使有意义，所以y不是x的函数； 对于C，中，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数.故选C. 6.答案：C 解析：当时，，则当时，，当时，，则； 当时，. 综上所述，.故选C. 7.答案：C 解析：A中，两个函数的定义域相同，均为R，，与的对应关系不同，故不是同一个函数； B中，与的定义域为，，与的对应关系不同，故不是同一个函数； C中，两函数的定义域和对应关系均相同，故是同一个函数； D中，的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数.故选C. 8.答案：B 解析：因为，，由题意可得解得可得，，故. 9.答案： 解析：依题意得解得，且，因此函数的定义域为. 10.答案： 解析：函数的定义域为， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的值域为. 六、课后练习 1.答案：D 解析：对于A，当时，都有，即有两个y与之对应，故不满足函数的概念，故错误；对于B，表示，两个点，即对于，有与之对应，故不满足函数的概念，故错误；对于C，满足的x构成的集合为，故不满足函数的概念，故错误；对于D，当时，有唯一的y与之对应，满足函数的概念，故正确.故选D. 2.答案：D 解析：对于选项A，，和的对应关系不同，所以不是相同函数，故A错误； 对于选项B，的定义域为，和的定义域R不同， 所以不是相同函数，故B错误； 对于选项C，的定义域为，和的定义域R不同， 所以不是相同函数，故C错误； 对于选项D，因为，所以的定义域是R， 且，和函数对应关系和定义域都相同， 所以是相同函数，故D正确. 故选：D. 3.答案：C 解析： 4.答案：B 解析：对于A，的定义域为，的定义域为R，故不是同一个函数；对于B，与的定义域和对应关系都相同，故是同一个函数； 对于C，的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数； 对于D，与的定义域相同，但是对应关系不相同，故不是同一个函数.故选B. 5.答案：B 解析：，，即函数的值域为. 6.答案：D 解析：由题意可知且，解得且， 所以函数的定义域为.故选D. 7.答案：C 解析：若的定义域是R，则在R上恒成立， 当时，显然不成立； 当时，只需解得. 故函数的定义域为R的充分不必要条件构成的集合是的真子集，结合选项知选C. 8.答案： 解析：由函数的定义域为R，得无解， ，解得. 9.答案： 解析：由，得，即，若，则，解得. 10.答案：（1）， （2）或 （3） 解析：（1）， . （2）， ， 解得或. （3）， ，. 学科网（北京）股份有限公司 $$