1.4.3一元二次不等式的应用学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.4.3一元二次不等式的应用 一、学习目标 1. 能从实际情境中抽象出一元二次不等式. 2. 通过解一元二次不等式解决实际问题. 二、学习重难点 重点：利用一元二次不等式解决实际问题. 难点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型． 3、 自主预习、知识梳理 1.一元二次不等式及其解法，有图像法和判别式法两种方法，一般步骤为： （1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数________； （2）计算相应的判别式； （3）当△≥0时，求出相应的一元二次方程的根； （4）根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集. 2.一元二次不等式解决实际问题的步骤： （1）理解题意，搞清量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的 问题； （3）解这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 四、例题 例1：某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满.该农家院欲提高档次，并提高租金.经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间.每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大? 分析：首先将大问题转化为几个小问题，然后分步完成： （1）你能用含x的表达式分别表示租金提高空间、每间客房日租金提高值和租金总收入吗?（2）租金总收入y与每间客房日租金提高的比例x的函数关系如何? （3）利用题目中所给的不等关系求解. 解： 设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到元，则客房出租数减少间，此时客房的租金总收入为元. 又因为每天客房的租金总收人不低于1800元，所以 . 化简，得 . 解得 . 由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即，所以. 因此，，该农家院每间客房日租金提高的空间是20元，30元，40元，50元. 例2：为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：. （1）设袁阳每月获得的利润为w（单位:元），写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系. （2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少? 分析：选取合适的字母表示题中的未知数，用未知数表示出销售利润和销售量，再代入题目中所给关系式求解. 解：(1)依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为. (2)由每月获得的利润不小于3000元，得 . 化简，得 . 解得 . 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以 . 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则 . 由，得. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元. 五、课堂练习 1.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的关系为，假设生产的产品均可售出，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 3.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不收附加税时，每年产销大约100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元（称为税率），则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取的附加税金不少于112万元，则实数k的取值范围为( ). A. B. C. D. 4.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是.若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 5.河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展.某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套.若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为( ) A.250元 B.260元 C.270元 D.280元 6.某商店购进一批纪念章，每枚纪念章最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，则每天能卖出45枚，若每枚的售价每提高1元，则日销售量将减少3枚，为了每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.（多选）某商场若将进货单价为8元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少件.那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为( ) A.元 B.元 C.元 D.元 8.（多选）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出后用水补满，摚拌均匀.第二次倒出后用水补满，若第二次稀释后桶中纯药液含量不超过容积的，则V的可能取值为( ) A.5 B.20 C.35 D.50 9.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增加，八月份销售额比七月份增加，九、月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少要达7000万元，则x的最小值是_________. 10.用一根长为的绳子，围成一个一边长为，面积大于的矩形，则实数的取值范围为________________. 六、课后练习 1.某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是( ). A. B. C. D. 2.将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是( ) A. B. C. D. 3.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是.若每台产品的售价为20万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本)的最低产量是( ) A.100台 B.150台 C.200台 D.250台 4.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（即税率x%），则每年销售量将减少万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( ) A.2 B.6 C.8 D.10 5.某单位在对一个长，宽的矩形空地进行绿化，设计方案初步确定为：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度x（m）的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为( ) A.220元 B.240元 C.250元 D.280元 7.某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价为__________元. 8.某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到在高速公路上的行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数.若汽车以的速度行驶，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则x的取值范围为___________. 9.一个小型服装厂生产某种风衣，月产量x（件）与售价P（元/件）之间的关系为，生产x件的成本为元. （1）该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于1300元？ （2）当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ （注：假设生产的风衣均能售出） 10.某空调生产企业，上年度的投入成本是1万元/台，出厂价为1.2万元/台，年销量为1000台.本年度为适应市场需要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每台空调投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，同时预计年销量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销量. （1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式; （2）为使本年度的利润超过上年度的利润，求投人成本增加的比例x的取值范围. 答案及解析 三、自主预习、知识梳理 1.大于零 2.一元二次不等式 五、课堂练习 1.答案：B 解析：设该厂每天获得的利润为y元， 则，，， 根据题意，可得， 即，解得， 所以日销售量x的取值范围是. 2.答案：C 解析：根据题意，得，即，解得（舍去）或.故选C. 3.答案：A 解析：设产品销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为万元，其中.由题意，得，整理得，解得. 4.答案：C 解析：由题意，知总售价为万元.要使生产者不亏本，则必须满足总售价大于或等于总成本，即，即，可化为，解得或(舍去).故最低产量是150台. 5.答案：C 解析：依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 . 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得. 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元. 故选：C. 6.答案：B 解析：由题意得，即，解得.又每枚纪念章最低售价为15元，.故选B. 7.答案：AB 解析：设销售价定为每件x元，利润为y元， 则， 依题意有， 即， 解得， 所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元， 故选：AB. 8.答案：BC 解析：第一次操作后，剩下的纯药液为，第二次操作后，剩下的纯药液为，因为第二次稀释后桶中纯药液含量不超过容积的，所以，即，解得.又，所以V的取值范围为.结合选项知选BC. 9.答案：20 解析：由题意，得，化简得，解得(舍去)或. 10.答案： 解析：由题目条件，知矩形的另一边的长为，且.由题意，得围成的矩形的面积为，所以，即，解得. 六、课后练习 1.答案：B 解析：由题意可知，则，即，，解得. 又每盏最低售价为15元，. 2.答案：A 解析：设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则，.要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，，的取值范围为. 3.答案：C 解析：设产量为x台，则总售价为万元，若使生产者不亏本，则，即，整理得，，解得或（舍去）.故最低产量是200台.故选C. 4.答案：A 解析：根据题意，可得，整理，得，解得.所以x的最小值为2.故选A. 5.答案：B 解析：因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为，绿草坪面积为，总面积为.根据题意可得，整理得，解得或.由题意知解得，所以.故选B. 6.答案：C 解析：依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为（元）. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元， 所以，即，解得.因为且，所以，即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选C. 7.答案：120或130 解析：设每个床位的定价为x元，则每晚上有张床位有人入住，所以旅馆每晚的收入为（元）.因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，所以，即，解得，因为x是10的整数倍，所以每个床位的定价应为120元或130元. 8.答案： 解析：因为汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，所以，解得，故每小时的油耗为.依题意得，解得，因为，所以. 9.答案：（1）当月产量在20件至45件（包括20件和45件）之间时，月获利不少于1300元 （2）当月产量为32件或33件时，可获得最大利润，最大利润为1612元 解析：（1）设该厂的月获利为y元， 依题意得. 令，即， 则，解得. 当月产量在20件至45件（包括20件和45件）之间时，月获利不少于1300元. （2）由（1）知. 为正整数，当或时，y取得最大值， 当月产量为32件或33件时，可获得最大利润，最大利润为1612元. 10.答案：（1）由题意得，本年度每台空调投入成本为万元，出厂价为万元，年销量为台. ， 即. （2）为使本年度的利润超过上年度的利润， 则 即解得. 投入成本增加的比例x的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$