精品解析：湖南省长沙市麓谷高级中学2025-2026学年高一上学期入学考试数学试题

2025~2026学年秋季学期 长沙市麓谷高级中学高一入学考试试卷 数学 命题人：彭华平 审题人：沈洋 本试题卷共4页，21题，全卷满分120分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在规定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上，请勿在答题卡上使用涂改液或修正带，写在本试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的计算方法即可求解． 【详解】2025是正数，则它的绝对值是它本身， 故选：A． 2. 2025年中国动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球．以下四图是某校美术社团绘制的哪吒风火轮的简笔画，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点就是这个图形的对称中心． 【详解】选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点（圆心），使图形绕这点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 3. 某中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的26名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 96分和98分 B. 97分和98分 C. 98分和96分 D. 97分和96分 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义，结合图象即可解答． 【详解】得98分的同学人数最多，故这些成绩的众数为98， 因为一共有26名学生，所以这些成绩的中位数应该是把分数从低到高排列后排在第13位和第14位的成绩的平均数． 因为94分的有5人，96分的有8人，共13人，故成绩排第13位的是96，则排在第14位的是98，故中位数为97． 故选：B． 4. 若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例排除A，B，D，结合不等式性质证明C． 【详解】由，，考虑取，，， 可得，A错误， 可得，B错误， 可得，D错误， 因为不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号不变， 所以由可推出，C正确， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、单项式乘多项式法则分别计算判断即可． 【详解】A：与不是同类项，不能合并，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确. 故选：D． 6. 《孙子算经》中有一道题，原文：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问人和车各是多少？设共有人，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两种情况下车辆数相同列出方程即可. 【详解】两种情况下车辆数相同，设共有人， 根据题意可得：， 故选：C 7. 如图，在中，，，，把绕直线旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把绕直线旋转一周，所得几何体为圆锥，利用勾股定理计算母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形面积公式计算即可. 【详解】把绕直线旋转一周，所得几何体为圆锥， 因为在中，，，， 所以圆锥底面圆半径为1，母线长为， 所以圆锥的侧面积为， 故选：B 8. 如图，二次函数的图像与x轴相交于两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，y的值随x值的增大而增大 C. 点B的坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数抛物线的性质可直接判断A、B；根据抛物线对称性可求B点坐标，从而判断C选项；根据图象可知抛物线上的点在第一象限，其纵坐标为正，据此即可判断D选项． 【详解】A：由图可知：抛物线开口向下，，故选项A错误，不符合题意； B：抛物线对称轴是直线，开口向下， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，故选项B错误，不符合题意； C：由，抛物线对称轴是直线可知，坐标为，故选项C错误，不符合题意； D：抛物线过点，由可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限， ，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点，，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，由全等三角形性质证明，判断A ，再结合旋转的性质及全等三角形性质证明，由此证明，判断B，由，，结合内角和定理求，再求，由此判断C，由，，结合内角和公式求，判断D. 【详解】由已知， 所以，，， 所以，，A正确， 又，，，， 所以，，故， 所以，B正确， 因为，， 所以， 所以，故与不垂直，C错误， 因为，， 所以，又， 所以，D正确， 故选：C. 10. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先，利用正六边形的性质和坐标系中的位置确定顶点D的初始坐标，再根据旋转的性质和规律，计算经过2025次旋转后顶点D的坐标. 【详解】如图， 连接，在正六边形中， 易知， ， 在Rt中，，， ， ∴点的坐标为． ∵将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转， ∴每旋转六次回到原来位置，即旋转具有周期性，次为一个周期， ， ∴经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，从D转到共旋转了， ∴与关于原点对称， ∴经过第2025次旋转后，顶点的坐标. 故选：A 二、填空题，本题共6小题，每题4分，共24分． 11. 已知水星的半径约为24400000米，数据24400000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】将一个数表示成（，n为整数）的形式即为科学记数法，据此解答即可． 【详解】， 故答案为：． 12. 因式分解：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用提公因式法、公式法分解因式作答. 【详解】. 故答案为： 13. 如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知，则弦CD＝______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂径定理及勾股定理求出弦长. 【详解】由OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，得是弦的中点， 而，则， 所以. 故答案为：8 14. 如图，，若，则______°． 【答案】60 【解析】 【分析】利用直线平行的性质，可求出，再根据三角形外角的性质即可求出∠3的度数． 【详解】如图， ， ， ， 故答案为：60． 15. 如图为一节楼梯的示意图，米．现要在楼梯上铺一块地毯（沿台阶从点铺到点），则地毯的长度需要______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．利用正切定义求得，从而求出地毯的长度为． 【详解】米， （米）， 地毯的长度为（米）． 故答案为：． 16. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点M，N． （1）若，则______°． （2）若，则的值是______． 【答案】 ①. 75 ②. 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得，运用三角形外角的性质即可计算； （2）过点M作于点K，设根据正方形的性质得，，证明，再结合，求得故，证明，得到，据此求出关系即可作答． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， 故答案为：75； （2）如图，过点M作于点K， ∵， ∵四边形为正方形， 在和中， ∴，即与为两个全等的等腰直角三角形， 设 由题意，知， ，即 解得（负值舍去）， 故答案为：． 三、解答题（17题8分，其余每题12分） 17. 解下面不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，图象见解析 【解析】 【分析】先通过移项、合并同类项求出不等式的解集，再在数轴上表示出解集． 【详解】 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， 其解集在数轴上表示如下： 18. 已知：． （1）化简； （2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将除法化为乘法约分，再通分计算减法即可； （2）根据一元二次方程根的判别式求出，再结合分母不为0，代入求出的值即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以，解得或， 由可得，，， 所以，即， 所以. 19. 在某次物理实验中，需要在图中的1、2、3个位置处安装3个元件形成电路，现有三个元件，其中有一个元件在上一次实验操作中被烧坏掉，现将三个元件分别任意安装到1、2、3处； （1）位置1处安装被烧坏的元件概率为______； （2）请用合适的方法分析并求出闭合开关后，小灯泡能亮的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据烧坏的元件安装到1、2、3处的概率一样即可得到答案； （2）根据并联电路的特点可知，位置1处必须放完好的元件才能保证形成电路，假设中烧坏的元件为，由此列树状图求解即可. 【小问1详解】 因为烧坏的元件安装到1、2、3处的概率一样， 所以位置1处安装被烧坏的元件概率为， 故答案为： 【小问2详解】 根据并联电路的特点可知，位置1处必须放完好的元件才能保证形成电路， 假设中烧坏的元件为，列树状图如下所示： 由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中小灯泡能亮的结果数有2种， 所以小灯泡能亮的概率为. 20. 实践与探究 （1）【问题情境】①如图1，分别为边上的点，，且，则______； ②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则，所在直线较小夹角的度数为______． （2）【探究实践】如图3，矩形为边上的动点，为边上的动点，，连结，作于点，连结．当的长度最小时，求的长． 【答案】（1）；30° （2）2 【解析】 【分析】（1）①根据直线平行的性质即可求解；②延长交于，根据旋转的性质和三角形内角和定理即可求得答案； （2）延长和交于点，利用平行的性质可得，根据可得在以为圆心，为半径的圆上，从而可知当共线时，最小，再根据此时的几何关系即可求出此时的长． 【小问1详解】 ① 故答案为：； ②延长交于，如图： 即所在直线较小夹角的度数为． 故答案为：； 【小问2详解】 延长和交于点，如图： 又∴在以为圆心，为半径的圆上， ∴当共线时，最小， 在Rt中，， ， ∵， ∴ ∴为等边三角形， 此时， ∴，符合题意； ． 21. 如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标； （2）若四边形BCEF为矩形，．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值； （3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：（）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：为定值． 【答案】（1）抛物线的函数解析式为，点的坐标为， （2）或； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将点，代入抛物线方程，可求，由此可得抛物线的函数解析式，将抛物线方程化为顶点式可求点的坐标； （2）由条件求的坐标，再求，由条件求，和的范围，分情况结合相似三角形的性质列方程求可得结论， （3）由条件求点的坐标，由此可求，证明，由三角函数定义可得，联立方程与抛物线方程可得，求点的横坐标，过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，结合三角函数定义求，由此证明结论. 【小问1详解】 因为抛物线与轴交于，两点， 所以，解得， 所以抛物线的函数表达式为， 因为， 所以点的坐标为， 【小问2详解】 由，取可得， 所以点的坐标为，又， 所以，，所以， 因为点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，又， 所以，由已知，，故， 因为点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动， 所以，由已知，，所以， 因为以M、E、N为顶点的三角形与相似， 所以或， 若，则， 所以，故， 若，则， 所以，故， 所以或； 【小问3详解】 抛物线的对称轴方程为， 所以点的坐标为，又， 所以点的坐标为， 所以，， 又，， 所以，所以 所以， 因为直线l：与抛物线（）只有一个公共点， 所以当时，有且只有一组解， 所以有且只有一个实数解， 所以，即， 所以， 因为，，， 设直线的方程为，则 ，故， 所以直线的方程为， 设直线的方程为，则 ，故， 所以直线的方程为， 联立，可得， 联立，可得， 所以点的横坐标为，点的横坐标为， 又， 所以点的横坐标为， 点的横坐标为， 过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，则， 所以， 所以， 过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，则， 所以， 所以， 所以， 所以为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年秋季学期 长沙市麓谷高级中学高一入学考试试卷 数学 命题人：彭华平 审题人：沈洋 本试题卷共4页，21题，全卷满分120分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在规定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上，请勿在答题卡上使用涂改液或修正带，写在本试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 2025年中国动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球．以下四图是某校美术社团绘制的哪吒风火轮的简笔画，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的26名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 96分和98分 B. 97分和98分 C. 98分和96分 D. 97分和96分 4. 若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》中有一道题，原文：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问人和车各是多少？设共有人，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，把绕直线旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图像与x轴相交于两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，y的值随x值的增大而增大 C. 点B的坐标为 D. 9. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点，，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题，本题共6小题，每题4分，共24分． 11. 已知水星的半径约为24400000米，数据24400000用科学记数法表示为______． 12. 因式分解：__________. 13. 如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知，则弦CD＝______． 14. 如图，，若，则______°． 15. 如图为一节楼梯的示意图，米．现要在楼梯上铺一块地毯（沿台阶从点铺到点），则地毯的长度需要______米． 16. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点M，N． （1）若，则______°． （2）若，则的值是______． 三、解答题（17题8分，其余每题12分） 17. 解下面不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 18. 已知：． （1）化简； （2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 19. 在某次物理实验中，需要在图中的1、2、3个位置处安装3个元件形成电路，现有三个元件，其中有一个元件在上一次实验操作中被烧坏掉，现将三个元件分别任意安装到1、2、3处； （1）位置1处安装被烧坏的元件概率为______； （2）请用合适的方法分析并求出闭合开关后，小灯泡能亮的概率． 20. 实践与探究 （1）【问题情境】①如图1，分别为边上的点，，且，则______； ②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则，所在直线较小夹角的度数为______． （2）【探究实践】如图3，矩形为边上的动点，为边上的动点，，连结，作于点，连结．当的长度最小时，求的长． 21. 如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标； （2）若四边形BCEF为矩形，．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值； （3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：（）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $