第十三章三角形单元质量检测培优卷人教版（2024）八年级数学上册

人教版（2024）八（上）数学第十三章单元质量检测培优卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数为（　　） A． B． C． D． 或 2．在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（　　） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 3．小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则等于（　　） A． B． C． D． 4．如图，点D是边上的中点，点E是上一点且，F、G是边上的三等分点，若四边形的面积为14，则的面积是（　　） A．24 B．42 C．48 D．56 5．如图，△为直角三角形，，AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线BE交于点E，BG是△ABC的外角平分线，AD与BG相交于点G，则∠ADC与∠GBF的和为（　　） A．120° B．135° C．150° D．160° 6．如图，在 中， ， ， ， ，连接BC，CD，则 的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．80° 7．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、.若中有一个角是另一个角的3倍，则为（　　）. A．或 B．或 C．或 D．或 8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作于点，有以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……以此类推得到，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有　 　种． 12．△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝　 　. 13．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．若△ABC的面积S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝　 　． 14．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②∠BEF= （∠BAF+∠C）； ③∠FGD=∠ABE+∠C；④∠F= （∠BAC﹣∠C）；其中正确的是　 　． 15．如图1，六分仪是一种测量天体高度的航海仪器，观测者手持六分仪，可得出观测点的地理坐标． 在图2所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线自动与刻度线保持平行（即），并与A处的镜面所在直线相交于点C，所在直线与水平线相交于点D，，观测角=　 　（用表示）． 小贴士： 如图3，光线经过镜面反射时，反射角等于入射角，所以图2中， 三、解答题：本大题共8小题，共75分 16．如图，线段与相交于，点、分别是延长线、延长线上一点.线段在内部，线段在内部．四边形始终为凸四边形，且有，，、均为正数． （1）若，，，，如图1，求度数； （2）若，，，如图2，则当变化时，为何值时，为与、无关的定值？ （3）若为定值，如图3，则和满足关系式______时，为与、无关的定值. 17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，点F在AE上且CF∥AD． （1）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝80°，则∠CFE＝　 　度． （2）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＞∠B，∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝　 　（用含x，y的代数式表示）． （3）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠ACB为钝角，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？说明理由． 18．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？(不需证明) （3）根据(2)的结论，求图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． 19．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高． （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°．求∠DAE的度数． （2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系． （3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变，说明理由． 20．如图，在中，与的平分线相交于点． （1）若，则的度数是　　； （2）如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； （3）如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 21． （1）【课本再现】如图1，在中，线经过点且．求证：； （2）【变式演练】如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数； （3）【方法应用】如图3，直线与直线相交于点，夹角的锐角为，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点重合）．当时，平分平分交直线于点，求的度数． 22．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务： （1）填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是　 　； （2）探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； （3）应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 23．已知AB∥CD，点F、G分别在AB、CD上，且点E为射线FG上一点． （1）如图1：当点E在线段FG上时，连接AE、DE，易得． 小明给出的理由是：如图1，过E作EH∥AE， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EH．（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，，（依据1） ∴；（依据2） 填空：依据1：　 　． 依据2：　 　． （2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：； （3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且，，，求∠EKD的度数． 答案解析部分 人教版（2024）八（上）数学第十三章单元质量检测培优卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∵AE、BD分别平分∠CAB、∠CBA， ∴∠EAB+∠DBA=∠BAC+∠ABC=(∠ABC+∠BAC）=45°， ∴∠AOB=180°-（∠EAB+∠DBA）=135°， 即直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数为135°. 故答案为：B. 【分析】利用直角三角形两锐角互余及角平分线的定义可得∠EAB+∠DBA=45°，再利用三角形内角和定理求出∠AOB的度数即可. 2．在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（　　） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-证明问题 【解析】【解答】解：A、如图①，过点C作EF//AB，则∠B＝∠FCB，∠A＝∠ECA， ∵∠ECA＋∠ACB＋∠FCB＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴A正确，不符合题意； B、如图②，延长AC到F，过点C作CE∥AB，则∠B＝∠BCE，∠A＝∠ECF， ∵∠BCE＋∠ECF＋∠ACB＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴B正确，不符合题意； C、如图③，过AB上一点D作DE//BC，DF∥AC，则四边形CEDF是平行四边形， ∴∠C＝∠EDF， ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE， ∵DF//AC， ∴∠A＝∠BDF， ∵∠EDF＋∠ADE＋∠BDF＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴C正确，不符合题意； D、如图④，过点D作DE∥BC，无法证明三角形的内角和等于180°，∴D不正确，符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用三角形的内角和定理及平行线的性质及角的运算逐项分析判断即可. 3．小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质 【解析】【解答】解：∵△DEF与△ABC是一幅直角三角尺 ∴∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90° ∵∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6 ∴∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6 ∵∠3=∠4，∠5=∠6 ∴∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90° ∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠3+∠6=30°+90°+90°=210° 故答案为：C 【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，由∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6，可得出∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6，由△DEF与△ABC是一幅直角三角尺可得出∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°，由对顶角相等可知∠3=∠4，∠5=∠6，所以∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°代入∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6即可得出答案. 4．如图，点D是边上的中点，点E是上一点且，F、G是边上的三等分点，若四边形的面积为14，则的面积是（　　） A．24 B．42 C．48 D．56 【答案】C 【知识点】三角形的中线 【解析】【解答】解：如图，连接DF， 设， ∵DE=3AE， ∴， ∴， ∵F、G是边AB上的三等分点， ∴AF=FG=GB， ∴， ∴四边形FGDE的面积为：， ∵四边形FGDE的面积为14， ∴7x=14， ∴x=2， ∴， ∵D是BC的中点， ∴， 故答案为：C． 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分，同高三角形面积比等于底的比．连接，设，则，，由F、G是AB的三等分点可得出，从而有四边形FGDE的面积为7x=14，解方程求出x的值，最后根据三角形中线的性质得的值.​​​​​​ 5．如图，△为直角三角形，，AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线BE交于点E，BG是△ABC的外角平分线，AD与BG相交于点G，则∠ADC与∠GBF的和为（　　） A．120° B．135° C．150° D．160° 【答案】B 【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念 【解析】【解答】∵∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∵AE、BE分别平分∠CAB、∠CBA， ∴∠EAB+∠EBA=∠CAB+∠CBA=45°， ∵BG平分∠CBF， ∴∠CBG=∠CBF， ∵∠CBE=∠CBA， ∴∠CBE=∠CBG+∠CBE=∠CBF+∠CBA=90°， ∴∠G=90°-45°=45°， ∵∠ADC=∠BDG， ∴∠ADC+∠GBF=∠BDG+∠DBG=180°-∠G=135°， 故答案为：B. 【分析】利用角平分线的定义及等量代换可得∠EAB+∠EBA=∠CAB+∠CBA=45°，再求出∠CBE=∠CBG+∠CBE=∠CBF+∠CBA=90°，最后求出∠ADC+∠GBF=∠BDG+∠DBG=180°-∠G=135°即可. 6．如图，在 中， ， ， ， ，连接BC，CD，则 的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．80° 【答案】B 【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理 【解析】【解答】解：连接AC并延长交EF于点M. ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：B. 【分析】连接AC并延长交EF于点M，根据两直线平行同位角相等，可得，，从而得出∠BAD=∠FCE，利用三角形的内角和求出∠FCE的度数，即得∠BAD的度数. 7．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、.若中有一个角是另一个角的3倍，则为（　　）. A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵ EM平分∠FEO，EN平分∠GEO， ∴ ∠MEN=90°， ∵ △MEN中有一个角是另一个角的3倍， ∴ ∠EMN=30°或∠EMN=22.5°， ∵ OM平分∠BOF， ∴ ∠BOM=45°， ∴ ∠MEO=∠BOM-∠EMN=15°或22.5°， ∴ ∠FEO=30°或45°， ∴ ∠EFO=90°-∠FEO=60或45°. 故答案为：C. 【分析】根据角平分线的定义可得 ∠MEN=90°，再根据△MEN中有一个角是另一个角的3倍可得 ∠EMN=30°或∠EMN=22.5°，根据角平分线的定义可得∠BOM=45°，再根据外角的性质可得∠MEO=∠BOM-∠EMN，再根据直角三角形的性质可得 ∠EFO=90°-∠FEO，即可求得. 8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形外角的概念及性质 【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°， ∴∠DBF+∠BAC=90°， ∵FD⊥AB， ∴∠BDF=90°， ∴∠DBF+∠BFD=90°， ∴∠BAC=∠BFD，故①正确； ∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I， ∴∠EFN=∠EAM， ∵∠FEN=∠AEM， ∴∠ENI=∠EMI，故②正确； ∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I， ∴∠MAD=∠MFI， ∵∠AMD=∠FMI， ∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确； ∵BI不是∠B的平分线， ∴∠ABI≠∠FBI，故④错误. 故答案为：C. 【分析】先根据∠ACB=90°可知∠DBF+∠BAC=90°，再由FD⊥AB可知∠BDF=90°，所以∠DBF+∠BFD=90°，通过等量代换即可得出∠BAC=∠BFD，故①正确； 根据∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I可知∠EFN=∠EAM，再由对顶角相等可知∠FEN=∠AEM，根据三角形外角的性质即可判断出∠ENI=∠EMI，故②正确； 由①知∠BAC=∠BFD，因为∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，故∠MAD=∠MFI，再根据∠AMD=∠FMI可知，∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确； 因为BI不是∠B的平分线，所以∠ABI≠∠FBI，故④错误. 9．在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作于点，有以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：①∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②正确； ③∵的度数不确定， ∴根据已知条件无法证明平分，故③不正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的个数是3个， 故答案为：C． 【分析】①根据三角形内角和定理得，由角平分线定义得，再利用三角形内角和定理得；②由平行线的性质得，结合角平分线性质得；③根据已知条件无法判断；④先推出，结合三角形外角的性质以及角平分线定义得. 10．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……以此类推得到，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD， 又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1， ∴∠A1＝∠A， ∵∠A＝α， ∴∠A1＝； 同理可得∠A2＝∠A1＝•α＝， 同理可得∠A3＝∠A2＝•＝， …… ∴∠An＝， ∴∠A2022＝． 故答案为：B． 【分析】根据角平分线的定义及三角形外角的性质分别求出∠A1＝，∠A2＝∠A1＝，∠A3＝∠A2=···，从而得出∠An＝，继而得解. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有　 　种． 【答案】5 【知识点】三角形三边关系 【解析】【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥， ∴≤c<， ∴c=5或6， 当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ； ②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ； ∴满足条件的三角形的个数为5. 故答案为：5. 【分析】在三角形的三边中，除等边三角形三边相等外，必有一边是最长边；先确定最长边的取值范围，然后分类讨论，结合三角形的三边关系，即可解答. 12．△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝　 　. 【答案】175 【知识点】解一元一次不等式组；三角形内角和定理 【解析】【解答】解：∵2∠B＝5∠A，即∠B＝ ∠A， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A， 又∵∠A≤∠C≤∠B， ∴∠A≤180°﹣ ∠A， 解得∠A≤40°； 又∵180°﹣ ∠A≤ ∠A， 解得∠A≥30°， ∴30°≤∠A≤40°， 即30°≤ ∠B≤40°， ∴75°≤∠B≤100° ∴m+n＝175. 故答案为：175. 【分析】由2∠B＝5∠A，得∠B＝ ∠A，根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A；根据题意有∠A≤∠C≤∠B，则∠A≤180°﹣ ∠A，和180°﹣ ∠A≤ ∠A，解两个不等式得30°≤∠A≤40°，而∠A＝ ∠B，得到∠B的范围，从而确定m，n. 13．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．若△ABC的面积S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝　 　． 【答案】2 【知识点】三角形的角平分线、中线和高 【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点， ∴AD＝ AC， ∵S△ABC＝12， ∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6． ∵EC＝2BE，S△ABC＝12， ∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4， ∵S△ABD﹣S△ABE＝（S△ADF+S△ABF）﹣（S△ABF+S△BEF）＝S△ADF﹣S△BEF， 即S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE＝6﹣4＝2． 故答案为：2． 【分析】本题需先分别求出S△ABD，S△ABE再根据S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE即可求出结果． 14．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②∠BEF= （∠BAF+∠C）； ③∠FGD=∠ABE+∠C；④∠F= （∠BAC﹣∠C）；其中正确的是　 　． 【答案】①②③④ 【知识点】三角形的角平分线、中线和高 【解析】【解答】解：①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F=90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE=90°， ∵∠FGD=∠BGH， ∴∠DBE=∠F， 故①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∠BEF=∠CBE+∠C， ∴2∠BEF=∠ABC+2∠C， ∠BAF=∠ABC+∠C， ∴2∠BEF=∠BAF+∠C， ∴∠BEF= (∠BAF+∠C)， 故②正确； ③∵∠AEB=∠EBC+∠C， ∵∠ABE=∠EBC， ∴∠AEB=∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD=90 -∠DFH，∠AEB=90 -∠DFH， ∴∠FGD=∠AEB ∴∠FGD=∠ABE+∠C. 故③正确； ④∠ABD=90°-∠BAC， ∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC， ∵∠CBD=90°-∠C， ∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE， 由①得，∠DBE=∠F， ∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE， ∴∠F= (∠BAC-∠C)； 故④正确， 故答案为：①②③④. 【分析】根据三角形的高以及角平分线的性质分别进行判断，选择合适的答案。 15．如图1，六分仪是一种测量天体高度的航海仪器，观测者手持六分仪，可得出观测点的地理坐标． 在图2所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线自动与刻度线保持平行（即），并与A处的镜面所在直线相交于点C，所在直线与水平线相交于点D，，观测角=　 　（用表示）． 小贴士： 如图3，光线经过镜面反射时，反射角等于入射角，所以图2中， 【答案】2 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质 【解析】【解答】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【分析】先利用平行线的性质证得，再利用已知条件得到，然后根据三角形外角的性质得出，最后根据三角形内角和定理求解． 三、解答题：本大题共8小题，共75分 16．如图，线段与相交于，点、分别是延长线、延长线上一点.线段在内部，线段在内部．四边形始终为凸四边形，且有，，、均为正数． （1）若，，，，如图1，求度数； （2）若，，，如图2，则当变化时，为何值时，为与、无关的定值？ （3）若为定值，如图3，则和满足关系式______时，为与、无关的定值. 【答案】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴当，即时，为与、无关的定值． （3） 【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质 【解析】【解答】（3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴当，即时，为定值． 故答案为：． 【分析】（1）先利用角的运算及等量代换求出，再结合，利用角的运算求出，最后求出即可； （2）先利用角的运算及等量代换求出，再求出，即可得到当，即时，为与、无关的定值，从而得证； （3）先利用角的运算及等量代换求出，再求出，即可得到当，即时，为定值，从而得解. （1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴当，即时，为与、无关的定值． （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴当，即时，为定值． 故答案为：． 17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，点F在AE上且CF∥AD． （1）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝80°，则∠CFE＝　 　度． （2）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＞∠B，∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝　 　（用含x，y的代数式表示）． （3）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠ACB为钝角，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？说明理由． 【答案】（1）25 （2） （3）解：（2）中的结论成立，理由： 在△ABC中，∠B＝x，∠ACB＝y， ∴∠BAC＝180°-∠B-∠ACB＝180°-x-y， ∵AD平分∠BAC， ∴ ， ∵∠ACB＝y， ∴∠ACE＝180°-∠ACB＝180°-y， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°-∠ACE＝90°-（180°-y）＝y-90°， ∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE ＝ ＝ 【知识点】三角形内角和定理 【解析】【解答】解：（1）根据题意，在三角形ABC中，∠B=30°，∠ACB=80°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=70°，因为AD平分∠BAC， 所以∠CAD=∠BAC=×70°=35°， 因为AE⊥BC，所以∠AEC=90°， 所以∠CAE=90°-∠ACB=90°-80°=10°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=25°， 因为CF∥AD，所以∠CFE=∠DAE=25°； （2）在三角形ABC中，∠B=x，∠ACB=y，所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-x-y， 因为AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAC=（180°-x-y）， 因为AE⊥BC，所以∠AEC=90°，所以∠CAE=90°-∠ACB=90°-y 所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=y-x； （3）（2）中的结论成立，理由： 在△ABC中，∠B＝x，∠ACB＝y， ∠BAC＝180°-∠B-∠ACB＝180°-x-y， 因为AD平分∠BAC， 所以∠CAD=∠BAC=（180°-x-y）， 因为∠ACB＝y， 所以∠ACE＝180°-∠ACB＝180°-y， 因为AE⊥BC， 所以∠AEC＝90°， 所以∠CAE＝90°-∠ACE＝90°-（180°-y）＝y-90°， 所以∠DAE＝∠CAD+∠CAE ＝ （180°-x-y）+（y-90°） ＝ 90°-x-y-90°=y-x， 因为CF∥AD，所以∠CFE=∠DAE=y-x； 【分析】（1）在三角形中结合内角和定理求出∠BAC的度数，继而根据角平分线的性质求出∠CAD，继而求出∠DAE，根据直线平行的性质得到∠CFE的度数即可； （2）同理，在三角形中结合内角和定理求出∠BAC的度数，继而根据角平分线的性质求出∠CAD，继而求出∠DAE，根据直线平行的性质得到∠CFE的度数即可； （3）类比（2）中的结论，求出∠CFE的度数。 18．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？(不需证明) （3）根据(2)的结论，求图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． 【答案】（1）解：以上结论不成立，∠BPD=∠B+∠D， 延长BP交CD于点E，∵AB∥CD， ∴∠B=∠BED， ∵∠BPD=∠BED+∠D， ∴∠BPD=∠B+∠D； （2）解：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D，连接QP并延长， ∵∠BPE为△BPQ的外角，∠DPE为△PDQ的外角， ∴∠BPE=∠B+∠BQE，∠DPE=∠D+∠DQP， ∴∠BPE+∠DPE=∠B+∠D+∠BQE+∠DQP， ∴∠BPD=∠BQD+∠B+∠D； （3）解：根据（2）的结论，∠AFG=∠B+∠E，∠AGF=∠C+∠D， ∵∠A+∠AFG+∠AGF=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°； 【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质 【解析】【分析】（1）延长BP交CD于点E，根据直线平行的性质求出∠B=∠BED，继而由三角形外角的性质求出答案； （2）连接QP并延长，根据三角形外角的性质得到∠BPE=∠B+∠BQE，∠DPE=∠D+∠DQP，证明结论即可； （3）根据（2）的结论，∠AFG=∠B+∠E，∠AGF=∠C+∠D，结合∠A+∠AFG+∠AGF=180°求出结论。 19．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高． （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°．求∠DAE的度数． （2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系． （3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变，说明理由． 【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD ∠BAC＝40°， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°； （2）解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD ∠BAC， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠C， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE ∠BAC﹣（90°﹣∠C） （180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C ∠C ∠B， 即∠DAE ∠C ∠B； （3）解：不变， 理由：连接BC交AD于F， 过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N， ∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高， ∴∠EAM （∠ACB﹣∠ABC）， 同理，∠ADN （∠BCD﹣∠CBD）， ∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°， ∴∠MAD＝∠ADN， ∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN （∠ACB﹣∠ABC） （∠BCD﹣∠CBD） （∠ACD﹣∠ABD）． 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）利用三角形内角和求出∠BAC＝80°， 由角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD ∠BAC＝40°， 再利用三角形内角和求出∠CAE＝30°，根据∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE即可求解； （2）根据三角形内角和可求出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∠CAE＝90°﹣∠C，由角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD ∠BAC， 利用∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE即可求解； （3）不变，理由：连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，由角平分线的定义及三角形的高∠EAM （∠ACB﹣∠ABC），∠ADN （∠BCD﹣∠CBD），易推出∠MAD＝∠ADN， 根据∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN即可求解. 20．如图，在中，与的平分线相交于点． （1）若，则的度数是　　； （2）如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； （3）如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【答案】（1）； （2）解：，之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）解：∵平分，平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： ①当时， 则， ∴， 此时， ②当时，则， ∴，则， 此时， ③当时，则， ∴， 此时， ④当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：（1）在中，=180°-60°=120°， ∵与的平分线相交于点， ∴，， ∴ ， ∴ 故答案为：； 【分析】（）先由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，再由角平分线定义得，，则，再由三角形内角和得； （）∠Q，之间的数量关系是，理由如下：由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得∠Q，之间的数量关系； （）先由角平分线的定义及平角定义求出，由直角三角形量锐角互余得，由（2）得结论得，然后分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可. （1）在中，， ∵与的平分线相交于点， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2），之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）∵平分，平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： 当时， 则， ∴， 此时， 当时，则， ∴，则， 此时， 当时，则， ∴， 此时， 当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 21． （1）【课本再现】如图1，在中，线经过点且．求证：； （2）【变式演练】如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数； （3）【方法应用】如图3，直线与直线相交于点，夹角的锐角为，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点重合）．当时，平分平分交直线于点，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图2中， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当点E在点O的上方时，如图3-1： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， 即． ②当点E在点O的下方时，如图3-2： 由题意知，，，， ∴， ∴ ， 综上所述，或． 【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可证； （2）根据三角形外角性质先求出∠FDC=75°，再根据平行线的性质即可得出答案； （3）分两种情况，①当点E在点O上方时，根据角平分线和三角形的外角性质可得出答案；②当点E在点O下方时，由三角形内角和定理可得∠OAE+∠OEA=110°，∠AGE=180°-（∠GAE+∠GEA），再根据三角形角平分线的性质即可求出答案. 22．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务： （1）填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是　 　； （2）探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； （3）应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 【答案】（1）三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°） （2）证明：连接 CD 并延长至 F， ∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角， ∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B， ∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B， 即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ； （3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C， ∵∠ADB=150°，∠AGB=110°， ∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°， ∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C， ∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线， ∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF， ∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF）， ∴150°-∠C=2（110°-∠ C）， 解得：∠C=70°． 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和求解即可； （2）连接 CD 并延长至 F，利用三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，再利用角的运算和等量代换可得 ∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ； （3）根据角平分线的定义可得∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，再利用角的运算和等量代换可得∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），再求出∠C=70°即可。 23．已知AB∥CD，点F、G分别在AB、CD上，且点E为射线FG上一点． （1）如图1：当点E在线段FG上时，连接AE、DE，易得． 小明给出的理由是：如图1，过E作EH∥AE， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EH．（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，，（依据1） ∴；（依据2） 填空：依据1：　 　． 依据2：　 　． （2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：； （3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且，，，求∠EKD的度数． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；等量代换 （2）证明：如图2，设CD与AE交于点H， ∵AB∥CD， ∴∠EAF=∠EHG， ∵∠EHG是△DEH的外角， ∴∠EHG=∠AED+∠EDG， ∴∠EAF=∠AED+∠EDG； （3）解：∵AI平分∠BAE， ∴可设∠EAI=∠BAI=α，则∠BAE=2α， ∵AB∥CD， ∴∠CHE=∠BAE=2α， ∵∠AED=20°，∠I=30°，∠DKE=∠AKI， ∴∠EDI=α+30°-20°=α+10°， 又∵∠EDI：∠CDI=2：1， ∴∠CDI=∠EDK=α+5°， ∵∠CHE是△DEH的外角， ∴∠CHE=∠EDH+∠DEK， 即2α=α+5°+α+10°+20°， 解得α=70°， ∴∠EDK=70°+10°=80°， ∴△DEK中，∠EKD=180°-80°-20°=80°． 【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：(1)理由：如图1，过E作EH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EH，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴∠EAF=∠AEH，∠EDG=∠DEH，（两直线平行，内错角相等） ∴∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换； 【分析】（1）过E作EH∥AB，可得AB∥CD∥EH，利用两直线平行，内错角相等，可得∠EAF=∠AEH，∠EDG=∠DEH，再根据等量代换即得结论； （2） 设CD与AE交于点H，由平行线的性质可得∠EAF=∠EHG， 利用三角形外角的性质可得 ∠EHG=∠AED+∠EDG， 从而得出∠EAF=∠AED+∠EDG； （3）由角平分线的定义可设∠EAI=∠BAI=α，则∠BAE=2α， 利用平行线的性质可得∠CHE=∠BAE=2α， 继而得出∠EDI=α+10°，由∠EDI：∠CDI=2：1，可得∠CDI=∠EDK=α+5°， 利用三角形外角的性质可得∠CHE=∠EDH+∠DEK，据此建立关于α的方程，可求出α=70°，从而求出∠EDK=80°， 在△DEK中，利用三角形内角和即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$