21.3实际问题与一元二次方程（面积问题、销售问题、获利率问题）知识点梳理+专题训练+巩固练习+总结优化+历年真题训练2025－2026学年人教版九年级上册数学

学生姓名 年级 初三 学科 数学 课题 实际问题与一元二次方程（面积问题、销售问题、获利率问题） 教学目标 1、能分析具体问题中的数量关系，会列一元二次方程解决实际问题. 2、理解并掌握一元二次方程面积问题、销售传播问题以及获利率问 等数学模型. 3、通过对实际问题的分析，建立等量关系，建立方程模型并解决问题，认 识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤. 4、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题，解决问题 的能力. Part01.实际问题——面积问题 知识精讲： 一元二次方程图形面积问题 一、矩形面积公式 = 长×宽 可用公式法、割补法、拼接法、求差法求取面积 二、列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审、设、列、解、答” （1）“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系，这一步是解决问题的基础； （2）“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要，恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易； （3）“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程. 找出相等关系列方程是解决问题的关键； （4）“解”就是求出所列方程的解； （5）“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等，因此，解出方程的根后，一定要进行检验 . 问题定位 例1 题类: 一元二次方程图形面积问题 如图1，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验由，假设试验由面积为570m²，求道路宽为多少？设宽为x cm，从图2的思考方式出发列出的方程是 . 例2 题类: 一元二次方程图形面积问题 春兰小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，设绿地的宽为x，根据题意，可列方程为（ ） A. x (x - 10) = 900 B. 10 (x + 10) = 900 C. x (x + 10) = 900 D. 2〔x+( x+ 10)〕= 900 例3 题类: 一元二次方程图形面积问题 如图，在长为20cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个相等大小的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积为原矩形面积的80%，求所截去小止方形的边长为多少？ 例4 题类: 一元二次方程图形面积问题 如图，小明家院子有一面墙（墙长度不超过45m），小明想用80m长的篱笆围出一个矩形花园场地。 （1）若小明想要围成一个面积为750m²的花园，则AB需要多长？ （2）能否使所围矩形场地的面积为810m²，为什么？ 例5 题类：一元二次方程图形面积问题 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m²的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆），求这个茶园的长和宽各为多少？ 巩固练习 【变式1】如图，要在长100米，宽90米的矩形绿地上，修建三条宽度相同的道路，剩下6块绿地面积共8448平方米，求道路宽为多少？ 【变式2】共青团县委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图所示），若设彩纸的宽度为x cm，则列方程整理成一般形式为 . 【变式3】 如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ Part02.实际问题——销售问题 知识精讲： 销售问题 1.利润=售价-进价（或成本）； 2.利润=利润率×进价； 3.利润率= ×100% 问题定位 例1 题类：一元二次方程涨降价销售问题 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，台灯的售价是多少？若设每个台灯涨价元，则可列方程为（ ） A. ( 40 + x - 30 )( 600 - 10x ) = 10000 B. ( 40 + x - 30 )( 600 + 10x ) = 10000 B. ( x - 30 )〔600 - 10( x - 40 )〕=10000 D.( x - 30 )〔600 + 10( x - 40 )〕=10000 例2 题类：一元二次方程病毒传播问题 某商店销售某种商品，每日平均可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加商店盈利，该店采取了降价优惠，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 例3 题类：一元二次方程涨降价销售问题 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利500元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价10元，商场每天可多售出2件，设每件商品降价x元（x是10的整数倍），据此信息，请回答： （1）商场日销量增加 件，每件商品盈利 元；（用含x的代数式表示） （2）在上述条件不变且销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到21000元？ 例4 题类：一元二次方程涨降价销售问题 端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0<m<1)元 （1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出 只粽子，利润为 元； （2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 巩固练习 【变式1】零件商经销一批新的零件，每个零件进价为70元，原本每个售价80元，每天可售出500个。在贸易节时，商家希望把握商机，将盈利提高到每天6000元，经市场调查发现，进货价不变的情况下，若每个零件上涨价1元，日销量将减少20个。那么要保证每天6000元盈利，同时使顾客得到实惠，每个零件应涨价多少？ 【变式2】水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【变式3】某服装店专营一批进价为每件200元的品牌衬衫，每件售价为300元，每天可售出40件，若每件降价10元，则每天多售出10件，请根据以上信息解答下列问题： (1)为了使销售该品牌衬衫每天获利4500元，并且让利于顾客，每件售价应为多少元？ (2)该服装店将该品牌的衬衫销售完，在补货时厂家只剩100件库存，经协商每件降价a元，全部拿回，按（1)中的价格售出80件后，剩余的按八折销售，售完这100件衬衫获利50%，求a的值. Part03.实际问题——获利率问题 知识精讲： 利率公式 利息=本金×利率×时间 问题定位 例1 题类：一元二次方程复利率问题 某企业2023年初投资100万元生产适销对路的产品，2023年底，将获得的利润与年初的投资和作为2024年初的投资．2024年底，两年共获利56万元，已知2024年的年获利率比2023年的年获利率多10个百分点，求2023和2024年的年获利率各是多少？ 例2 题类：一元二次方程复利率问题 小华用2500元购买了一份债券，定期一年，到期小华兑换后，又连本带利购买了定期一年（利率不变）的债券，再到期后他兑换得到3025元，求这种债券的年利率为多少？ 巩固练习 【变式1】小王存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为多少？ 【变式2】小明同学将1000元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率．（假设不计利息税） 总结优化 1 题类：一元二次方程判别式与三角形的综合 如图，小明想要制作一个长方形画框（图中阴影部分），他从一块长80厘米，宽60厘米的长方形纸板中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，如果剩下的长方框的面积是原来纸板面积的一半，若设这个长方形画框的宽度为x厘米，则下列方程正确的是（ ） A. ( 60 - 2x )(80 - 2x ) = 60 × 80 B. ( 60 - x )(80 - x ) = × 60 × 80 C. ( 60 - 2x )(80 - 2x ) = 60 × 80 D. ( 60 - 2x )(80 - 2x )= × 60 × 80 2 题类：一元二次方程涨降价销售问题 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 3 题类：不等式实际应用销售问题；一元二次方程涨降价销售问题 某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元． （1）求4月份售出B型小家电至少多少台？ （2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？ 4 题类：一元二次方程图形面积问题 一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，则横、竖彩条的宽度为多少？ 5 题类：一元二次方程面积问题 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围城中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门. （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 （2）若此时花圃的面积刚好为45m²，求此时花圃的长与宽. 历年真题训练 真题1 题类：一元二次方程面积问题 （2024年番禺区九上期末卷）在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是2816cm²，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ）. A.( 60 + x )(40 + 2x ) = 2816 B.( 60 +2 x )(40 + x ) = 2816 C.( 60 + 2x )(40 + 2x ) = 2816 D.( 60 + x )(40 + x ) = 2816 真题2 题类： 一元二次方程面积问题 （2024年荔湾西关外国语九上期中卷）如图，用20米长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），设矩形的一边AB长度为x米. （1）矩形的边BC= 米（含x的代数式表示） （2）怎样围成一个面积为50平方米的矩形菜园 真题3 题类：一元二次方程面积问题 （2024年花都区九上期末卷）某校在开展综合实践活动中取得了丰硕成果.为了进一步推广宣传，学校在一块长方形场地ABCD布展，AB=8米，AD=12米.为了让展览效果更好，现将长方形场地ABCD划分为六个展区，展示六个小组的项目成果，在各展区之间留同样宽的长方形通道.如果六个展区的总面积为70平方米，求通道的宽度。 真题4 题类：一元二次方程涨降价销售问题 （2024年越秀区九上期末卷）某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件39元 （1）若降价2元，每星期可以卖出多少件该商品？ （2）若要每星期获利6480元，应该涨价多少元？ 真题5 题类：一元二次方程涨降价销售问题 （2024年番禺区九上期末卷）某商场在实际销售中发现，一品牌运动衫平均每天可售出20件，每件盈利40元，若每件降价1元，则每天可多售出2件， （1）要想尽量扩大销售量且平均每天销售盈利1200元，问每件运动衫应降价 多少元？ 真题6 题类：一元二次方程涨降价销售问题 （2024年海珠区九上期末卷）据统计某水果电商平台1月份的销售额是200万元，3月份的销售额是288万元。 （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宜传，商家决定降价促销，已知该水果的成本价为12元/千克，若例该水果想获利4000元，则售价应降低多少元？ 答案： 实际问题——面积问题 问题定位 1.(32 - 2x)(20 - x) = 570 2.B 3.解：设小正方形的边长为x cm. 20×8 - 4x² = 20×8×80% 4x²= 32 解得： = =﹣2 （舍） 答：所截去的小正方形的边长为 厘米。 4.（1） 解：设AB长为x cm. ∙ x = 750 x²- 80 +1500 = 0 (x - 30)(x - 50) = 0 解得： == 50 ∵墙长不超过45cm ∴ AB = 30 cm 答：AB需要 30厘米。 （2） ∙ x = 810 x² - 80 x -1620 = 0 ∵ a = 1 ，b = -80 ，c = -1620 △ = b² - 4ac = - 80 < 0 ∴ 此方程无解 答：不能使所围矩形场地的面积为810m²。 5. 解：设BC长为x m，则AB = CD = m x ∙ = 600 x² - 70x +1200 = 0 ( x - 40 )( x - 30 ) = 0 解得： == 30 ∵ 40 > 35 ∴ x = 30 答：这个茶园的长为30米，宽为20米。 巩固练习 【变式1】解：设道路宽为x米 (100 - 2x)(90 - x) = 8448 2x²+ 280x - 552 = 0 (x + 138)(x - 2) = 0 解得： == - 138（舍） 答：道路宽为2米 【变式2】 x²+ 25x - 150 = 0 【变式3】 解：设BC = x 米，则 AB = 米 · x = 300 x² - 62x + 600 = 0 (x - 12)(x - 50) = 0 解得： == 50 ∵ 28 > 50 ∴ x = 12 · x = 480 x² - 62x + 960 = 0 (x - 32)(x - 30) = 0 解得： == 30 ∵ 28 < 30<32 ∴ 不符合题意 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米。不能围成480平方米的矩形花园。 实际问题——面积问题 问题定位 1. A 2. 解：（1）26 （2）解：设每件商品降价x元。 ( 40 - x )( 20 + 2x) = 1200 x² - 30x + 200 = 0 ( x - 20 )( x - 20 ) = 0 解得： == 20 ∵ 40-20 =20 < 25 ∴ x = 10 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元 3. （1） x ； 500 - x （2） 解：设每件商品降价x元。 ( 500 - x )( 30 + x ) = 21000 x² - 350x + 3000 = 0 ( x - 200 ) ( x - 150 ) = 0 解得： == 150 ∵ 为了尽快减少库存 ∴ x = 200 答：每件商品降价200元时，商场日盈利可达到21000元 4. （1）300 +1000m；( 1 - m )( 300 +1000m ) （2） 解：( 1 - m )( 300 +1000m ) = 420 100m² -70m + 12 =0 解得： == 0.3 ∵ 为了卖出的粽子更多 ∴ m = 0.4 答：当m定为0.4元时，才能使该店每天获取的利润是420元。 巩固练习 【变式1】解：设每个零件应涨价x元 ( 80 - 70 + x )( 500 - 20x ) = 6000 x² - 15x + 50 = 0 解得： == 10 ∵ 为了使顾客得到实惠 ∴ x = 10 答：每个零件涨价10元 【变式2】 （1）100 + 200x （2）解：设每个零件应降价x元 ( 4 - 2 + x )( 100 + 200x ) = 300 2x²- 3x + 1 = 0 解得： == 1 ∵ 100 + 200 × = 200 < 260 ∴ x = 1 答：张阿姨需将每斤的售价降低1元。 【变式3】 解：（1）设每个零件应降价x元 ( 300 - 200 - x )( 40 + ×10 ) = 4500 x²- 60x + 500 = 0 解得： == 10 ∵ 为了让利与顾客 ∴ x = 50 300 - 50 = 250（元） 答：每件售价应为 250元。 （2） ( 250 - a )× 80+ 250×0.8×20 = ( 250 - a )× (1 + 50%) 解得： a = 40 答：a值为40元。 实际问题——获利率问题 问题定位 1. 解：设2023年的年获利率为x 100 x +100( 1+x )( x + 10% ) = 56 解得： == - （舍） ∴ 0.1+ 0.2 =0.3 =30% 答：前年和去年的年获利率各是20%和30%。 2. 解：设这种债券的年利率为x 2500( 1+x )²= 3025 解得： == - 2.1（舍） 答：这种债券的年利率为10%。 巩固练习 【变式1】 解：设年获利率为x 〔5000(1+x) - 3000〕×( 1+x ) = 2750 解得： == - （舍） 答：年利率为10% 【变式2】 解：设第一次存款时的年获利率为x 〔1000(1+x) - 500〕×( 1+ 0.9x ) = 530 90x²+ 145x - 3 = 0 解得： = - 1.63（舍） 答：第一次存款时的年利率为2.04%。 总结优化 1. D 2. 解：设每件应降价x元 ( 44 - x )( 20 + 5x ) = 1600 x²- 40x + 144 = 0 解得： == 36 ∵ 每件降价幅度不超过10元 ∴ x = 4 答：每件衣服降低4元。 3. 解：（1）设4月售出B型小家电至少x台 ( 50 - 40 )× 40 + ( 40 -32 )x ≥ 800 x ≥ 50 答：4月售出B型小家电至少50台 （2） 设这两种小家电都应降价y元 ( 50 - 40 - y )× ( 40 + 10y )+ ( 40 -32 - y )( 50 + 15y ) = 965 5y² - 26y + 33 = 0 解得： == ∵ 为了尽可能让消费者获得实惠 ∴ y = 3 答：这两种小家电都应降价3元 4. 解：由题意得：设横彩条的宽度为3x，竖彩条的宽度为2x ( 20 - 2 ×2 x )( 12 - 3x ) = 20×12×（1- ） x²- 9x + 8 = 0 解得： == 8 ∵ 3x<12 ∴ x< 4 ∴ x= 1 ∴ 2x= 2，3x= 3 答：横彩条的宽度为3厘米，竖彩条的宽度为2厘米。 5. 解：（1）AD=22 + 2 - 3x = 24 -3x （2）（24 - 3x）∙ x = 45 x²- 8x + 15 = 0 解得： == 5 ∵ 24 - 3x ≤ 14 x ≥ ∴ x= 5 24 - 3 × 5 = 9（m） 答：花圃长为9米，宽为5米。 真题训练： 真题1：C 真题2：（1）20 - 2x （2）解：（20 - 2x）∙ x = 50 （x - 5）² = 0 解得： x = 5 20 - 2 ×5 = 10（m） 答：长为10米和宽为5米可围成50平方米的菜园 真题3：解：设通道的宽度为x米 ( 12 - 2x )( 8 - x ) = 70 x²- 14x + 13 = 0 解得： == 13 ∵ 13>12 ∴ x = 1 答：通道的宽度为1米 真题4：解：（1）300 + 2×20 = 340（件） 答：每星期可卖出340件 （2）设应该涨价x元 ( 60 - 39 + x )( 300 - 10x ) = 6480 x²- 11x + 18 = 0 解得： == 2 答：应该涨价9元或者2元 真题5：解：设每件运动衫应降价x元 ( 40 - x )( 20 + 2x ) = 1200 x²- 30x + 200 = 0 解得： == 10 ∵ 要尽量扩大销售量 ∴ x = 20 答：每件运动衫应降价20元 真题6：解：（1）设月平均增长率为x 200（1 + x）²= 288 解得： == -2.2（舍） 答：月平均增长率为20% （2） 设售价应降低y元 ( 24-12 - y )( 300 + ×100 ) = 4000 5y² - 30y + 40 = 0 解得： == 答：售价应降低4元或者是2元。 学科网（北京）股份有限公司 $$