第7讲 指对幂函数讲义-2026届高三数学一轮复习

第07讲 指对幂函数 知识讲解 【知识点1 幂函数】 （1） 幂函数：形如的函数称为幂函数。 （2） 幂函数图象 （3）幂函数的单调性： （4）二次函数 ①一般式：()，对称轴是 ②顶点式：()，对称轴是顶点是； ③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 题型一：幂函数 1．（2025山西）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（    ）   A． B． C． D． 2．（23-24高三）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A．B．C． D． 3．（23-24高三）（多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（2025·全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 5．（2025·广东广州·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·福建三模）若 ，则（   ） A． B． C． D． 7．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·全国·模拟）已知x，，满足，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 9．（2024·全国一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24河南）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 11．（2025·全国·高考）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·四川二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·辽宁一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24福建）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ． 15．（2024·北京一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（2024·北京一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·新疆二模）已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·四川）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．是偶函数 19．（23-24广东）已知实数满足，则（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 20．（2022全国）不等式的解集为： ． 【知识点2 指数函数】 1、指数的基本性质 ①零指数幂:;②负整数指数幂: ③正分数指数幂:; 2、指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 （1） 3、指数函数：函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数。 3、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 4、底数a对指数函数图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”； （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 1．（2025·全国）（    ） A． B． C． D．3 2．（2024·广东）若，则 ． 3．（2024·上海二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 4．（2025·四川一模）计算: . 5．（23-24河北衡水多选）已知，则函数的图象可能是（    ） A．  B．    C．     D．     6．（2024·甘肃）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 7．（22-23四川）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 8．（23-24山西）（多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．  B．    C．   D．   9．（2024·宁夏三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 10．（2024·全国）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·江西）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·福建）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·吉林）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 14．（2024·陕西）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高三）已知函数，则的单调递增区间为 ，值域为 ． 16．（2024·四川二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·山东）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·云南二模）若，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·天津一模）已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 20．（2024·宁夏三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·四川）设，，，则（    ） A． B． C． D． 22．（2024·辽宁·一模）设则（   ） A． B． C． D． 23．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·浙江三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 25．（2024·贵州三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D．0 26．（2024·北京三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·四川）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 28．（23-24河南）若，则（    ） A． B． C． D． 29．（2024·辽宁）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 30．（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ． 【知识点3 对数函数】 1、对数的定义：如果，那么可以记作 2、两种特殊的对数函数 （1）常用对数函数：；（2）自然对数函数：． 3、对数的性质与运算法则 ①两个基本对数：； ②对数恒等式：； ③换底公式：； 对数的倒数式 ④积的对数：； ⑤商的对数： ⑥幂的对数：； ； 4、对数函数：形如的函数叫做对数函数 对数函数的图象：定义域：；值域：；过定点。 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 5、底数a对函数图象的影响 （1）当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； （2）函数与（，且）的图象关于轴对称； （3）无论还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 6、对数型糖水不等式 设 , 且 , 则有 1．（2024·青海）若，，则（    ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 2．（2024·四川）若实数，，满足且，则（    ） A． B．12 C． D． 3．（2024·河南三模）已知，则的值为 ． 4．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 5．（2024·辽宁一模）若，，，则（    ） A． B． C． D．1 6．（2024·河南·三模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·青海二模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（2024全国）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（　　） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 9．（2024·广东二模）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 10．（2024·陕西二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 11．（2024·全国）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为 . 【12】（2024·安徽）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【13】（2024·湖南二模）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【14】（2024·陕西）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【15】（2024·宁夏三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【16】（2024·山东三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 17.（2024·全国）设，，，则（    ）． A． B． C． D． 18．（2024·四川）设，，，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·云南）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·山东二模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·内蒙古二模）设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·福建三模）若 ，则（   ） A． B． C． D． 23．（2024·天津二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·陕西三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·宁夏一模）设a，b为实数，则是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．（2024·江苏）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24青海）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 ． 29．（22-23河北）已知函数的值域为，那么的取值范围是 . 30．（2024全国）已知函数，则函数的值域为 ． 31．（23-24安徽）若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 32．（2024·江苏）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 33．（22-23江西）已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 34．（2024·宁夏二模）若是奇函数，则 ． 35．（2021·天津）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·全国）若，，，则（    ） A． B． C． D． 37．（2022·全国）已知，则（    ） A． B． C． D． 38．（2024·贵州三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 39．（2024·天津三模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 40．（2024·四川）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（　　） A．1 B． C． D． 41．（2024·四川三模）函数的图象过原点，且，若，则 . 42．（2024·广西）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 43．（2024·湖北）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 44．（2024·陕西）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 指对幂函数 知识讲解 【知识点1 幂函数】 （1） 幂函数：形如的函数称为幂函数。 （2） 幂函数图象 （3）幂函数的单调性： （4）二次函数 ①一般式：()，对称轴是 ②顶点式：()，对称轴是顶点是； ③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 题型一：幂函数 1．（2025山西）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（    ）   A． B． C． D． 因为函数为增函数，所以， 所以作直线分别与曲线相交，交点由上到下分别对应的n值为， 由图可知，曲线相应n值为.故选：A   2．（23-24高三）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A．B．C． D． 【详解】对于A，二次函数开口向下，所以，此时与图中符合； 对于B，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，不符合； 对于C，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 对于D，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合；故选：B. 3．（23-24高三）（多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【详解】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误；当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则，所以，C选项错误； 因为当时，指数越大，图象越高，所以，综上，，AB选项正确.故选：AB 4．（2025·全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 【详解】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增，故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数.故选：B 5．（2025·广东广州·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，，，则，，又，，则，即，所以．故选：D． 6．（2024·福建三模）若 ，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，由于在上单调递增，故；而在上单调递减，故，故，A 7．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，且， 在上递增，所以，即，综上：故选：A 8．（2025·全国·模拟）已知x，，满足，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【详解】解：令，，则，∴为奇函数． ∵，∴．又∵， ∴，∴，． 又∵在R上单调递增，∴，即．故选：B． 9．（2024·全国一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 不等式，即，当时，不等式解集为，即，不等式，解得或，即或，所以.故选：A 10．（23-24河南）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【详解】，当时，不等式显然不成立； 当时，，所以原不等式， 解得.综上，原不等式的解集为.故选：C 11．（2025·全国·高考）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.D 12．（2024·四川二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，令，所以；令函数的值域为，因为，所以，所以必须能取到上的所有值，，解得.故选：B 13．（2024·辽宁一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 设，，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4.故选： 14．（23-24福建）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ． 【详解】当时，若，可得；若，，函数的值域不可能为； ②当时，，所以函数在 ，上单调递增，若函数的值域为，只需，可得．由上知，实数a的取值范围为．故答案为： 15．（2024·北京一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】对于函数；当时，，为常数函数，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件.故选：A. 16．（2024·北京一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，故当时，有最小值为； 时，单调递减，所以，由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为.故选：A 17．（2024·新疆二模）已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递增，且，则时，单调递增，若有，则有，解得，A. 18．（2025·四川）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【详解】函数为幂函数，则，解得或.当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A；当时，在区间上单调递减，满足题意.函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B； 因为函数定义域关于原点对称，且，所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C. 19．（23-24广东）已知实数满足，则（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【详解】，，且， 令函数，因为其定义域为，且，且在上均单调递增，则为单调递增的奇函数，且，，即， 显然.故选：A. 20．（2022全国）不等式的解集为： ． 【详解】不等式变形为，所以， 令，则有，因为函数在R上单调递增，所以在R上单调递增，则，解得，故不等式的解集为． 【知识点2 指数函数】 1、指数的基本性质 ①零指数幂:;②负整数指数幂: ③正分数指数幂:; 2、指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 （1） 3、指数函数：函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数。 3、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 4、底数a对指数函数图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”； （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 1．（2025·全国）（    ） A． B． C． D．3 ．故选：A． 2．（2024·广东）若，则 ． 【详解】当时，，当时，.故答案为： 3．（2024·上海二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 【详解】；故答案为： 4．（2025·四川一模）计算: . 【详解】由题意可得： ，即. 5．（23-24河北衡水多选）已知，则函数的图象可能是（    ） A．  B．    C．     D．     【详解】由于当时，，排除B，C，当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.故选：AD. 6．（2024·甘肃）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【详解】令，则，显然，所以，构造函数与函数，则方程的根，可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点， 设为，所以，，所以也是函数的零点，说明，即. 故选:A. 7．（22-23四川）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【详解】因为，，所以，为了得到函数的图象，只需将指数函数的图象向右平移个单位，故选：D. 8．（23-24山西）（多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．  B．    C．   D．   【详解】当时，对应的图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C.故选：AC. 9．（2024·宁夏三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【详解】，函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；因为，所以，则， 所以函数的值域为，故B正确；，， 所以函数关于点对称，故C错误，D正确.故选：C. 10．（2024·全国）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，，则，所以为奇函数． 又，则的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的， 所以图象的对称中心为，所以． 因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，则在上单调递增，因为， 所以，所以，解得， 故满足的的取值范围为．故选：B 11．（2024·江西）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，由复合函数的单调性可知：的单调递减区间为函数的单调递减区间，又函数，即函数为偶函数，结合图象，如图所示，可知函数的单调递减区间为和，即的单调递减区间为和．故选：C． 12．（2024·福建）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，所以在区间单调递减，所以，解得．故选：D． 13．（2024·吉林）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【详解】，函数，，则，又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.故选：ABD 14．（2024·陕西）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】，易知在单调递减，在单调递减，且在处连续，故在R上单调递减，由，则，解得,故不等式的解集为.故选：A 15．（23-24高三）已知函数，则的单调递增区间为 ，值域为 ． 【详解】令，解得或，∴的定义域为，令，则其在上递减，在上递增，又为减函数，故的增区间为． ∵，∴，故的值域为．故答案为：，. 16．（2024·四川二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，符合题意；当时，因为函数的值域为满足，由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零； 若时，依题意有的最小值，即，若时，不符合题意； 综上：，故选：B. 17．（2024·山东）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数在上单调递增，，令，而函数在上单调递增，则，所以函数的值域为.故选：D 18．（2024·云南二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以，因为，， 所以，所以.故选：D. 19．（2024·天津一模）已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，得到，又，函数是减函数，所以，又，得到，所以，故选：A. 20．（2024·宁夏三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，构造函数，则，当时，，所以在区间上单调递增，因此可得，即， 所以，又指数函数为单调递增，可得，即，因为，所以.故选：A. 21．（2024·四川）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为指数函数是单调减函数，所以，又由幂函数在上单调增函数，所以，又因为指数函数是单调增函数，所以， 综上可得：，故选：D. 22．（2024·辽宁·一模）设则（   ） A． B． C． D． 【详解】对于函数，，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，即. 所以，.由，得，所以，则，所以，即.所以.故选：B 23．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4.故选： 24．（2024·浙江三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【详解】因为函数为偶函数，所以，所以的图象关于对称， 令，则，可得函数的图象关于对称， 所以函数的图象关于对称，则函数的零点关于对称，但的零点个数为奇数个，则.选：D. 25．（2024·贵州三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【详解】因为函数是奇函数，所以， 解得，又，所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，因为，所以，故.故选：B 26．（2024·北京三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【详解】由指数函数的单调性可知在上单调递增，又，所以，故正确； 因为，，所以， 又，所以上式取不到等号，所以，故正确； ，，，，，故错误； ，，故正确.故选：C. 27．（2024·四川）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【详解】由题意得：为R上的增函数，且当时，，， 当时，，，方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称，则两点关于对称，中点在图象上，由，解得：.所以.故选：B 28．（23-24河南）若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，令，则， 所以在上单调递减，又，所以，即，所以，即，所以，又，又，所以，所以，所以．B． 29．（2024·辽宁）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 【详解】若命题任意“，”为假命题，则命题存在，为真命题， 因为时，，令，则，则在上单调递增，所以， 所以.故答案为：. 30．（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ． 【详解】当时，，即，当时，，即， 于是，在上，都成立，即为偶函数.由指数函数的单调性可知，在上单调递增，因此，不等式等价于，即，解得. 故m的最大值为. 【知识点3 对数函数】 1、对数的定义：如果，那么可以记作。 2、两种特殊的对数函数 （1）常用对数函数：；（2）自然对数函数：． 3、对数的性质与运算法则 ①两个基本对数：； ②对数恒等式：； ③换底公式：； 对数的倒数式 ④积的对数：； ⑤商的对数：； ⑥幂的对数：；； 4、对数函数：形如的函数叫做对数函数 对数函数的图象：定义域：；值域：；过定点。 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 5、底数a对函数图象的影响 （1）当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； （2）函数与（，且）的图象关于轴对称； （3）无论还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 3、对数型糖水不等式 设 , 且 , 则有 1．（2024·青海）若，，则（    ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【详解】由，所以故选：A 2．（2024·四川）若实数，，满足且，则（    ） A． B．12 C． D． 【详解】因为且，易知且，所以，，所以，， 所以，则.故选：D． 3．（2024·河南三模）已知，则的值为 ． 【详解】因为，所以，可得 ， 即，所以，即，所以. 4．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 【详解】由题，整理得， 或，又，所以，故 5．（2024·辽宁一模）若，，，则（    ） A． B． C． D．1 【详解】由，，，可得，所以，则.故选：B. 6．（2024·河南·三模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数有意义，等价于，解得，，故函数的定义域为.选A. 7．（2024·青海二模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵函数，∴，解得．故选：D． 8．（2024全国）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（　　） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A. 9．（2024·广东二模）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【详解】当时，，则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限.故选：D 10．（2024·陕西二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 【详解】令时，可得，可知函数，且的图象恒过定点，因为定点在直线上，可得，且， 则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：. 11．（2024·全国）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为 . 【详解】由题意得，函数，且的图象所过定点为，则， 所以，当且仅当，即时。16. 【12】（2024·安徽）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由于，. 故.故选：D. 【13】（2024·湖南二模）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【详解】由，得，则， 当时，，则，所以.故选：A 【14】（2024·陕西）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为在上单调递减，所以，即. 因为在上单调递增，又，， 又，所以，故，所以.故选：A. 【15】（2024·宁夏三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，构造函数，则，当时，，所以在区间上单调递增，因此可得，即， 所以，又指数函数为单调递增，可得，即， 因为，所以.故选：A. 【16】（2024·山东三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数在上单调递增，故， 又，所以.故选：A 17.（2024·全国）设，，，则（    ）． A． B． C． D． 【详解】因为，所以，又因为，所以，故．因为，所以．又因为，所以，故，综上，，故选：B． 18．（2024·四川）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为指数函数是单调减函数，所以，又由幂函数在上单调增函数，所以，又因为指数函数是单调增函数，所以，综上可得：，故选：D. 19．（2024·云南）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，所以在上单调递增；又有为上的偶函数，所以在上单调递减.由于我们有，即，故.而，，，故.故选：C. 20．（2024·山东二模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，又，则，且，即， 因为，所以，所以.故选：A 21．（2024·内蒙古二模）设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】，， ，因为，所以， 因为， ，所以，所以.故选：D. 22．（2024·福建三模）若 ，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，由于在上单调递增，故；而在上单调递减，故，故，故选：A 23．（2024·天津二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】，，而， 所以a，b，c的大小关系为.故选：C 24．（2024·陕西三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数在上单调递减，解得.故选：C. 25．（2024·宁夏一模）设a，b为实数，则是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】，而在R上单调递减，故，，而在上单调递增，故，故，故，但， 故是的必要不充分条件.故选：B 26．（2024·江苏）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，因为函数在区间上单调递减，且在定义域内递增，所以，解得，故选：B 27．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B. 28．（23-24青海）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 ． 【详解】设，则可看作由复合而成，由于在上单调递增，故要使得函数在区间上单调递减，需满足在区间上恒成立，且在区间上单调递减，故，解得， 故a的取值范围为， 29．（22-23河北）已知函数的值域为，那么的取值范围是 . 【详解】解：由题意在中，值域为当时，，∴解得：当时，则解得综上， 30．（2024全国）已知函数，则函数的值域为 ． 【详解】因为已知函数的定义域为且，定义域需满足，可得，令，则， 则，又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，当时，；当时，；可知函数的值域为. 31．（23-24安徽）若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 【详解】设，因为，所以恒成立，所以的定义域为且关于原点对称，又，所以是奇函数，因为在上有最大值，所以在上有最大值为，所以在上有最小值，所以在上有最小值．故选：A． 32．（2024·江苏）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，是奇函数，因奇函数的定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义， 即，解得此时为奇函数，则解得故.故选：C． 33．（22-23江西）已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 【详解】令，且， ，所以为奇函数，且在上连续，根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称，则，故.故答案为： 34．（2024·宁夏二模）若是奇函数，则 ． 【详解】因为是奇函数，定义域关于原点对称，由,可得，所以且，所以，解得，所以函数的定义域为，则，即，解得， 此时，符合题意，所以. 35．（2021·天津）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】，，，， ，，.故选：D. 36．（2024·全国）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，，，因为，则，所以，即；而，，所以，所以，即；综上：.A. 37．（2022·全国）已知，则（    ） A． B． C． D． 对数型糖水不等式，因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 . 所以 , 即 , 选 A. 38．（2024·贵州三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，且，则，， 所以，故选：A. 39．（2024·天津三模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，，，则, 故.故选：C. 40．（2024·四川）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（　　） A．1 B． C． D． 【详解】根据题意，函数满足，则，即是周期为的周期函数， 所以，，又由函数为定义在上的奇函数，则，， 当时，，则，则， 所以，故选：B． 41．（2024·四川三模）函数的图象过原点，且，若，则 . 【详解】由题意，所以，所以的定义域为，且，且，所以，因为，所以. 42．（2024·广西）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】，所以，即为偶函数， 对函数，，则， 因为，所以，，所以，故在上恒成立. 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增. 所以，所以，解得或．B 43．（2024·湖北）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】由知，∵，∴.知.故选：B. 44．（2024·陕西）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 【详解】因为，（且），所以函数（且）的图象恒过定点，所以，所以， ，，当且仅当，即等号成立，即的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$