第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元专题考点梳理 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 单元专题考点梳理 目录 考点1：一元二次不等式与充分、必要条件的综合应用 2 考点2： 一元二次不等式在集合中的应用 3 考点3：不等式中恒成立问题的求解 6 考点4：含参不等式的求解问题 10  求解含参一元二次不等式 10  已知不等式的解集，求参数（不等式）的解集 13 考法5：利用基本不等式求最值 14  配凑法 15  分离变量法 16  常数代换法 18  换元法 20 【强化训练】 24 考点1：一元二次不等式与充分、必要条件的综合应用 【例1.1.】 已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由或，则， 由是的充分不必要条件，则，且 可得，解得. 故选：C. 【例1.2.】 的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的充要条件是，故必要不充分条件是， 故选：D． 【例1.3.】 (多选)使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.   综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. 故选：ACD. 【例1.4.】 设不等式的解集p；（），若p是q的充分不必要条件，则求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】不等式的解集为p，则 因为p是q的充分不必要条件，所以且． 即是的真子集， 所以，解得：， ∴， 所以实数m的取值范围为. 考点2： 一元二次不等式在集合中的应用 【例2.1.】 设集合{是小于10的自然数}，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】,则； ，则. 则，则. 故选：C 【例2.2.】 已知，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为，易得，又， 故. 故选：A 【例2.3.】 (多选)全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AD 【详解】因为，所以， 所以，故正确； 因为，所以或，故错误； 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故错误； 因为，所以或， 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故正确. 故选：. 【例2.4.】 已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，， 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时， ，因为，所以， 故答案为: ． 【例2.5.】 已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意可得. 当时，， 则. （2）因为，所以. 当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，a的取值范围是或. 考点3：不等式中恒成立问题的求解 方法提炼 (1) 判别式法 对于含有参数的一元二次不等式问题,若能不等式转化成二次函数或二次方程,则通过根的判别式或数形结合思想,可使问题顺利解决，这里一定要注意对含参数的二次项系数进行分类讨论。 (2) 变更主元 在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 (3) 分离变量法 如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系,那么恒成立;恒成立。 (4) 利用基本不等式解决. 【例3.1.】 已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 故答案为： 【例3.2.】 设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 【例3.3.】 若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，， 由题意知，对任意，， 即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 即实数的取值范围为． 故答案为：． 【例3.4.】 已知，不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为时，不等式恒成立，即 恒成立，所以 . 令（其中为自变量）， 问题转化为在上恒大于0， 则 解得 故答案为：. 【例3.5.】 若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为正实数满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 因此的最小值为4， 又恒成立，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：. 【例3.6.】 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 故答案为： 【例3.7.】 已知，不等式横成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】不等式的解集为． 令， 由题意知， 从而或， 解得或． 故答案为：． 【例3.8.】 已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【详解】将不等式变形为，记，则问题转化为求的最大值问题． 中分子、分母同时除以正数，变形得， 令，则，整理得， 将方程看成关于的一元二次方程， 因为，所以方程一定有正实数解， 所以， 由，得，解得， 由，得， 由，得或， 所以， 所以的最大值为9，则，即的最小值为9． 故选：B 考点4：含参不等式的求解问题 · 求解含参一元二次不等式 方法提炼 在解答含有参数的一元二次不等式时,能分解因式的尽量分解因式,不能分解因式的,要对参数进行分类讨论。在对参数进行分类讨论时,为了做到“不重不漏”,一般从如下三个方面进行考虑: (1) 关于不等式类型的讨论:二次项系数; (2) 关于不等式对应的方程的根的讨论:两实根(),一实根(),无实根(); (3) 关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：. 【例4.1.】 （1）解下列关于x的不等式 （2）解关于x的不等式. 【详解】（1），即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. （2）原不等式可化为：. 若，则不等式的解为：. 若，则，所以或. 若，则. 当，即时，不等式解集为：； 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解集为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 【例4.2.】 （多选）已知关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（    ） A．解集可以是 B．解集可以是 C．解集可以是 D．解集可以是 【答案】BD 【详解】对于A，当时，，不等式成立，因此解集至少含有0，所以不等式的解集不可能为，故A错误； 对于B，当且时，不等式的解集为；当时，，不等式的解集也为，故B正确； 对于C，因为当时，，不等式成立，因此解集至少含有0，而解集不包含0，故C错误； 若该结论正确，显然，且，是一元二次方程的两个实数根， 由，解得，此时不等式为，即，解集为，故D正确. 故选：BD. 【例4.3.】 设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C · 已知不等式的解集，求参数（不等式）的解集 方法提炼 “已知解集求参数”问题的基本求解方法 若已知一元二次不等式的解集,则由一元二次不等式的解集可逆向推知它的系数所满足的条件,即相应的一元二次方程的根或根的判别式的情况或二次项系数的正负性,再利用根与系数的关系即可解决问题。 【例4.4.】 （多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】BD 【详解】对于A，因为关于的不等式的解集为， 所以和3是关于的方程的两根，且，故A错误； 对于B，由已知得和3是关于的方程的两根， 由韦达定理得，解得， 对于不等式，即化为，解得，故B正确； 对于C，可得，故C错误； 对于D，对于不等式，可化为， 而，则化为，解得，故D正确． 故选：BD 【例4.5.】 已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 【答案】或 【详解】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，解得或， 故答案为：或. 【例4.6.】 已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】 【详解】因的解集为， 则，且方程的两根为1和5， 则有，即， 则等价于， 化简得， 解得或 故不等式的解集为. 考法5：利用基本不等式求最值 利用基本不等式解题时一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件。 · 配凑法 方法提炼 (1) 凑系数：和为定值 如，当且仅当时等号成立. (2) 凑项：积为定值 如 【例5.1.】 已知，则的最大值为 . 【答案】(1) 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当， 即时，等号成立，故的最大值为． 【例5.2.】 （1）已知，求的最小值； （2） 已知，求的最大值． （3） 当时，求的最小值． 【答案】（1）9；（2）; (3). 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9． （2）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最大值为． (3)因为，所以，，当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为. · 分离变量法 方法提炼 求分式型函数的最值时，可以进行整式分离，分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. 如，的最值求解，设,转化为的最值模型. 【例5.3.】 (1)求的最小值； (2)求的最小值. (3)设，求的最小值. 【答案】(1)3； (2)10; (3). 【详解】（1） ∵， ∴（当且仅当，即时取等号） ∴的最小值为3； （2）令，则， ∴ 当且仅当即时取等号 ∴的最小值为10. （3）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 【例5.4.】 的最小值为 . 【答案】6 【详解】函数， 当且仅当，当且仅当时取等号. 【例5.5.】 的最大值为 ． 【答案】 【详解】； ∵，∴，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴ 所以的最大值为. · 常数代换法 方法提炼 当已知条件中有等量关系或者有关变量与常数的等量关系，我们在求不等式的解题过程中，常常将不等式乘“1”，除以“1”或将不等式中的某个常数等于“1”的式子代替. (1) 形如“已知(为常数),求 的最值”或“已知正数满足求的最值”问题可以先将转化为，再用基本不等式求最值. (2) 形如，可以通过同除，化为构造“1”的代换求解 (3) 对于形如，求型，则可以通过待定系数法凑配，再利用乘1法来求解。 【例5.6.】 若，且，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，， 所以的最小值为9. 【例5.7.】 若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 【例5.8.】 已知，，，则的最大值是 ． 【答案】2 【详解】令， 则， 而，当且仅当时等号成立． 所以，即，所以． 故答案为：2 【例5.9.】 若正数，满足，则的最小值为 ； 【答案】 【详解】方法一：由正数，满足，知， 又（当且仅当时等号成立），从而， 所以. 方法二：由，得，令， 则， 故， 当且仅当即时等号成立， 故的最小为 故答案为：. · 换元法 (1) 双变量换元法：①形如 可通过令，将式子转化成关于的式子求解；②对于可化为的式子，通过令，换元求解. (2) 换元消元法 对于，求的求解思路: ，当且仅当时取等号，解此不等式即可求得的最值. (3) 万能K法：形如， 一般情况下可以通过万能K法（求谁，谁就为K）转化求解. 【例5.10.】 若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，可得，利用均值不等式可求最小值. 【详解】因为， 令，则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故答案为：． 【例5.11.】 实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【例5.12.】 已知且，则的最小值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】由可得. 因为，所以. 令，则有. 因为， 所以 当且仅当时取等号，此时取最小值0. 故选：B. 【例5.13.】 已知，是正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法1：双变量换元法，设，，可得，再利用1的妙用可求最小值. 解法2：配凑法，可得，利用基本不等式可求最小值. 解法3：权方和不等式，可得，可求最小值. 【详解】解法1：设，， 则，所以 ． 因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 当且仅当，时取等号． 所以的最小值为． 解法2：因为，则， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以的最小值为． 解法3：， 当且仅当，即，，即，时取等号． 所以的最小值为． 【例5.14.】 已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】8 【详解】因为，所以， 所以，即， 解得（舍去）或, 当且仅当时取等号, 则的最小值为. 故答案为： 【例5.15.】 若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：由题意得，利用基本不等式得，进而解二次不等式即可求解； 解法2：令得代入得，由即可求解. 【详解】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 【例5.16.】 若，且满足，则的最小值为 ；的最小值为 ． 【答案】 6 3 【分析】利用基本不等式得，解不等式即得的最小值；令，结合题设条件，通过换元将问题转化为：由，，求的最小值，再利用基本不等式即可得解. 【详解】∵， ∴，即， 故，解得或， ∵， ∴，当且仅当时等号成立， 故的最小值为6． 令， 由，得， 即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为3． 故答案为：6；3. 【强化训练】 1. 已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 所以. 故选：A 2. （多选）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 【答案】ABD 【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 3. 关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】原不等式可化为， 若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数； 所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，， 令，解得． 故选：B． 4. 已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以 ， 当且仅当，即，时取得等号． 故选：B. 5. （多选）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 6. (多选)若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】BD 【详解】A错，当时，，， 解得，当且仅当时等号成立， 故有最大值，最大值为18. B对，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时，有最小值，最小值为. C错，当时，，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 此时无解； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时解得或，故ab有最小值. D对，当时，，， 则，当且仅当或时等号成立， 故有最小值，最小值为. 故选：BD. 7. 在时的最小值为 ，此时= ． 【答案】； 【详解】，∵，∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立， ∴函数的最小值为 8. 已知.①当时，的最小值为 ； ②当时，的最小值为 . 【答案】①16；② 【详解】①当时，， 即， 即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为16. ②当时，，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 9. 已知，，若，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】因，，则， ， 两边同乘得， 整理得， 又，，从而， 则， 当且仅当且，即时等号成立， 则有， 即，即， 又，解得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 10. 已知，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】， ， ， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时取最大值． 故答案为：. 11. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 12. 已知集合，． (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）当时，，则或， 而， 所以. （2）当时，， 由（1）知，由“”是“”成立的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集，则或，解得或， 所以正实数m的取值范围中. 13. 已知：，求： (1)的最小值； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）， ，当且仅当时等号成立， ， 或（舍去）， 则的最小值为4. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 即， ∴的取值范围是. 14. 设函数 (1)若，求的解集． (2)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (3)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2) (3)分类讨论，答案见解析. 【详解】（1）解：由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. （2）解：由对一切实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． （3）解：依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 15. 已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当，，且满足，求的最小值. 【答案】(1)；(2)8 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 可知1和是方程的两个实数根且， 方法一：可得，解得； 方法二：由1是的根，则，解得， 将代入得，解得或， 所以. （2）由（1）知，可得， 且，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为8. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 单元专题考点梳理 目录 考点1：一元二次不等式与充分、必要条件的综合应用 2 考点2： 一元二次不等式在集合中的应用 2 考点3：不等式中恒成立问题的求解 3 考点4：含参不等式的求解问题 4  求解含参一元二次不等式 4  已知不等式的解集，求参数（不等式）的解集 5 考法5：利用基本不等式求最值 6  配凑法 6  分离变量法 6  常数代换法 7  换元法 7 【强化训练】 9 考点1：一元二次不等式与充分、必要条件的综合应用 【例1.1.】 已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 (多选)使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 设不等式的解集p；（），若p是q的充分不必要条件，则求实数m的取值范围． 考点2： 一元二次不等式在集合中的应用 【例2.1.】 设集合{是小于10的自然数}，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D．或 【例2.3.】 (多选)全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 【例2.4.】 已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 【例2.5.】 已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 考点3：不等式中恒成立问题的求解 方法提炼 (1) 判别式法 对于含有参数的一元二次不等式问题,若能不等式转化成二次函数或二次方程,则通过根的判别式或数形结合思想,可使问题顺利解决，这里一定要注意对含参数的二次项系数进行分类讨论。 (2) 变更主元 在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 (3) 分离变量法 如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系,那么恒成立;恒成立。 (4) 利用基本不等式解决. 【例3.1.】 已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【例3.2.】 设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【例3.3.】 若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【例3.4.】 已知，不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【例3.5.】 若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【例3.6.】 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【例3.7.】 已知，不等式横成立，则实数的取值范围为 ． 【例3.8.】 已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 考点4：含参不等式的求解问题 · 求解含参一元二次不等式 方法提炼 在解答含有参数的一元二次不等式时,能分解因式的尽量分解因式,不能分解因式的,要对参数进行分类讨论。在对参数进行分类讨论时,为了做到“不重不漏”,一般从如下三个方面进行考虑: (1) 关于不等式类型的讨论:二次项系数; (2) 关于不等式对应的方程的根的讨论:两实根(),一实根(),无实根(); (3) 关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：. 【例4.1.】 （1）解下列关于x的不等式 （2）解关于x的不等式. 【例4.2.】 （多选）已知关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（    ） A．解集可以是 B．解集可以是 C．解集可以是 D．解集可以是 【例4.3.】 设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． · 已知不等式的解集，求参数（不等式）的解集 方法提炼 “已知解集求参数”问题的基本求解方法 若已知一元二次不等式的解集,则由一元二次不等式的解集可逆向推知它的系数所满足的条件,即相应的一元二次方程的根或根的判别式的情况或二次项系数的正负性,再利用根与系数的关系即可解决问题。 【例4.4.】 （多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【例4.5.】 已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 【例4.6.】 已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 考法5：利用基本不等式求最值 利用基本不等式解题时一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件。 · 配凑法 方法提炼 (1) 凑系数：和为定值 如，当且仅当时等号成立. (2) 凑项：积为定值 如 【例5.1.】 已知，则的最大值为 . 【例5.2.】 （1）已知，求的最小值； （2） 已知，求的最大值． （3） 当时，求的最小值． · 分离变量法 方法提炼 求分式型函数的最值时，可以进行整式分离，分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. 如，的最值求解，设,转化为的最值模型. 【例5.3.】 (1)求的最小值； (2)求的最小值. (3)设，求的最小值. 【例5.4.】 的最小值为 . 【例5.5.】 的最大值为 ． · 常数代换法 方法提炼 当已知条件中有等量关系或者有关变量与常数的等量关系，我们在求不等式的解题过程中，常常将不等式乘“1”，除以“1”或将不等式中的某个常数等于“1”的式子代替. (1) 形如“已知(为常数),求 的最值”或“已知正数满足求的最值”问题可以先将转化为，再用基本不等式求最值. (2) 形如，可以通过同除，化为构造“1”的代换求解 (3) 对于形如，求型，则可以通过待定系数法凑配，再利用乘1法来求解。 【例5.6.】 若，且，则的最小值为 . 【例5.7.】 若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【例5.8.】 已知，，，则的最大值是 ． 【例5.9.】 若正数，满足，则的最小值为 ； · 换元法 (1) 双变量换元法：①形如 可通过令，将式子转化成关于的式子求解；②对于可化为的式子，通过令，换元求解. (2) 换元消元法 对于，求的求解思路: ，当且仅当时取等号，解此不等式即可求得的最值. (3) 万能K法：形如， 一般情况下可以通过万能K法（求谁，谁就为K）转化求解. 【例5.10.】 若，，则的最小值为 ． 【例5.11.】 实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例5.12.】 已知且，则的最小值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【例5.13.】 已知，是正实数，且，则的最小值为 ． 【例5.14.】 已知，，且，则的最小值为 ． 【例5.15.】 若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例5.16.】 若，且满足，则的最小值为 ；的最小值为 ． 【强化训练】 1. 已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2. （多选）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 3. 关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4. 已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5. （多选）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 6. (多选)若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 7. 在时的最小值为 ，此时= ． 8. 已知.①当时，的最小值为 ； ②当时，的最小值为 . 9. 已知，，若，则的最小值为 . 10. 已知，且，则的最大值为 ． 11. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 . 12. 已知集合，． (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 13. 已知：，求： (1)的最小值； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 14. 设函数 (1)若，求的解集． (2)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (3)解关于的不等式：． 15. 已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当，，且满足，求的最小值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$