2.5.1直线与圆的位置关系 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线与圆的位置关系核心知识点，系统梳理相交、相切、相离的定义，几何法（圆心到直线距离与半径比较）和代数法（联立方程判别式）两种判定方法，重点讲解相交弦长计算、相切切线方程及切线长公式，构建从定义到判定再到应用的完整知识支架。 本资料突出几何直观与代数运算结合，通过对比几何法与代数法培养学生优化解题思维，例题融入圆拱桥、触礁等实际情境，引导学生用数学语言描述现实问题。课中助力教师分层教学，课后综合练习及解析帮助学生自主查漏，强化知识应用能力。

高二数学讲义 2025～2026学年上学期高二数学讲义 教材：人教A版高中数学选择性必修第一册 章节：2.5.1直线与圆的位置关系 part1 知识清单 知识点01：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 知识点02：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点03：直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； Part2 教材重点例题与习题 1.已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 【答案】解法联立直线与圆的方程，得 消去，得，解得，． 所以，直线与圆相交，有两个公共点． 把，分别代入方程， 得，． 所以，直线与圆的两个交点是，． 因此． 解法圆的方程可化为，因此圆心的坐标为，半径为， 圆心到直线的距离． 所以，直线与圆相交，有两个公共点． 如图，由垂径定理，得．   2.过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】解法设切线的斜率为，则切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离等于圆的半径，得 ，解得或． 因此，所求切线的方程为，或． 解法设切线的斜率为，则切线的方程为． 因为直线与圆相切，所以方程组 只有一组解消元，得． 因为方程只有一个解，所以， 解得或． 所以，所求切线的方程为，或．  3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，求支柱的高度精确到． 【答案】解：建立如图所示的直角坐标系，使线段所在直线为轴，为坐标原点，圆心在轴上由题意，点，的坐标分别为，． 设圆心坐标是，圆的半径是，那么圆的方程是． 下面确定和的值． 因为，两点都在圆上，所以它们的坐标，都满足方程． 于是，得到方程组 解得，．． 所以，圆的方程是．． 把点的横坐标代入圆的方程，得．， 即的纵坐标，平方根取正值． 所以． 答：支柱的高度约为．  4.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险 【答案】解： 以小岛的中心为原点，东西方向为轴，建立如图所示的直角坐标系． 为了运算的简便，我们取为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为． 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 轮船航线所在直线的方程为，即． 联立直线与圆的方程，得 消去，得． 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．  5.判断下列各组直线与圆的位置关系： ：，  圆：； ：，  圆：； ：，  圆：． 【答案】解：圆：的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离，直线与圆相交； 圆：即，圆心，半径， 圆心到直线的距离，直线与圆相切； ：即，圆心，半径， 圆心到直线的距离，直线与圆相离．  6.已知直线与圆心在原点的圆相切，求圆的方程． 【答案】解：因为圆以点为圆心，且与直线相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即：， 则所求圆的标准方程为：．  7.判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长． 【答案】解：已知圆， 圆的半径为，圆心为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交， 设直线与圆的交点为，， 则． 则直线被圆截得的弦长为．  8.赵州桥的跨度是，圆拱高约为求这座圆拱桥的拱圆的方程． 【答案】解：设圆心为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 设圆的半径为， 则圆的方程为， 由题意可得， 则， 在中，， 解得， 所以圆的方程为．  9.某圆拱桥的水面跨度，拱高现有一船，宽，水面以上高，这条船能否从桥下通过？ 【答案】解：建立如图所示的坐标系依题意，有，，，，． 设所求圆的方程是， 于是有 解此方程组，得，，， 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是． 将代入上式，得． 又因为， 所以， ． ， 所以， 所以这条船能从桥下通过．  10.在一个平面上，机器人从与点的距离为的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变．它在行进过程中到过点与的直线的最近距离和最远距离分别是多少？ 【答案】解：机器人到与点距离为的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变， 机器人的运行轨迹为， 由题可知点与， 直线的方程为，即为， 则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离。 最近距离是，最远距离是．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.直线：与圆：相交于，两点，则的面积为(    ) A. B. C. D. 3.已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(    ) A. B. C. D. 4.直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是(    ) A. B. C. D. 5.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为  (    ) A. B. C. D. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.若直线与曲线恰有一个公共点，则的可能取值是(    ) A. B. C. D. 7.设有一组圆：，下列说法正确的是(    ) A. 这组圆的半径均为 B. 直线平分所有的圆 C. 直线被圆截得的弦长相等 D. 存在一个圆与轴和轴均相切 三、填空题 8.圆上的点到直线的最大距离是          ． 9.设圆的弦的中点为，则直线的方程是           10.过点向圆作两条切线，则弦所在直线的方程为          ． 11.已知方程为的圆关于直线对称，则圆的半径          ，若过点作该圆的切线，切点为，则线段的长度为          ． 12.在平面直角坐标系中，圆的方程为若直线上存在一点使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是          ． 13.当圆的面积最大时，这个圆在轴上截得的弦长为          ，此时的圆心坐标为          ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.已知圆的圆心在轴上，且经过点， 求圆的标准方程； 若直线过点，且与圆相切，求直线方程． 15.已知方程的曲线是圆． 求的取值范围； 当时，求圆截直线所得弦长． 16.已知以点为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上 求圆的方程； 设点在圆上，求的面积． 17.已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，且被直线截得的弦长为． 求圆的方程； 设是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 18.在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴右侧，原点和点都在圆上，且圆在轴上截得的线段长度为． 求圆的方程； 若为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  【解答】 解：直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离为， ， ， 故选：． 2.【答案】  【解答】 解：根据题意，圆：的圆心为，半径， 圆心到直线：的距离， 弦的长度， 则的面积． 故选：． 3.【答案】  【解答】 解：由圆的方程可得圆心坐标，半径，且点在圆内， 设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长， 当最大时最小，当直线与所在的直线垂直时最大，这时， 所以最小的弦长， 故选B． 4.【答案】  【解答】 解：圆的标准方程为，圆心为，半径， 若直线与圆有两个不同的交点， 则圆心到直线的距离， 即，得，得， 则的一个必要不充分条件是， 故选：． 5.【答案】  【解答】 解：因为切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得， 圆心到直线的距离为， 圆的半径为， 所以切线长的最小值为， 故选C． 6.【答案】  【解答】 解：直线的斜率为，在轴上的截距为， 曲线变形为且， 其图象是一个圆心为，半径为的右半圆． 如图，当直线与半圆相切时，， 要使直线与曲线有且有一个公共点， 可得的取值范围是：或． 结合选项可知，的可能取值是，． 故选：． 7.【答案】  【解答】 解：圆：，可得圆心坐标为：，半径为，故A正确； 把代入，得不恒成立，即直线不恒过圆的圆心，故B错误； 圆心到直线的距离不是定值，而圆的半径为定值， 则直线被圆截得的弦长不相等，故C错误； 若存在一个圆与轴和轴均相切，则，解得，满足条件，故D正确． 故选：． 8.【答案】  【解答】 解：把圆的方程化为：， 所以圆心坐标为， 而直线的斜率为， 则过与直线垂直的直线斜率为， 直线方程为：，即， 与圆方程联立得： 解得或 点到直线的距离为， 所以到直线的距离最大， 最大距离． 故答案为． 9.【答案】  【解答】 解：由，得，得到圆心， 所以圆心与连线的斜率为， 所以直线的斜率为，且直线过， 所以直线的方程为，即， 故答案为． 10.【答案】  【解答】 解：为圆的切线，， ， 以为圆心，为半径的圆方程为 ， 为两圆的公共弦， 弦所在的直线方程为： ， 整理得：． 故答案为． 11.【答案】  【解答】 解：圆的圆心在直线上，代入解得， 所以半径， 则圆的方程为，圆心 因为直线与圆相切，切点为，故， 所以， 故答案为； 12.【答案】  【解答】 解：的方程为，故圆心为，半径． 设两个切点分别为、，则由题意可得四边形为正方形， 故有， 圆心到直线的距离小于或等于， 即，解得，可得， 故答案为 13.【答案】  【解答】 解：化简为 ， 其中，得， 所以当圆的面积最大时即半径最大， 由， 当时，最大值为，此时圆的方程为， 所以圆心坐标为． 圆心到轴的距离， 所以这个圆在轴上截得的弦长为． 故答案为；． 14.【答案】解：根据题意，圆的圆心在轴上，设其坐标为，圆的半径为， 又圆经过点，， 则有， 解可得， 则， 则圆的标准方程为， 根据题意，圆的标准方程为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，与圆不相切，不符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 若直线与圆相切，且有， 解可得：或， 则直线的方程为或．  15.【答案】解：方程，可化为， 因为方程的曲线是圆， ，      解得或， 所以的取值范围是； 时，圆的标准方程为，圆心，半径， 圆心到直线 的距离为， 圆截直线：所得弦长为．  16.【答案】解：依题意知所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点． 的中点为，直线的斜率为， 的垂直平分线的方程为，即． 由，得，即圆心． 半径． 故所求圆的标准方程为． 点在圆上， 或舍去，， ，直线的方程为：， 点到直线的距离为， 的面积． 17.【答案】解：设圆心， 则圆心到直线的距离为． 因为圆被直线截得的弦长为， 所以， 解得或舍， 故圆：． 已知是直线上的动点，设， 为切线， ， 过，，三点的圆是以为直径的圆． 又中点坐标为，且． 经过，，三点的圆的方程为， 即． 若过定点，即定点与无关， 将方程整理得， 令 解得或 所以定点为与．  18.【答案】解：因为圆的圆心在轴右侧，原点和点都在圆上， 且圆在轴上截得的线段长度为 所以圆过三点， 设圆方程为，， 则有，解得 所以圆方程为，即． 由可知圆心，半径， 则圆心到直线距离， 所以，当且仅当时取等号， 由解得； 由是四边形的对角线可得在两侧， 所以解得， 原点到直线距离到直线距离， 所以四边形的面积当且仅当时取等号． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$