精品解析：江苏省南通中学2025届高三上学期第一次检测数学试题

南通中学高三数学检测一 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若命题“”是假命题，则可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 10 5. 若不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，表示三个不同的平面，表示直线，则下列选项中，使得的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件两两独立 C. D. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “”是“”的______．（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空） 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 14. 已知，则的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求点E到平面的距离． 16. 某中学为丰富学生课余生活，减轻学习压力，组建了篮球社团.为了了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了该校男、女同学各50名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 20 女生 15 合计 （1）根据所给数据完成上表，判断能否有99.5％的把握认为该校学生喜欢篮球与性别有关； （2）社团指导老师从喜欢篮球的学生中按照男、女分层随机抽样抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，分析他们的定点投篮水平，求3人中女生人数X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 0.005 k 3.841 6.635 7.879 17. 如图，四边形为菱形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值． 18. 已知函数 （1）当 时，求曲线 )在点处的切线方程; （2）讨论函数的单调性； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 19. 某单位进行招聘面试，已知参加面试的名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场. （1）求面试号码为2的学生来自A校的概率. （2）若，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率. （3）记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），是的数学期望，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通中学高三数学检测一 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定集合中不等式的解集，再求集合和集合的交集. 【详解】设，其定义域为，则恒成立，函数在定义域上单调递增， 又当时，，的解集为， ，又，. 故选：. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得两个不等式解集，由集合间关系即可判断. 【详解】由可得：， 由可得：， 即， 即，可得， 又 所以“”是“”必要不充分条件， 故选：B 3. 若命题“”是假命题，则可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式得到函数的最小值，即可得到命题为假命题时求解. 【详解】因为时，，当且仅当时取等， 则当命题“”为真命题时， 所以命题为假命题时. 故选：D. 4. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，结合基本不等式计算即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即时取等号， 所以的最小值为 故选：B 5. 若不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得且，由此化简要求的不等式为，从而求出它的解集. 【详解】由题，可得和是方程的两根，且， ，解得， 则不等式可化为，即， 解得，故不等式的解集为. 故选：A. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 7. 已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率计算公式，列出关于的方程求解. 【详解】因为， . 又， 所以. 故选：A 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质得的正负，从而得到的正负，进而得到，转化为二次函数最值问题. 【详解】函数的定义域是， 当，得，当，得， 当时，，则恒成立， 又在上单调递增，则， 当时，，则恒成立， 又在上单调递增，则， 由，可得，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，表示三个不同的平面，表示直线，则下列选项中，使得的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面平行、面面平行的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，若，，则可能相交，A选项错误. 对于B，若，，则，B选项正确. 对于C，若，，则，C选项正确. 对于D，若，，则可能相交，D选项错误. 故选：BC 10. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件两两独立 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件的定义和条件概率公式即可解答. 【详解】对于选项A，因为，所以事件与不互斥，故A错误； 对于选项B，， ，故B正确； 对于选项C，交集为，则，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：BD. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式即可判断C；利用不等式即可判断D. 【详解】对A，由图可知：与交点， 与的交点， 根据指数函数与对数函数为一对反函数知：，关于对称， 故，，故A正确； 对B，由A知，故B错误； 对C，由知，则，设，， 则，则当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 则，则恒成立，即，当时取等； 令，则有，因为，则，即，故C错误； 对D，设，，则， 则当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 则，即在上恒成立， 即在上恒成立，当时取等， 令，则，即，因为，则，则， 故，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是充分利用图象并结合指、函数的关系，而CD选项的关键在于两个不等式和的运用. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “”是“”的______．（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空） 【答案】充分不必要条件 【解析】 【分析】分别从充分性、必要性两个方面，结合特殊值法判断条件间的关系即可. 【详解】由，即同号， 当，则； 当，则； 所以充分性成立， 由，存在或使之成立， 但此时不成立， 所以必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，，通过指数式与对数式互化用表示出，再借助基本不等式进行求解即可. 【详解】令，，则，， ， 令，，则，当且仅当，即时等号成立， ，即. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求点E到平面的距离． 【答案】（1） 因为为直三棱柱，所以， 又D，E，分别为AB，BC的中点，所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，且，则， 则，， 由可得，即，且，解得， 设，则，即， 设平面的法向量为， 则，解得，取，则， 所以平面的一个法向量为， 又，即， 所以点E到平面的距离. 16. 某中学为丰富学生课余生活，减轻学习压力，组建了篮球社团.为了了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了该校男、女同学各50名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 20 女生 15 合计 （1）根据所给数据完成上表，判断能否有99.5％的把握认为该校学生喜欢篮球与性别有关； （2）社团指导老师从喜欢篮球的学生中按照男、女分层随机抽样抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，分析他们的定点投篮水平，求3人中女生人数X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 0.005 k 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 有99.5％的把握认为该校学生喜欢篮球与性别有关； （2） 0 1 2 数学期望为1. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，并与临界值表比对判断. （2）求出6人中男女生人数，再求出的可能取值及对应的概率值，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 完善列联表，如下： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 的观测值， 所以有99.5％的把握认为该校学生喜欢篮球与性别有关. 【小问2详解】 从喜欢篮球的学生中按照男、女分层随机抽样抽取6人，男生抽取人，女生抽取2人， 随机变量的可能取值为， ， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望. 17. 如图，四边形为菱形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值． 【答案】（1） ∵平面且平面 ∴， 在菱形中，，且平面， ∴平面 又∵平面 ∴平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过线面垂直得出线线垂直，再证明出线面垂直，得到面面垂直； （2）由二面角定义得到平面角的大小，由菱形和直角三角形的边角关系得出线段长度，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面且平面，平面， ∴，，即二面角是， ∴， 取与交点为，设， 则， ∴，∴， 以为坐标原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， ∴. 所以所成角的余弦值为. 18. 已知函数 （1）当 时，求曲线 )在点处的切线方程; （2）讨论函数的单调性； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 【答案】（1） （2） 当时，在定义域单调递减，无增区间， 当时，在单调递减，在单调递增； （3）3 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. （2）利用导数，讨论，求出的单调区间作答. （3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最小值情况作答. 【小问1详解】 当时，函数， 求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程是. 【小问2详解】 ， 当时，，恒成立，函数在定义域单调递减； 当时，由，可得：，由，可得， 所以在单调递减，在单调递增； 综上：当时，在定义域单调递减，无增区间， 当时，在单调递减，在单调递增； 【小问3详解】 ，， 令，求导得， 由（2）知，在上单调递增，，， 因此存在唯一，使得，即， 当时，，即，当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，则， 所以整数的最大值是3. 19. 某单位进行招聘面试，已知参加面试的名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场. （1）求面试号码为2的学生来自A校的概率. （2）若，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率. （3）记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），是的数学期望，证明：. 【答案】（1） （2） （3） 由题知随机变量X的取值为，，…，， 则随机变量X的分布列为，，，…，N． 所以随机变量X的期望， ． 所以． 【解析】 【分析】（1）按古典概型的计算方法求解. （2）先确定来自各校的学生人数，再利用条件概率公式进行计算. （3）先求出分布列，再按期望的公式进行化简. 【小问1详解】 记“面试号码为2的学生来自A校”为事件A， 将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为， 事件A表示A校有1名学生的面试号码为2， 其他名学生的面试号码在剩余个面试号码中随机安排， 则事件A包含的样本点数为， 故． 【小问2详解】 设B校参加面试的学生有x名，由题意得，解得． 所以B校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名． 记“最后面试的学生来自B校”为事件B，“最后面试的学生来自C校”为事件C， 显然事件B，C互斥． 记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D，则． 当事件B发生时，只需考虑A，C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校， 则． 当事件C发生时，只需考虑A，B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校， 则． 所以． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：在第三问的证明过程中，利用组合数的性质：进行化简是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $