第一章 有理数 知识点分类 讲义 2025--2026学年冀教版七年级数学上册

冀教版教材知识点归纳和题型突破 第1章 有理数 （1） 知识点归纳 1、 正数与负数 1. 相反意义的量：①意义相反②同类数量； Eg：零上5摄氏度——零下10摄氏度 向东3公里——向西5公里 收入30元——支出20元 “+”和“-”可以用来表示相反意义的量； Eg：+3℃ —— -5℃ 2. 正数：大于0的数； Eg：1,2.3；；π；4等； 负数：小于0的数；在正数前加“-”； Eg：-3，-5.1；-π；-5等； 0既不是正数也不是负数； 正数书写时“+”可省略（+8通常写成8），负数书写时“-”不可省略（-3只能写成-3）。 3. 有理数：整数和分数的统称叫做有理数； 注：在这里分数不能狭义的认为只是真分数、假分数、带分数的情况；在初中阶段通常把真分数、假分数、带分数、有限小数、无限循环小数等数都成为分数； 易错点：无限不循环小数不是有理数，例：π、0.16116111611116...等 4. 有理数的分类：可以按符号或定义两种方式进行分类； 5. 四非分类 非正数：0+负数； 非负数：0+正数； 非正整数：0+负整数； 非负整数：0+正整数； “非”表示不是；“非正（非负）”表示不是正的（不是负的）； 6. “±”在数字前出现时表示正的和负的，例：±2表示+2和﹣2； “200±2”表示200+2和200-2；通常在物品外包装上表示物品重量，例：某零食质量为150±5 g，表示该零食质量为145——155 g之间； 2、 数轴 1. 数轴：数轴是规定了唯一的原点、正方向和单位长度的直线； 2. 数轴三要素：原点（表示0的点）、正方向（一般情况下规定向右为正方向，在数轴上体现为向右的箭头）；单位长度（0到1的距离表示为1个单位长度）； 3. 原点左侧是负数，原点右侧是正数；数轴上表示的数左小右大； 4. 在数轴上任取一段长为n（n取整数）的线段，则这段线段最多可覆盖（n+1）个整数点，最少可覆盖n个整数点； 5. 有理数都可以在数轴上找到表示这个数的点，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数；例：π可以在数轴上找到与之对应的点（直径为1的圆从原点向右滚动一周后到的点），但π不是有理数； 6. 画数轴要使用：铅笔、直尺；单位长度均匀，原点、箭头要画出来，数字写在数轴的下方；在数轴上标记表示数字的点时，使用大小适中的实心原点，并在数轴上方写出这个数字； 3、 绝对值与相反数 1. 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例：2和-2； 0的相反数是0本身；正数的相反数一定是负数，负数的相反数一定是正数； 互为相反数的两个数的和为0； 在数轴上表示互为相反的两个点关于原点对称（到原点的距离相等且位于原点两侧）； 2. 相反数的求法：添“-” 当一个数字前有多个“-”时，两个“-”可以视为相互抵消或两个“-”变为“+”；“-”的个数为奇数时，这个数是负的；“-”的个数为偶数时，这个数是正的；【负负得正，奇负偶正】 3. 绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值；记作“丨a丨”； 因为绝对值表示的是距离，故绝对值具有非负性，即丨a丨≥0； 正数的绝对值是这个数本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是这个数的相反数； 4、 有理数的大小 1. 负数＜0＜正数； 2. 在数轴上，右侧的数大于左侧的数； 3. 两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小； 4. 两个数的差为正数时，被减数大于减数；差为0时，被减数和减数相等；差为负数时，被减数小于减数； 5、 有理数的加减法 1. 有理数的加法： 1　 先定号，再运算； 2　 两个正数直接相加； 3　 两个负数相加结果为负数，并把它们的绝对值相加作为结果的数字部分； 4　 异号两数相加，先比较两个数的绝对值，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值作为结果的数字部分； 5　 0加任何数等于那个数的本身；互为相反数的两个数的和为0； 2. 有理数的加法运算律： 1　 有理数加法的交换律：相加的两个数位置调换结果不变；即：a+b=b+a； 2　 有理数加法的结合律：a+b+c=a+（b+c） 3. 有理数的减法： 1　 减去一个数等于加上这个数的相反数； 2　 先定号，再运算； 4. 有理数的加减混合运算： 1　 先把减法变成加法，再进行有理数的加法运算； 2　 能凑整的两数相加（减）优先运算；互为相反数的两数相加的优先运算；同分母分数相加（减）优先运算；同号的优先运算； 6、 有理数的乘除法 1. 有理数的乘法： 1　 先定号：两数相乘，同号得正，异号得负；0乘任何数都得0； 2　 把两数的绝对值的乘积作为结果的数字部分； 3　 多个非零数相乘时，负数的个数决定结果的符号；【奇负偶正】 2. 有理数的乘法运算律： 1　 有理数乘法的交换律：相乘的两个数位置调换结果不变；即：a·b=b·a； 2　 有理数乘法的结合律：a·b·c=a·（b·c） 3　 有理数乘法的分配率：（a+b+c）·d=ad+bd+cd 3. 有理数的除法： 1　 除以一个数等于乘以这个数的倒数； 2　 先定号，再运算； 3　 乘积是1的两个数互为倒数；0没有倒数； 4. 有理数的乘除混合运算： 1　 先观察负数的个数，确定符号； 2　 先把除法变成乘法，再进行有理数的乘法运算； 3　 能凑整的两数相乘（除）优先运算；互为倒数的两数相乘的优先运算； 4　 0除以任何不为0的数都等于0； 7、 有理数的乘方 1. 乘方：求n个相同因数a的积的运算；记作：an；读作a的n次方； 2. 3. 指数遵循就近原则 23 -23 （-2）3 （）2 底数 2 2 -2 4 指数 3 3 3 2 2 含义 3个2相乘 3个2相乘的相反数 3个-2相乘 2个相乘 2个4相乘的三分之一 4. 正数的任何数次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数【奇负偶正】；0的任何正整数次幂都是0； 8、 有理数的混合运算 1. 先乘方，在乘除，最后加减； 2. 同级运算按从左到右的顺序计算； 3. 如果有括号，先做括号内的，按照小括号，中括号，大括号的顺序运算； （2） 题型突破 1、 正数和负数 1. 请写出“上升5米”的相反意义的量 2. 以下选项正确的是（ ） A. 增加和减少是一组相反意义的量 B. 身高175cm和体重60kg是一组相反意义的量 C. 零上5摄氏度和零下12摄氏度是一组相反意义的量 D. 前进5公里和向后12公里 3. 把下列数字按照要求填入符合要求的括号内（可以重复填） 0.010010001...；π；-2.3；+9；-4；5.231569...；22；37；0；101-π；-72； 正数（ ）； 非正整数（ ）； 有理数（ ）； 负整数（ ）； 正分数（ ）； 4. 下列说法正确的是（ ） A. π不是数字，所以π不是有理数； B. 有理数包含正数，负数和0； C. 非负数是比0大的所有数； D. 0.16161616...是有理数； 5. 一种工件的直径标准尺寸是Ø30.00±0.05mm，那么想要加工一个合格工件的最小直径是 mm； 2、 数轴 1. 下列说法中,错误的是 (　　) A.在画数轴时,原点的位置可以任意确定 B.一般情况下,取向右的方向为数轴的正方向 C.数轴上的单位长度可根据需要任意选取 D.数轴上的原点表示有理数的起点 2. 下列是四位同学所画的数轴,其中正确的是(　　) 　　　 　 3. 如图,点M表示的数可能为 (　　) A.2　　B.1　　C.0　　D.-1 4. 数轴上的A、B两点到原点的距离相等,且A、B之间的距离是6,则A点表示的数是 (　　) A.3　　　　 B.-3　　 C.3或-3　　　　D.6或-6 5. 数轴上在原点左边距原点个单位长度的点表示的数是 (　　) A. 6. 周六王亮骑车从家出发,先向东骑行5 km到达体育馆锻炼身体,接着向西骑行3 km到达图书馆看了一会儿书,快中午时又向西骑行6 km到达姥姥家吃午饭,最后回到家.请解答下列问题: (1) 以家为原点,向东为正方向,单位长度为1 km画数轴,并在数轴上表示出家以及体育馆、图书馆、姥姥家的位置; (2) 图书馆与姥姥家的距离是多少? (3) 王亮一共骑行了多少千米? 3、 绝对值和相反数 1. 如图,数轴上有A,B,C,D四个点,其中绝对值和相反数都等于1的数对应的点是 (　　)  A.点A B.点B C.点C D.点D 2. 在数轴上分别标出表示数-4,-2,+0.5,3,5的点A,B,C,D,E,并写出这些数的绝对值. 3. -2 020的相反数是 (　　) A.-2 020 B.2 020 C.- D. 4. 下列说法不正确的是 (　　) A.只有符号不同的两个数一定互为相反数 B.相反数是不相等的两个数 C.在数轴上,互为相反数的两个数所对应的点到原点的距离相等 D.表示互为相反数的两点可能不在原点两侧 5. -的相反数是　　　　;8与　　　　互为相反数;-(-2)是　　　　的相反数;-m的相反数是　　　.  6. -4的绝对值是　　　,的绝对值是　　　　,0的绝对值是　　　;  7. |-|=　　　　,-|-1.5|=　　　　,|+32|=　　　　.  8. 若|a-1|+|b+2|=0,则a=　　　　,b=　　　　.  4、 有理数的大小 1. 下列各数最小的是（ ） A. -2 B. π C.3.15 D.-3.14 2. 在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序把这些数连接起来： 3. 写出数轴上点A、B表示的数，并且在数轴上分别画出点C．点C表示数，最后将点A、B、C所表示的数用“<”连接． (1)点A表示的是数______，点B表示的数是______． (2)在数轴上画出点C，使点C表示的数为． (3)（    ）<（    ）<（    ）． 5、 有理数的加减法 1. 计算 （1）（﹣12）﹣（﹣17）+（﹣10）． （2）13﹣（﹣12）+（﹣21）． 2. 计算 （1）+5+（﹣8）+（﹣4）﹣（﹣10）； （2）． 3. 计算 （1）+5+（﹣8）+（﹣4）﹣（﹣10）；（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18． 4. 某天下午出租车司机小王以铁狮子坟为出发点，在南北走向的公路上营运，如果规定向北为正，向南为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：+15，﹣2，+5，﹣13，+10，﹣7，﹣8，+12，+4，﹣5，+6．结合计算回答下列问题： （1）将最后一名乘客送到目的地时，小王距离铁狮子坟多少千米？在铁狮子坟的什么方向？ （2）若出租车平均每千米耗油费用为0.5元，则这天下午出租车耗油费用共多少元？ 5. 某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如表． 与标准重量偏差（单位：千克） ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 袋数 5 10 3 1 5 6 （1）这30袋大米的总重量比标准总重量是多还是少？相差多少？ （2）大米单价是每千克5.5元，食堂购进大米总共花多少钱？ 6、 有理数的乘除法 1. 现有以下五个结论：①绝对值等于其本身的有理数只有零；②相反数等于其本身的有理数只有零；③倒数等于它本身的有理数只有1；④一定是负数；⑤一个有理数不是整数就是分数．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 已知，有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（ ） A．ab＜0 B．b＋c＞0 C．|a|＞|c| D．|c﹣b|＜|a﹣b| 3. ． 4. 绝对值不大于20的所有整数的积等于 ． 5. 计算： （1） （2） ； （3）． 6. 已处x，y为有理数，现规定一种新运算※，满足． （1）求的值： （2）求的值； （3）探索与的关系，并用等式把它们表达出来． 7. 计算的结果等于（    ） A．8 B． C．35 D． 8. 等式中，“”表示的数是（    ） A． B． C． D． 9. 计算：的结果是 ． 7、 有理数的乘方 1. 在(－3)4中，底数是________，指数是________. 2. 计算：(﹣2)3=　　. 3. 计算：﹣22÷(﹣3)3= . 4. 平方等于16的数有　 　，立方等于﹣1的数是　 　. 5. 若|x﹣3|＋(y＋2)2＝0，则x2y的值为 . 6. 在0,﹣(﹣1),(﹣3)2，﹣32，﹣|﹣3|,a2中，正数的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7. 下列各对数中，是互为相反数的是(　　) A.+(﹣2)和﹣(+2) B.﹣(﹣2)和﹣2 C.+(+2)和﹣(﹣2) D.(﹣2)3和32 8. 计算：－14－×[2－(－3)2]. 9. 大肠杆菌每过30分钟由1个分裂成2个，经过3小时后这种大肠杆菌由1个分裂成多少个？ 10. 已知(x﹣2)2＋|y＋3|＝0，求yx﹣xy的值. 8、 有理数的混合运算 1. 计算：8﹣23÷(﹣4)×(﹣3＋1). 2. 若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是最大的负整数，则a＋b－cd＋m2022的值是（    ） A．0 B．－2 C．－2或0 D．2 3. 定义运算，例如，则的值为（    ） A．7 B．17 C．20 D．23 4. 如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2023次输出的结果为（    ） A．1 B．5 C．25 D．125 5. 计算： ． 6. 计算：×（﹣36）＝ ． 7. 如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，则第2023次输出的结果为 ． 8. 计算 （1） （﹣18）÷2×（﹣1） （2）（﹣1）3﹣×[1﹣（﹣3）]2． 9. 底面半径为10cm，高为40cm的圆柱形水桶中装满了水．小明先将桶中的水倒满3个底面半径为3cm，高为5cm的圆柱形杯子，如果剩下的水倒在长、宽、高分别为50cm，20cm和12cm的长方体容器内，会满出来吗？若没有满出来，求出长方体容器内水的高度（取3）． 学科网（北京）股份有限公司 $$