5.3 实际问题与一元一次方程 同步练 2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

5.3 实际问题与一元一次方程 第1课时 产品配套与工程问题 A组·基础达标 知识点1 产品配套问题 1．某眼镜厂车间有28名工人，每名工人每天生产60个镜架或者90片镜片，1个镜架需要配2片镜片.为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，设安排名工人生产镜片，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 2．服装厂要生产一批某型号学生服.已知每长的布料可做2件上衣或3条裤子,一件上衣和一条裤子为一套.计划用长的这种布料生产学生服,共能生产_ _ _ _ 套. 3． ［2025长沙模拟］用铝片制作听装易拉饮料瓶，每张铝片可制作瓶身16个或瓶底43个，一个瓶身配两个瓶底.现有150张铝片，用多少张制作瓶身，多少张制作瓶底，可以正好制成成套的饮料瓶？ 知识点2 工程问题 4．一项工程,甲队单独完成需要20天,乙队单独完成需要30天.若先由甲队单独做5天,剩下部分由甲、乙两队合作完成,则还需要的天数是（ ） A．9 B．10 C．12 D．15 5．修一条公路,甲队单独修需要10天完成,乙队单独修需要12天完成,丙队单独修需要15天完成.现在先由甲队单独修2.5天,再由乙队接着修,最后还剩下一段路,由三队合修2天才完成任务.问乙队在整个修路工程中工作了多少天？ 6．一个蓄水池有甲、乙两根进水管和丙一根排水管.单独开甲管可注满水池,单独开乙管可注满水池,单独开丙管可将满池水排空.若先将甲、乙两管同时开放,再打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池？ B组·能力提升 7．［2024德城模拟］在“垃圾分类“活动中，实践组有23人，宣传组有16人，应从宣传组调_ _ _ _ 人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的2倍． 8．［2025长沙模拟]某工厂车间有24名工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套. （1） 该工厂有多少名工人生产A零件？ （2） 工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，问该工厂每天生产的零件总获利多少元？ 9．一项工程，由甲工程队单独做需要20天完成， 由乙工程队单独做需要12天完成.现在由甲队单独做4天，剩下的工程由甲、乙合作完成. （1） 剩下的部分由甲、乙合作还需要几天完成（列方程解答）？ （2） 若该工程的总费用为240万元，根据实际完成情况，甲、乙两工程队各得多少万元？ C组·核心素养拓展 10．【应用意识】小敏和小强假期到某工厂参加社会实践,该工厂用白纸板做包装盒,设计每张白纸板做盒身2个或者盒盖3个,且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒.为了充分利用材料,要求做成的盒身和盒盖正好配套. （1） 现有14张白纸板,问最多可做几个包装盒（用一元一次方程的应用解答）？ （2） 现有27张白纸板,问最多可做几个包装盒？ 为了解决问题（2）,小敏和小强各设计了一种解决方案: 小敏:把这些白纸板分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖; 小强:先把一张白纸板适当剪裁出一个盒身和一个盒盖,余下白纸板分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖. 请探究:小敏和小强设计的方案是否可行？若可行,求出最多可做包装盒的个数;若不行,请说明理由. 5.3 实际问题与一元一次方程 第1课时 产品配套与工程问题 A组·基础达标 知识点1 产品配套问题 1．C 2．240 3．解：设用张铝片制作瓶身，则用张铝片制作瓶底. 由题意，得， 解得， （张）. 答：用86张铝片制作瓶身，用64张铝片制作瓶底. 知识点2 工程问题 4．A 5．解:设乙队单独修了天.由题意,得 , 解得. . 答:乙队在整个修路工程中工作了5天. 6．解:设打开丙管后可注满水池. 由题意,得, 解得. 答:打开丙管后可注满水池. B组·能力提升 7．3 8．（1） 解：设该工厂有名工人生产A零件，则共生产A零件个，有名工人生产B零件，共生产B零件个. 由题意，得, 解得. 答：该工厂有6名工人生产A零件. （2） 由（1），得生产B零件的工人有（名）. 每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元， （元）. 答：该工厂每天生产的零件总获利1 620元. 9．（1） 解：设剩下的部分由甲、乙合作还需要天完成. 由题意，得， 解得. 答：剩下的部分由甲、乙合作还需要6天完成. （2） 甲完成的工作量为， 则甲、乙完成的工作量都是，所以报酬应相同，均为120万元. C组·核心素养拓展 10．（1） 解:设张白纸板做盒身,则有张白纸板做盒盖. 由题意,得, 解得.（个）. 答:最多可做12个包装盒. （2） 小敏的方案不行.理由如下: 设张白纸板做盒身. 由题意,得, 解得,不符合题意; 小强的方案可行.理由如下: 设余下的纸板张做盒身. 由题意,得, 解得. （个）. 答:最多做23个包装盒. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时 球赛积分表问题 A组·基础达标 知识点1 球赛积分表问题 1．篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.若某队14场比赛得到23分,则该队胜了_ _ _ _ 场. 2．某次篮球联赛初赛阶段,每队有10场比赛,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分,积分达到15分才能获得参加决赛资格. （1） 已知甲队在初赛阶段的积分为18分,则甲队在初赛阶段胜、负各多少场? （2） 如果乙队要获得参加决赛资格,那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？ 知识点2 其他统计类问题 3．为了增强学生的安全防范意识,某校七（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛.抢答题一共20个,记分规则如下:每答对一题得5分,每答错或不答一题扣1分.已知小红一共得70分,则小红答对的题数为（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 4．［2024长沙模拟］12月4日为全国法制宣传日，学校组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答错或不答均扣分.如表记录了其中2名参赛学生的得分情况. 参赛者 答对题数 答错或不答题数 得分 小王 20 0 100 小李 16 4 72 根据以上信息，请你解答下列问题： （1） 答对一题得_ _ _ _ 分，答错一题得_ _ _ _ _ _ 分； （2） 若参赛学生小刘得了65分，则他答对了几道题？ 5．［2024西城模拟］随着民众健康意识逐步增强，全民健身逐渐成为“健康中国”新时尚.下表是甲、乙两人某月参与游泳和瑜伽项目的运动次数及时间的统计表，其中同一健身项目每人每次运动的时间相同，且甲、乙两人每次游泳的时间为. 人员 游泳次数 瑜伽次数 两项运动的总时长/ 甲 18 10 51 乙 41 （1） 结合表中数据，直接写出两人每次参与瑜伽运动的时间为_ _ _ _ ； （2） 若乙参与两项运动的总次数是24，利用你所学的方程知识，求乙该月分别参与游泳和瑜伽项目的次数． B组·能力提升 6．某市足球协会举办了一次足球赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金/（元/人） 1 500 700 0 当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名队员）共积20分，并且没有负一场． （1） 试判断A队胜、平各几场？ （2） 若每赛一场每名队员均得出场费500元，那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少元？ 7．某小组8名同学参加一次知识竞赛,共答10道题,每题分值相同.每题答对得分,答错或不答扣分.各同学的得分情况如表所示: 学号 答对题数 答错题数 得分 1 8 2 70 2 9 1 85 3 9 1 85 4 5 5 25 5 7 3 55 6 10 0 100 7 4 6 10 8 8 2 70 （1） 如果答对的题数为（在1到10之间,且为整数）,用含的式子表示得分为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 在什么情况下得分为零分？在什么情况下得分为负分？ C组·核心素养拓展 8．［2024衡阳模拟］【应用意识】某中学举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，五个队，这五个队要进行单循环比赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜，每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分（如或的积分不同），积分均为正整数. 第一组 A B C D 获胜场数 总积分 A 9 B 1 C 2 D 3 12 · 4 13 （注∶圈中的“”表示在队与B队的这场比赛中队赢两局，输一局，队以的比分战胜B队.） 根据上表回答问题: （1） 当B队的总积分时，上表中处应填_ _ _ _ _ _ ； （2） 写出C队总积分的所有可能值为_ _ _ _ _ _ . 第3课时 球赛积分表问题 A组·基础达标 知识点1 球赛积分表问题 1．9 2．（1） 解:设甲队在初赛阶段胜了场,则负了场. 由题意,得, 解得. 则. 答:甲队在初赛阶段胜了8场,负了2场. （2） 设乙队在初赛阶段至少要胜场. 由题意,得, 解得. 答:乙队在初赛阶段至少要胜5场. 知识点2 其他统计类问题 3．B 4．（1） 5； （2） 解：设小刘答对了道题，则答错或不答了道题. 由题意，得， 解得. 答：他答对了15道题. 5．（1） 1.5 （2） 解：设乙参与游泳项目次，则参与瑜伽项目次. 由题意，得， 解得， （次）． 答：乙参与游泳项目10次，参与瑜伽项目14次． B组·能力提升 6．（1） 解：设A队胜场，则平场. 由题意，得， 解得， . 答：A队胜4场，平8场. （2） 每场比赛出场费500元， 场比赛出场费共（元）. 胜4场，每名队员奖金为（元）； 平8场，每名队员奖金为（元）， 奖金与出场费每名队员一共（元）. 答：A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是17 600元． 7．（1） （2） 解:如果得分为零分,那么,解得.因为答对题目数不可能是,所以在任何情况下都不可能得零分. 因为答对题数越少得分越少,所以当答对题数小于,即答对题数为0,1,2,3时,得分为负分. C组·核心素养拓展 8．（1） [解析]每场比赛的结果有四种：，，，， 设以上四种得分分别为,,,,且, 则队的得分为. 积分均为正整数， ，，， 则队的得分为，即， . 设对应的积分为, 则， 解得， 即为. （2） 10或11 [解析]队获胜2场， 分两种情况: 当，队的结果为时，； 当，队的结果为时，； 队总积分的所有可能值为10或11. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 商品销售的盈亏问题 A组·基础达标 知识点 商品销售问题 1．一件标价为600元的上衣,按七折销售仍可获利20元.设这件上衣的成本价为元,列方程得（ ） A． B． C． D． 2．某商品每件标价为150元，若按标价打八折后,再降价10元销售,仍获利10元,则该商品每件的进价为（ ） A．100元 B．105元 C．110元 D．120元 3．［2024长沙模拟］商店将进价2 400元的彩电标价3 600元出售，为了吸引顾客进行打折出售，售后核算仍可获利，则折扣为（ ） A．九折 B．八五折 C．八折 D．七五折 4．暑假期间,亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动.某款式眼镜的广告如下,请你为广告牌填上原价. 原价:_ _ _ _ 元 暑假八折优惠,现价:160元 5．“元旦”期间,某商店单价为130元的书包按八折出售,可获利,则该书包的进价是_ _ _ _ _ _ _ _ 元. 6．［2024长沙模拟］某商场购进一批服装，进价为每件200元，提价后标价，由于换季滞销，商场决定将这种服装打折销售，若打折后每件服装仍能获利，则该服装是按几折销售的？ 7．［2024连云港］连云港市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如表所示： 邮购数量/把 100以上（含100） 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇共花费1 504元，则两次邮购的折扇各多少把？ B组·能力提升 8．某商店剩有两个进价不同的计算器，处理时都卖了70元，其中一个赢利，另一个亏本，针对这两个计算器，这家商店（ ） A．赚了 B．赚了10元 C．亏了 D．亏了10元 9．[2024株洲模拟］某超市用6 800元购进甲、乙两种商品共120件，这两种商品的进价、标价如表： 甲 乙 进价/（元/件） 30 70 标价/（元/件） 50 100 （1） 甲、乙两种商品各购进多少件？ （2） 若甲种商品按标价的出售，乙种商品按标价下降元出售，则这批商品全部售出后，该超市共获利2 000元，求的值. 10．［2025长沙模拟］某商店销售A，B两种商品，其中A商品每件的进价为50元，售价为70元；B商品每件的售价为90元，利润率为. （1） A商品每件的利润为_ _ _ _ 元，B商品每件的进价为_ _ _ _ 元. （2） 若该商店同时购进A，B两种商品共100件，总进价为5 400元. ① 商店购进A，B两种商品各多少件？ ② 商店计划开展“迎新春，购年货”促销活动，其中A商品打九折，B商品打折，若销售完A，B两种商品，A商品的总利润比B商品的总利润多300元，求的值. C组·核心素养拓展 11．［2025贵阳模拟］【应用意识】【市场调研】某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 《哪吒2》票房大卖以后，商场从厂家购进哪吒、敖丙图案的两款书包，其中哪吒图案书包6个，敖丙图案书包5个，共付款650元，已知每个敖丙图案书包的进价比每个哪吒图案书包贵20元. 信息二 商场将哪吒图案书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个哪吒图案书包仍可获利. 【问题解决】 （1）每个哪吒和敖丙图案书包的进价分别为多少元？ （2） 在信息二中，哪吒图案书包实际销售时打多少折出售？ 第2课时 商品销售的盈亏问题 A组·基础达标 知识点 商品销售问题 1．A 2．A 3．C 4．200 [解析]设广告牌上的原价为元. 由题意,得, 解得. 故该广告牌上的原价为200元. 5． [解析]设该书包的进价是元. 由题意,得, 解得. 故该书包的进价是80元. 6．解：设该服装是按折销售的.由题意，得 ， 解得. 答：该服装是按八折销售的. 7．解：如果每次邮购的折扇都是100把， 那么（元）（元）， 一次邮购的折扇多于100把，另一次邮购的折扇少于100把. 设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把. 由题意，得，解得， . 答：两次邮购的折扇分别是160把和40把. B组·能力提升 8．D 9．（1） 解：设购进甲种商品件，则购进甲乙种商品件， 由题意，得， 解得， ， 答：甲、乙两种商品各购进40件，80件. （2） 由题意，得， 解得. 的值为10. 10．（1） 20； 60 （2） ① 解：设商店购进件A商品，则购进件B商品. 由题意，得， 解得，. 答：商店购进60件A商品，40件B商品. ② 由题意，得 ， 解得. 答：的值为8. C组·核心素养拓展 11．（1） 解：设每个哪吒图案书包的进价为元，则每个敖丙图案书包的进价为元. 由题意，得，解得， . 答：每个哪吒图案书包的进价为50元，每个敖丙图案书包的进价为70元. （2） 每个哪吒图案书包的标价为（元）. 每个哪吒图案书包实际售价为（元）. 设打折出售，由题意，得， 解得. 答：哪吒图案书包实际销售时打八折出售. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时 方案选择类问题 A组·基础达标 知识点1 分段计费问题 1．［2024常德模拟］某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价/（元/千瓦时） 第1档 不超过240千瓦时的部分 第2档 超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分 0.65 第3档 超过400千瓦时的部分 已知10月份该市居民老李家用电200千瓦时，支付电费120元；9月份老李家支付电费157元. （1） 表中的值为_ _ _ _ ； （2） 求老李家9月份的用电量； （3） 已知8月份老李家用电的平均电价为0.7元/千瓦时，求老李家8月份的用电量. 知识点2 方案选择问题 2．［2023保定模拟］已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个.该超市酸奶区推出了两种优惠促销方案，如下表所示： 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 现某顾客需要购买40箱酸奶和个玻璃杯． （1） 请用含的式子分别表示按方案一、方案二购买时所需的费用分别为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 元、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 元； （2） 当时，请通过计算说明该顾客按哪种方案购买更省钱； （3） 当购买多少个玻璃杯时，上述两种方案的花费一样多？ B组·能力提升 3．[2025湘西模拟］某体育用品商店销售足球和篮球，其中篮球的单价比足球多30元，已知购买4个足球和3个篮球的费用相等. （1）足球、篮球的单价分别是多少元？ （2） 由于“双十二”的来临，商店决定对所售商品进行促销.现有两种促销方案可供选择： 方案一：买5个篮球赠送1个足球； 方案二：所购买的商品均打九折. 当购买6个篮球和多少个足球时，两种促销方案所花费用相等？ （3） 在（2）的条件下，购买10个篮球和5个足球最少费用为_ _ _ _ 元. C组·核心素养拓展 4．［2024郴州模拟］【应用意识】根据以下素材，完成相应任务. 素材1 1.为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市城区实行居民生活阶梯水价. 2.居民用水费自来水费代征收费（代征收费包括污水处理费、生活垃圾处理费及水资源费），单位：元. 3.代征收费共计1.4元/. 素材2 第一阶梯（用水量）：自来水单价为1.8元/ ； 第二阶梯 用水量：超过第一阶梯用水量的自来水单价为2.8元/ ； 第三阶梯（用水量）：超过第二阶梯用水量的自来水单价为4元/. 计算方法示例 用户某月用水，超过第一阶梯的用水量为，则用户的居民用水费可用两种方法计算. 方法一 方法二 自来 水费 29.8 第一 阶梯 代征 收费 第二 阶梯 居民 用水 费 居民 用水 费 （1） 若用户月用水，则应支付水费_ _ _ _ 元. （2） 若用户月用水，则应支付水费_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 元（用含的代数式表示）. （3） 若用户12月份所支付水费为117元，小明根据以上信息求得该用户12月份的用水量约为，具体过程如下： 设用户12月份用水量为，由题意，得 ， 解得. 答：用户12月份用水约. 你认为小明的求解方法正确吗？如不对，请写出正确的求解过程. 第4课时 方案选择类问题 A组·基础达标 知识点1 分段计费问题 1．（1） 0.6 （2） 解：设老李家9月份的用电量为千瓦时. （元），， . 由题意，得， 解得. 答：老李家9月份的用电量为260千瓦时. （3） 设老李家8月份的用电量为千瓦时. 由题意，得,解得. 答：老李家8月份的用电量为560千瓦时. 知识点2 方案选择问题 2．（1） ； （2） 解：当时， （元）； （元）． ， 该顾客按方案二购买更省钱. （3） 由题意，得， 解得． 答：当购买240个玻璃杯时，上述两种方案的花费一样多． B组·能力提升 3．（1） 解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元. 由题意，得， 解得. ， 答：足球的单价是90元，篮球的单价是120元. （2） 设购买6个篮球和个足球时，两种促销方案所花费用相等. 由题意，得 ， 解得. 答：购买6个篮球和2个足球时，两种促销方案所花费用相等. （3） 1 443 C组·核心素养拓展 4．（1） 16 （2） （3） 解：小明的求解方法不正确.正确的求解过程如下： 设用户12月份用水量为. 由题意，得， 解得. 答：用户12月份用水量为. 学科网（北京）股份有限公司 $$