福建省恒一教育集团2025—2026学年高三上学期开门联考数学试题

恒一教育集团联考2025—2026学年高三第一学期开门联考 数学试题 联考校：福州恒一、福州中加、厦门央美恒一、晋江恒一 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 7．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 8．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（   ） A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为 B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为 C． D． 二、多选题 9．已知函数则（    ） A．函数为偶函数 B．的最大值为 C．在区间单调递增 D．曲线关于对称 10．若，则（    ） A． B． C． D． 11． “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 三、填空题 12．若抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为 ． 13．已知平面向量，，若，则 . 14．已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则　　；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为 　　． 四、解答题 15．记的内角的对边分别为，满足． (1)求角； (2)若，为的中点且，求． 16．已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)已知，求数列的前项和. 17．如图，在圆锥中，是底面的直径，且，该圆锥的侧面积为.已知点是母线的中点，点，在底面圆周上，且的长为，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 19．若函数的定义域、值域都是有限集合，则称为集合上的有限完整函数．已知是定义在有限集合上的有限完整函数． (1)求的最大值； (2)当时，均有，求满足条件的的个数； (3)设存在一系列函数且．若这些函数满足，，，，则称为闭环函数．若存在，使得，则称为“阶闭环函数”．证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的映射关系）． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 恒一教育集团联考2025—2026学年高三第一学期开门联考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A A A A D AC ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】根据交集的概念，找出同时满足集合和集合条件的的取值范围即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：A. 2．D 【分析】根据复数乘方、除法运算求得，进而求得的虚部. 【详解】由，得， 所以，所以的虚部为. 故选：D. 3．B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即得. 【详解】由指数函数的单调性可得：， 由可得，而由不能推出，如，但没有意义， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4．A 【分析】由已知得，再由离心率和关系求，得到双曲线的标准方程. 【详解】 依题意，，，解得，， 所以， 故该双曲线方程为． 故选：A. 5．A 【分析】利用投影向量的定义列式，结合题设求得，根据两向量的夹角范围即可求得该角. 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 由题意，，即， 因，则. 故选：A. 6．A 【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离． 故选：A. 7．A 【分析】根据函数的奇偶性定义可排除选项C，D；结合指数函数的性质可得：当时，，即可排除选项B，进而求解. 【详解】因为，所以为奇函数，故选项C，D错误； 当时，，故选项B错误，选项A正确. 故选：A. 8．D 【分析】根据题中牛顿迭代法求方程近似解的方法，将初始值代入公式计算，逐项判断即可求解. 【详解】构造函数，则.取初始近似值，则， ，故选项A正确； 取初始近似值，则， ，故选项B正确； 根据题意，可知，，，， 上述四式相加，得，故选项C正确，选项D不正确. 故选：D. 9．AC 【分析】先利用和角公式化简函数为单一三角函数式，再结合三角函数的性质逐一判断选项即得. 【详解】. 对于A，设，函数的定义域关于原点对称，由，可得函数为偶函数，故A正确； 对于B，由于的最大值为，因此，故B错误； 对于C，当时，因单调递增，故在上单调递增，故C正确； 对于D，由于曲线关于 对称，因此曲线关于对称，故D错误. 故选：AC. 10．ACD 【分析】对于A，令代入即可求解；对于B，由二项式定理，对照系数即可得到；对于C，令，结合A即可求解；对于D，令，结合A即可求解. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，由二项式定理，则，故B错误； 对于C，令，则， 则，故C正确； 对于D，令，则，又， 所以，得，故D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】A由黄金分割比定义可判断选项正误；B由点差法可判断选项正误；C判断是否等于可判断选项正误；D由，计算，，可判断选项正误. 【详解】对于 A，由题得离心率，故A正确； 对于B，设，，则点， 则，，两式作差得， 则，故B不正确； 对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确； 对于D，，， 由C选项可知有，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】根据抛物线定义求出点M的横坐标，代入方程可得. 【详解】由题知，，设，则，即， 所以，解得，所以点M的坐标为. 故答案为： 13．/ 【分析】由条件根据向量的加法的坐标运算公式，再由条件结合向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】因为，，所以， 因为，则，则， 解得. 故答案为：. 14．已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则　　；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为 　　． 【解答】解：设等差数列的公差与等比数列的公比相等，即，， 由，，，可得，， 解得，，， 则，； 设， 则 ． 由得． ，． 所以只需研究是否有满足条件的解， 此时， ，为等差数列的项数，且． 由得， ，． 故满足条件的最小值为27． 故答案为：，27． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式将已知化为，利用化简得，根据角的范围即可求解. （2）将平方得，再根据余弦定理得，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可知：， 所以，即， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以． （2）在中，因为， 所以. 所以①， 又由余弦定理，所以②． 联立①②可得． 16．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据的关系可证明为等差数列，即可求解， （2）利用放缩法可得，即可由裂项相消法求和得解， （3）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）由，，成等差数列，得，① 当时，， ∴，得（舍去）， 当时，，② ①-②得，， ∴， 又，∴， ∴是首项为2，公差为1的等差数列， ∴，故； （2）， 故 （3）由（1）知， 当是奇数时， ， 当是偶数时， ， 综上. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由圆锥的底面周长和侧面积公式求出，接着由得平面，再求证得平面即可由面面平行的判定定理得证； （2）建立适当直角坐标系，依次求出平面与平面的法向量，再由平面夹角的向量法公式计算即可求解. 【详解】（1）由圆锥的底面周长为，可得侧面积为，解得. 在中，根据中位线性质可得，所以平面， 由于，底面圆半径是1，所以， 又，所以，而， 所以为等边三角形，. 于是且，所以四边形是平行四边形，可得， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面. （2）易知.如图，以为坐标原点，在平面中， 过点作的垂线为轴，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，. 设平面的法向量， 则，令，则； 设平面的法向量， 则，令，则. 结合（1）可知，也是平面的法向量， 从而， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18．(1) (2)． 【分析】（1）设点P的坐标为，根据列方程化简可得结论， （2）由条件可得，由此可得，展开利用基本不等式求其最小值. 【详解】（1）设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． （2）因为点P的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，即， 所以， 所以， 当且仅当，，即，时，等号成立． 故的最小值为． 19．(1)140 (2)42 (3)证明见解析 【分析】（1）根据有限完整函数的定义，结合基本不等式，即可求得答案; （2）由题可得出，由此结合排列组合的知识，即可求得答案; （3）由题意可知，不妨取一个闭环函数，然后结合“阶闭环函数”的定义，证朋该函数既是阶闭环函数，也是阶闭环函数，即可证朋原命题. 【详解】（1） ， 当且仅当时等号成立，故的最大值为140． （2）由题意知，从集合中任取5个数分别记为，共有种取法．然后对剩余的2个数全排列，即，故共有42个满足条件． （3）下表为的映射关系： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 6 7 4 故，故为3阶闭环函数．又因为，，，，，故也是4阶闭环函数．原命题得证． 答案第2页，共11页 答案第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$