1.集合及其运算复习讲义-2025届高三数学一轮复习全题型

石可破也，而不可夺坚；丹可磨也，而不可夺赤． 集合及其运算 【集合的基本概念】 基础知识梳理 一、元素与集合的含义 1.元素：我们把研究对象统称为元素． 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合的三个特性：描述性、整体性、广泛性． 3.表示：通常用大写拉丁字母表示集合；用小写拉丁字母表示集合中的元素． 二、集合中元素的特性 确定性，无序性，互异性． 易错(忽略元素的互异性) 例 (多选)若，且，则的可能取值有( ) A.1 B. C.3 D.2 三、元素与集合的关系 元素与集合的关系 记法 读法 是集合中的元素 属于集合 不是集合中的元素 不属于集合 四、常见数集及其记法 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 五、集合的表示方法 列举法、描述法、图示法(Venn图，数轴)． 关键能力突破 考向一 元素的互异性 1.已知集合，且，则 ． 2.已知集合，若，则的值为 ． 3.已知集合，若，则的值为 ． 考向二 求集合中元素的个数 1.已知集合，则中元素的个数为( ) A.1 B.5 C.6 D.无数个 2.已知集合，则中元素的个数为( ) A.9 B.8 C.5 D.4 3.设集合，，，则集合中元素的个数为( ) A.11 B.9 C.6 D.4 考向三 已知元素个数求参数 1.已知集合若中只有一个元素，则实数的值为( ) A.0 B.0或 C.0或2 D.2 2.如果集合中只有一个元素，则的值是( ) A.0 B.4 C.0或4 D.不能确定 3.设集合，且，，则实数的取值范围为 ． 4.已知集合，集合中至少有三个元素，则的取值范围为 ． 考向四 对用描述法表示集合的理解 1.下列说法：①集合用列举法表示为；②实数集可以表示为为所有实数或；③方程组的解集为，其中正确说法的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.已知下面三个集合：①；②；③．问他们是否为同一个集合？并说明理由． 【集合间的基本关系】 基础知识梳理 一、子集 1.子集：一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”)． 2.子集的性质：①自反性：；②传递性：且． 二、真子集 如果集合，但存在元素且，称集合是集合的真子集，记作(或)，读作“真包含于”(或“真包含”)． 三、空集 1.空集：不含任何元素的集合叫空集，记作． 2.空集的性质： ①空集是任意集合的子集； ②空集是任意一个非空集合的真子集． 易错(忽略空集是任意集合的子集) 例 (1)已知集合或，，若，则实数的取值范围是 ． (2)已知集合，，若，则实数的值构成的集合是( ) A. B. C. D. 四、集合相等 且 拓展考点：若集合中有个元素，则有个子集，个真子集，个非空真子集． 关键能力突破 考向一 判断集合间的关系 1.已知集合，，，试分析集合之间的关系． 2.集合，，则集合与的关系是( ) A. B. C. D.且 3.若，，，则之间的关系为( ) A. B. C. D. 4.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 考向二 根据集合间的关系求参数或范围 1.已知集合，，若，则实数的所有可能取的值组成的集合为( ) A. B. C. D. 2.设，．若，则实数组成的集合为( ) A.或 B.或 C.0或或 D.0或.或 3.已知，若，则( ) A.1 B.0 C.2 D.4 4.设，集合，则 ． 5.若集合，且下列三个关系：i.；ⅱ.；ⅲ.有且只有一个是正确的，则( ) A.200 B.201 C.210 D.211 6.已知集合，，若，则的取值范围是 ． 7.已知集合，，若，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． (1)在本题中，若，如何求解？ (2)在本题中，若，如何求解？ (3)在本题中，若，如何求解？ (4)若将本题中的集合分别更换为，，如何求解？ 9.已知集合，，是否存在实数，使得？若存在，求出实数的取值范围． 考向三 确定集合的元素个数或子集个数 1.已知集合，，则满足条件的集合的个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知集合，，则满足条件的集合的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知集合，则集合的子集的个数为( ) A.4 B.8 C.16 D.64 4.已知集合，，则集合的真子集个数为( ) A.7 B.8 C.5 D.6 5.已知集合，若是的两个非空子集，则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为( ) A.49 B.48 C.47 D.46 【集合的基本运算】 基础知识梳理 一、并集 1.并集：或 2.性质： ①；；；；． ②若，则． 二、交集 1.交集：且 2.性质： ①；；；；． ②若，则． 三、全集和补集 1.全集：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作． 2.补集：且 3.性质： ①，；；，． ②，． ③若，则，反之也成立． 关键能力突破 考向一 集合的基本运算 1.集合，，，则( ) A. B. C. D. 2.若集合，，则( ) A. B. C. D. 3.已知是全集，若集合满足，则( ) A. B. C. D. 4.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是( ) A. B. C. D. 考向二 利用集合运算求参数 1.已知集合，，且，则实数的取值范围为 ． 2.设集合，，且，则 ． 3.设集合，集合，若，则 ． 4.已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 5.已知集合是关于的方程的实数根组成的集合，集合，集合，且，，试求实数和的值． 考向三 补集思想在解题中的应用 1.已知集合，，，若三个集合中至少有一个集合不是空集，则实数的取值范围是 ． 2.若三个关于的方程，，中至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围． 考向四 集合的新定义问题 1.定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为 ． 2.对于任意两集合，定义且，，记，，则 ． 3.已知集合，若对于任意一点，存在点，使得成立，则称集合是“理想集合”．给出下列集合： a.；b.；c.；d.． 其中所有“理想集合”的序号是 ． 4.已知集合，集合满足： ⅰ.每个集合都恰有5个元素； ⅱ.． 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为( ) A.37 B.39 C.48 D.57 5.用表示非空集合中元素的个数，定义，若， ，且，设实数的所有可能取值构成集合，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$