23.1 锐角的三角函数 校本练习 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

23.1 锐角的三角函数（第2课时）校本练习2025-2026学年沪科版九年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 3．如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．RtABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式错误的是（   ） A．b=c·cos B B．b=a·tan B C．a=c·sin A D．a=c·cos B 6．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 9．已知锐角满足，则 ． 10．在中，，的余弦值为 ． 11．在中，，如果，，那么 ． 12．如图，在中，，于点D，，，那么 ． 三、解答题 13．在中，，分别是，，的对边． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 14．如图中，，试求出的三个三角函数值． 15．如图，是的高，，，，求的长． 16．如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．    17．如图所示，在中，，，且，求：    (1)的值； (2)的周长及面积． 18．如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《23.1 锐角的三角函数（第2课时 ）校本练习2025-2026学年沪科版九年级数学上册》参考答案 1．B 解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确；故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 2．B 解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变． 故选：B． 3．A 解：，， 故选A． 4．A 解：由题意可得， ∵在中，，， ∴，故A正确，符合题意， ，故B错误，不符合题意， ，故C错误，不符合题意， ，故D错误，不符合题意， 故选A． 5．A 解：如图，∵Rt中， ∴a=c•cos B，b=a•tan B，a=c•sin A， ∴选项A错误，选项B、C、D正确， 故选：A． 6．B 解：∵在中，，，， ∴， 则， 故选：B． 7．C 解：∵， ∴， 故选：C． 8．B 解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 9．35 解：∵， ∴，即：， 故答案为：35． 10． 解：在中，， ∴， 故答案为：． 11．8 解：∵，， ． 故答案为：8． 12． 解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 13．(1) (2) 解（1）解：如图所示，，， ∴， 根据特殊角的三角函数可知，； （2）解：如图所示， ∵，，即， ∴． 14．，， 解：中，， ， ，，． 15． 解：∵是的高， ∴AD⊥BC， 在 中，，， ∴ ， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ． 16．． 解：四边形是矩形，， ，， ， ， 在中，，即， ， 根据勾股定理得：， 在中，，即， ． 17．(1) (2)； 解（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：的周长， ． 18．(1)见解析 (2)3 解（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.1 锐角的三角函数（第1课时）校本练习2025-2026学年沪科版九年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知在中，，，，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 4．中，，的边长都扩大为原来的2倍，则的值（   ） A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断 5．已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 6．如图，在中，，于，若，，则的值为(　　) A． B． C． D． 7．已知在中，，，，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 8．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线．若抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点记为，连接、，则的值为（   ） A． B． C． D．3 二、填空题 9．在中，，如果，，那么 ． 10．如图，在网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则的值为 ． 11．四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 12．如图，在中，，为斜边上不与端点重合的一动点，过点作，垂足为，将沿直线翻折得对应，交于点，若，则线段的长是 ． 三、解答题 13．如图，这是由边长相等的小正方形组成的网格，，均在格点（网格线的交点）上，连接． (1)在网格中，用无刻度直尺画出，使． (2)在（1）作图中，用无刻度直尺画出，使． 14．如图，矩形中，，，求的长． 15．如图，在四边形中，，，对角线相交于点，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，交于点．若，，求的长． 16．如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 17．如图，已知一次函数（a，b为常数，）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数（k为常数，）的图象在第二象限内交于点C，在第四象限内交于点E，作轴于点D，已知点，，点B是AC的中点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点A是BE的中点吗？请说明理由． 18．如图，在中，，，，是边的中点．动点从点出发，沿以每秒5个单位的速度向终点运动，连结，以、为邻边作．设点的运动时间为秒． (1)线段的长是 ； (2)当点在内部时，求的取值范围； (3)连结，当是轴对称图形时，求与边夹角的正切值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《23.1 锐角的三角函数（第1课时 ）校本练习2025-2026学年沪科版九年级数学上册》参考答案 1．B 解：在中，，设，，所对的边分别为，，， ，，， ，，，， 故选：B 2．A 解：如图所示： ∵，，， ∴， ，故A正确； ，故B错误； ；故C错误； ，故D错误； 故选：A． 3．D 解：如图， ， 故选：D． 4．A 解：中，，则， ∵的边长都扩大为原来的2倍， ∴扩大后的三边长分别为，，， ∴扩大后的， ∴的值不变， 故选：A． 5．A 解：在中，，，，如图所示： 由勾股定理得：， ∴，，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 6．B 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 7．B 解：如图， ∵，，， ∴， 故选：B． 8．D 解：抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， 平移后的解析式为， 顶点的坐标为， 令，得， 解得：或， 点，， 过点作轴，则 ∴ ∴ 故选：D． 9． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 10． 解：如图， 在中，， ∴ 故答案为： 11．/ 解如图，过D作于E，过B作于F， ∵， ∴，则， 设 ，则， ，， ， ， ， 即， ， ∵O是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理：，即， 解得：， ． 故答案为：． 12． 解：在中，， ，则， 因为，， 所以， 那么， 设， 因为， 则，， 因为沿直线翻折得对应， 所以， 又因为， 所以，解得， 即， 在与中， ， 即，解得， ，可得， 可得，即， 解得． 故答案为：． 13．(1)见解析 (2)见解析 解（1）解：如图，即为所求； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴． （2）如图，即为所求． 根据作图可得 ∴ 14． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．(1)证明见解析 (2) 解（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ，， ， ， 即， ， 即的长为． 16．(1)； (2)． 解（1）解： ， 在中，； （2）解：， ， 为的中点， ， ， ， ， ． 17．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； (2)点A是BE的中点．理由见解析 解（1）解：由点，， 得，，则点． 由点B是的中点，轴，得点C的坐标为， ∴把点，代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 把点代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：点A是的中点．理由如下： 由解得或， ∴点E的坐标为， ∴，即点A是的中点． 18．(1)2 (2) (3)或 解（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ∵点D是边的中点， ∴， 故答案为：2； （2）解：当点Q落在边上时，如图2所示： 依题意得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴当点在内部时，t的取值范围是：； （3）解：∵是轴对称图形，有以下两种情况： ①当是矩形时， ∴， 此时点Q落在边上，如图2所示： 由（2）可知：是的中位线， ∴，， ∴； ②当是菱形时，如图2所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 综上所述：当是轴对称图形时，与边夹角的正切值为或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.1 锐角的三角函数（第3课时）校本练习2025-2026学年沪科版九年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在中，如果，，那么这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 3．如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 4．如图，这是一块三角尺，其中，，则的结果为（   ） A． B． C． D．1 5．计算的值是（    ） A． B． C． D．1 6．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 8．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 二、填空题 9．计算： 10．△ABC中，，，则△ABC的形状是 ． 11．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b＝1，a＝，则tan ∠B＝ . 12．在中，若、满足，则为 三角形． 三、解答题 13．在中，，，为锐角且． （1）求的度数； （2）求的正切值． 14．计算： (1)； (2)求：中锐角的值． 15．已知α是锐角，且，计算∶ 16．若，，为的内角，试确定三角形的形状． 17．如图，在中，，求的度数和的长． 18．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《23.1 锐角的三角函数（第3课时）校本练习2025-2026学年沪科版九年级数学上册》参考答案 1．A 解：∵，， ∴． 故选：A 2．D 解∵ ，， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴ ∠A＋∠B＝90°， ∴ 这个三角形一定是直角三角形， 故选：D． 3．C 解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 4．A 解：，，， ， 故， 故选A． 5．D 解：原式. 故选：D. 6．A 解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 7．B 解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 8．C 解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 9． 解：， 故答案为：． 10．直角三角形． 解∵，， ∴ ∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°， 故△ABC是直角三角形， 故填：直角三角形． 11． 解∵在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=1，a，∴tan∠B． 故答案为． 12．直角 【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得∠A和∠B，即可作出判断． 解∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴∠A=30°，∠B=60°， ∴， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角． 13．（1）60°，（2）3 解：（1）∵∠B为锐角且， ∴∠B＝60°； （2）作AD⊥BC于D，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴BD＝AB＝3， ∴AD＝， ∵BC＝4，BD＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝1， ∴tanC＝＝＝3． 14．(1) (2) 解（1）解：原式 ． （2）解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴． 15． 解：∵α是锐角，且， ∴， ∴， ∴ 16．为直角三角形 解：由， 得， 则， 度． 为直角三角形． 17．， 解：∵在中，， ∴， ∴， ∴． 18．(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 解（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$