专题7 14.3角的平分线的性质5大题型典例剖析举一反三训练2025-2026学年八年级数学上册【提优专题+重点题型+单元试卷 】（人教版）

专题7 14.3角的平分线的性质5大题型典例剖析举一反三训练 第一部分 典例剖析+举一反三训练 题型1 角平分线性质的应用 【典例1】1．（2023秋•琼海期末）如图，△ABC，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，有下列四个结论： ①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三训练】 1．（2022秋•广州月考）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）求∠EDA的度数； （2）若AB＝10，AC＝8，DE，求点D到AC的距离． 2．（2024秋•旬阳市期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝4cm，AC＝3cm，DE的长为2cm，则△ABC的面积是 　 　 cm2． 3．（2021秋•寻乌县期末）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（　　） A．58° B．64° C．122° D．124° 题型2 角平分线判定的应用 【典例2】（2023秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE平分∠BAD． 【举一反三训练】 1．（2024秋•利辛县期末）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中垂线上 D．AB边的中线上 2．（2025春•菏泽期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 3．（2025春•东源县期末）如图1是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，支撑板的顶端C恰好是托板AB的中点．现量得AB＝10cm，当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，点B到直线DE的距离是（　　） A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 题型三 角平分线性质和判定的综合运用 【典例3】（2023秋•黄石期中）如图，△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于E． （1）如图1，若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数． （2）如图2，连AD，求证：AD平分∠CAM． （3）如图3，若△ABC周长为20，求BE的长． 【举一反三训练】 1．（2025春•宣汉县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积． 2．（2025春•金台区期末）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°． （1）∠ACE的度数是　 　 ； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 题型四 三角形的角平分线与面积 【典例4】（2025•罗湖区模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 【举一反三训练】 1．（2024秋•忻州期末）如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　 　 ． 2．（2024秋•方城县期末）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝6，E为BC中点，AD为△ABC的角平分线，△ABC的面积记为S1，△ADE的面积记为S2，则 　 ． 3．（2025春•冷水滩区月考）如图，BO，CO分别平分∠ABC、∠ACB，且OD⊥BC于点D，ABC的周长为24cm，OD＝3cm，则ABC的面积为 　 ． 题型五 角平分线基本作图 【典例5】（2025春•东港市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，若AB＝3，AC＝5，则△CDE的周长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【举一反三训练】 1．（2025春•曲沃县期末）如图，已知∠AOB＝45°，以点O为圆心，适当长度为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，过点P作PQ∥OB交OA于点Q，则∠OPQ的度数是（　　） A．22.5° B．30° C．20° D．25° 2．（2025春•温江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点F，已知AB＝5，，则CF的长为 　 ． 3．（2025春•乐平市期末）已知，如图，∠AOB中，在OA和OB边上分别截取OM，ON，使OM＝ON，分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，作射线OE，点P，D分别是射线OE，OB上一点，过点P作PC⊥OA，垂足为点C，连接PD，若PC＝3，OD＝4，则△POD的面积是 　 　 ． 第2部分 专题提优训练 1．（2024秋•安庆期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 2．（2025春•竞秀区月考）如图，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别是点D、E、F，且AB＝10，BC＝8，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别是（　　） A．2，2，2 B．3，3，3 C．4，4，4 D．2，3，5 3．（2025•新城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，若AC＝3，BC＝4．则下列结论中正确有（　　） ①CD＝DE；②∠CDG＝∠CGD；③；④S△BCG：S△BFG＝5：4． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 4．（2025春•锦州期末）如图，∠AOB的内部有两条射线OC，OD，∠AOC＝∠COD＝∠DOB，DB⊥OB于点B，连接AD交OC于点C．若OA＝OD，AD＝3，则DB的长为 　 ． 5．（2025•甘谷县一模）如图，O为△ABC三个内角平分线的交点，AB＝6，将△ABC向下平移得到△FGO，OF、OG分别与AB相交于点D、E，则图中阴影部分的周长为 　 ． 6．（2025春•雁塔区期末）如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P．PE⊥AC交AC的延长线于点E．若△ABC的周长为9，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝ 　 ． 7．（2025春•西山区期末）如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，若MN＝4，△PMN的面积是6，△OMN的面积是9，则OM+ON的长是 　 　 ． 8．（2024秋•兴庆区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB． （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 14.3角的平分线的性质5大题型典例剖析举一反三训练 第一部分 典例剖析+举一反三训练 题型1 角平分线性质的应用 【典例1】1．（2023秋•琼海期末）如图，△ABC，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，有下列四个结论： ①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等腰三角形性质求出AD⊥BC，BD＝DC，根据角平分线性质得出DE＝DF，根据勾股定理求出AE＝AF，即可得出答案． 【详解】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， ∴∠EDA+∠BAD＝∠FDA+∠CAD＝90°， ∴∠EDA＝∠FDA， 即DA平分∠EDF，∴①正确； ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 由勾股定理得：AE2＝AD2﹣DE2，AF2＝AD2﹣DF2， ∴AE＝AF，∴②正确； ∵AC＝AB，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，AD平分BC， ∴AD上的点到B、C两点的距离相等，∴③正确； ∵AD平分∠EAF，也平分∠EDF， ∴到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等，∴④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力． 【举一反三训练】 1．（2022秋•广州月考）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）求∠EDA的度数； （2）若AB＝10，AC＝8，DE，求点D到AC的距离． 【分析】（1）先根据∠B＝50°，∠C＝70°，求出∠BAC＝60°，然后根据角平分线的定义求出∠EDA即可； （2）根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝60°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD∠BAC＝30°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90° ∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°； （2）过点D作DF⊥AC于点F． ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DF＝DE． ∴点D到AC的距离为． 【点睛】此题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 2．（2024秋•旬阳市期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝4cm，AC＝3cm，DE的长为2cm，则△ABC的面积是 　10　 cm2． 【分析】根据角平分线性质求出DE＝DF＝2cm，根据三角形面积公式得出方程AB×28×2＝18，求出即可． 【详解】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝2cm， ∴DF＝DE＝2cm， ∴△ABC面积＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC4×23×2＝7（cm2）， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出DF长和得出关于AB的方程． 3．（2021秋•寻乌县期末）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（　　） A．58° B．64° C．122° D．124° 【分析】根据角平分线的性质定理的逆定理得到∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，利用三角形内角和得到∠BOC＝90°∠A，然后把∠A＝64°代入计算即可． 【详解】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等， 即O点到BA和BC的距离相等，O点到CA和CB的距离相等， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB， ∴∠BOC＝180°（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BOC＝180°（180°﹣∠A） ＝90°∠A ＝90°64° ＝122°． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理，确定O点为角平分线的交点是解决问题的关键． 题型2 角平分线判定的应用 【典例2】（2023秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE平分∠BAD． 【分析】过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE＝EF，根据等量代换可得BE＝EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD． 【详解】证明：如图，过点E作EF⊥DA于点F， ∵∠C＝90°，DE平分∠ADC， ∴CE＝EF， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴BE＝EF， 又∵∠B＝90°，EF⊥AD， ∴AE平分∠BAD． 【点睛】此题主要考查了梯形的面积，角平分线的性质和判定，关键是掌握角平分线的性质和判定定理． 【举一反三训练】 1．（2024秋•利辛县期末）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中垂线上 D．AB边的中线上 【分析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案． 【详解】解：如图： ∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME＝MF， ∴M在∠A的角平分线上， 故选：A． 【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 2．（2025春•菏泽期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上． 【详解】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上． 所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A． 【点睛】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键． 3．（2025春•东源县期末）如图1是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，支撑板的顶端C恰好是托板AB的中点．现量得AB＝10cm，当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，点B到直线DE的距离是（　　） A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 【分析】过点B作BF⊥DF，垂足为F，先利用线段的中点定义可得：BC＝5cm，然后利用角平分线的性质即可解答． 【详解】解：过点B作BF⊥DF，垂足为F， ∵顶端C恰好是托板AB的中点， ∴BCAB＝5（cm）， ∵射线DB恰好是∠CDE的平分线，BC⊥DC，BF⊥DF， ∴BC＝BF＝5cm， ∴点B到直线DE的距离是5cm， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型三 角平分线性质和判定的综合运用 【典例3】（2023秋•黄石期中）如图，△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于E． （1）如图1，若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数． （2）如图2，连AD，求证：AD平分∠CAM． （3）如图3，若△ABC周长为20，求BE的长． 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得：∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠DCN，由外角的性质可得结论； （2）作辅助线，根据角平分线的性质可得结论； （3）如图2，先根据HL证明Rt△ADQ≌Rt△ADP（HL），得AP＝AQ，同理得：BP＝BE，CQ＝CE，最后由△ABC周长为20可得结论． 【详解】（1）解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D， ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠DCN， ∵∠BAC＝68°， ∴∠ACN﹣∠ABC＝∠BAC＝68°， ∴∠DCN﹣∠CBD∠BAC68°＝34°， ∵∠BDC＝∠DCN﹣∠CBD， ∴∠BDC＝34°； （2）证明：如图2，过点P作DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q， ∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴DP＝DE，DQ＝DE， ∴DP＝DQ， ∴AD平分∠CAM； （3）解：如图2，由（2）知：DP＝DQ， 在Rt△ADQ和Rt△ADP中， ， ∴Rt△ADQ≌Rt△ADP（HL）， ∴AP＝AQ， 同理得：BP＝BE，CQ＝CE， ∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝20， ∴AB+BC+AP+CE＝20， ∵AB+AP＝BC+CE， ∴BC+CE＝10， 即BE＝10． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的定义和性质等知识，利用角平分线的性质进行证明是解题的关键． 【举一反三训练】 1．（2025春•宣汉县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积． 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出∠ACD，∠DCE的度数即可得到答案； （2）过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，利用角平分线的性质定理，推出EM＝EN，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设EM＝EH＝EN＝x，利用S△ACD＝S△ACE+S△CDE，求出x＝3，从而求出△ABE的面积即可． 【详解】（1）解：由条件可得∠ACD＝180°﹣∠ACB＝80°， ∵EH⊥BD，∠CEH＝50°， ∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝40°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝40°． （2）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD， ∴EM＝EH， 由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝40°，即CE平分∠ACD， 由条件可得EN＝EH， ∴EM＝EN， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF； （3）解：如上图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， 由（2）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ACD＝24， ∴S△ACE+S△DCE＝24， ∴，即， ∴， ∴x＝3， ∴EM＝3， ∵AB＝10， ∴△ABE的面积为． 【点睛】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． 2．（2025春•金台区期末）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°． （1）∠ACE的度数是　35°　 ； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 【分析】（1）先求出∠ACD＝70°，再根据直角三角形的两个锐角互余可得∠DCE＝40°，然后根据∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE即可得； （2）过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，先根据角平分线的性质可得EM＝EH，EN＝EH，从而可得EM＝EN，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，则EM＝EH＝EN，设EM＝EH＝EN＝x，再根据S△ACE+S△DCE＝S△ACD＝21和三角形的面积公式可得x的值，从而可得EM的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）解：∵∠ACB＝110°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝70°， ∵EH⊥BD，∠CEH＝55°， ∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝35°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝35°． （2）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD， ∴EM＝EH， 由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝35°，即CE平分∠ACD， ∴EN＝EH， ∴EM＝EN， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF． （3）解：由（2）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ACD＝21， ∴S△ACE+S△DCE＝21， ∴， 又∵AC+CD＝14， ∴， ∴EM＝3， ∵AB＝8， ∴△ABE的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 题型四 三角形的角平分线与面积 【典例4】（2025•罗湖区模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 【分析】过D点作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到DE＝DA，然后利用三角形的面积公式求S1：S2的值． 【详解】解：过D点作DE⊥BC于E，如图， ∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB， ∴DE＝DA， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【举一反三训练】 1．（2024秋•忻州期末）如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　4：3　 ． 【分析】根据三角形的面积公式和角平分线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵BF＝2EF．S△DEF＝2， ∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6， ∵点E为AD的中点， ∴S△ABD＝2S△BDE＝2×6＝12， ∵S△ABC＝21， ∴S△ACD＝21﹣12＝9， 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DM＝DN， ∴， 则AB：AC＝4：3， 故答案为：4：3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．（2024秋•方城县期末）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝6，E为BC中点，AD为△ABC的角平分线，△ABC的面积记为S1，△ADE的面积记为S2，则 　1：10　 ． 【分析】根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作DM⊥AB，DN⊥AC， ∵AD为△ABC的角平分线， ∴DM＝DN， ∵AB＝4，AC＝6，E为BC中点， ∴， ∴， 设S△ABD＝2x，S△ADC＝3x，则S△ABC＝5x，， 则， 故答案为：1：10． 【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 3．（2025春•冷水滩区月考）如图，BO，CO分别平分∠ABC、∠ACB，且OD⊥BC于点D，ABC的周长为24cm，OD＝3cm，则ABC的面积为 　36cm2　 ． 【分析】过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，由角平分线的性质推出OM＝OD，ON＝OD，由三角形的面积公式得到△ABC的面积（AB+BC+AC）•OD＝36（cm2）． 【详解】解：过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N， ∵BO，CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC， ∴OM＝OD，ON＝OD， ∴△ABC的面积＝△OBC的面积+△OAC的面积+△OAB的面积， ∴△ABC的面积BC•ODAC•OMAB•ON（AB+BC+AC）•OD， ∵ABC的周长为24cm，OD＝3cm， ∴△ABC的面积24×3＝36（cm2）． 故答案为：36cm2． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出OM＝OD，ON＝OD． 题型五 角平分线基本作图 【典例5】（2025春•东港市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，若AB＝3，AC＝5，则△CDE的周长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】由角平分线的性质推出DE＝DB，判定Rt△ABD≌Rt△AED（HL），推出AE＝AB＝3，求出CE＝2，由勾股定理求出BC＝4，得到△CDE的周长＝BC+CE＝6． 【详解】解：由题意知：AD平分∠BAC， ∵∠ABC＝90°， ∴DB⊥AB， ∵DE⊥AC， ∴DE＝DB， ∵AD＝AD， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AB＝3， ∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5， ∴BC4， ∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝CD+BD+CE＝BC+CE＝4+2＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由角平分线的性质推出BD＝DE，判定Rt△ABD≌Rt△AED（HL），推出AE＝AB． 【举一反三训练】 1．（2025春•曲沃县期末）如图，已知∠AOB＝45°，以点O为圆心，适当长度为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，过点P作PQ∥OB交OA于点Q，则∠OPQ的度数是（　　） A．22.5° B．30° C．20° D．25° 【分析】由作图可得OP平分∠AOB，根据角平分线的定义求出的度数∠BOP，根据平行线的性质即可求出∠OPQ的度数． 【详解】解：∵PQ∥OB交OA于点Q， ∴∠OPQ＝∠BOP． 已知∠AOB＝45°， 由作图可得：OP平分∠AOB， ∴， ∴∠OPQ＝∠BOP＝22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，平行线的性质，掌握角平分线的作图和平行线的性质是解题的关键． 2．（2025春•温江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点F，已知AB＝5，，则CF的长为 　　 ． 【分析】如图，过点F作FH⊥AB于点H．证明CF＝FH，利用三角形面积公式求出FH即可． 【详解】解：如图，过点F作FH⊥AB于点H． ∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC， ∴CF＝FH， ∵•AB•FH，AB＝5， ∴FH， ∴CF＝FH． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． 3．（2025春•乐平市期末）已知，如图，∠AOB中，在OA和OB边上分别截取OM，ON，使OM＝ON，分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，作射线OE，点P，D分别是射线OE，OB上一点，过点P作PC⊥OA，垂足为点C，连接PD，若PC＝3，OD＝4，则△POD的面积是 　6　 ． 【分析】根据基本作图，可知OP平分∠AOB，过点P作PF⊥OB于F，根据角平分线的性质得出PF＝PC＝3，那么△POD的面积OD•PF． 【详解】解：由题意可知，OP平分∠AOB， 如图，过点P作PF⊥OB于F， ∵PC⊥OA，垂足为点C， ∴PF＝PC＝3， ∴△POD的面积OD•PF4×3＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的性质，三角形的面积，根据基本作图得出OP平分∠AOB是解题的关键． 第2部分 专题提优训练 1．（2024秋•安庆期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【分析】过P点作PE⊥OB于E点，如图，先根据角平分线的性质得到PE＝PC＝3，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．（2025春•竞秀区月考）如图，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别是点D、E、F，且AB＝10，BC＝8，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别是（　　） A．2，2，2 B．3，3，3 C．4，4，4 D．2，3，5 【分析】先利用勾股定理计算出AC＝6，再根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，利用面积法得8×OD6×OE10×OF8×6，即4OD+3OD+5OD＝24，则可求出OD＝2，从而得到点O到三边AB、AC和BC的距离都为2． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC6， ∵点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB， ∴OD＝OE＝OF， ∵S△OBC+S△OAC+S△OAB＝S△ABC， ∴8×OD6×OE10×OF8×6， 即4OD+3OD+5OD＝24， 解得OD＝2， ∴点O到三边AB、AC和BC的距离分别是2，2，2． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3．（2025春•新城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，若AC＝3，BC＝4．则下列结论中正确有（　　） ①CD＝DE；②∠CDG＝∠CGD；③；④S△BCG：S△BFG＝5：4． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】①根据角平分线性质即可对结论①进行判断； ②根据∠FGB+∠FBG＝90°，∠CGD＝∠FGB得∠CGD+∠FBG＝90°，根据BD平分∠ABC得∠CBD＝∠FBG，进而得∠CGD+∠CBD＝90°，再根据∠CDG+∠CBD＝90°得∠CDG＝∠CGD，由此可对结论②进行判断； ③先由勾股定理求出AB＝5，依据“HL”判定Rt△BDE和Rt△BDC全等得BE＝BC＝4，进而得AE＝1，设CD＝DE＝a，则AD＝3﹣a，在Rt△ADE中，由勾股定理得CD＝DE＝a，继而得S△ADEAE•DE，由此可对结论③进行判断 ④过点G作GH⊥BC于点H，根据角平分线性质得GH＝GF，由三角形面积公式得S△BCG：S△BFG＝BC：BF，再由三角形的面积公式求出CF＝2.4，进而由勾股定理求出BF＝3.2，继而得S△BCG：S△BFG＝4：3.2＝5：4，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵BD平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE， 故结论①正确； ②在Rt△BFG中，∠FGB+∠FBG＝90°， ∵∠CGD＝∠FGB， ∴∠CGD+∠FBG＝90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠FBG， ∴∠CGD+∠CBD＝90°， 在Rt△BCD中，∠CDG+∠CBD＝90°， ∴∠CDG＝∠CGD， 故结论②正确； ③在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理得：AB5， 在Rt△BDE和Rt△BDC中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL）， ∴BE＝BC＝4， ∴AE＝AB﹣BE＝1， 设CD＝DE＝a，则AD＝AC﹣CD＝3﹣a， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2， ∴（3﹣a）2＝a2+12， 解得：a， ∴CD＝DE＝a， ∴S△ADEAE•DE； ④过点G作GH⊥BC于点H，如图所示： ∵点G是∠ABC平分线上的点，GF⊥AB， ∴GH＝GF， ∴S△BCGBC•GH，S△BFGBF•GF， ∴S△BCG：S△BFG＝BC：BF， 由三角形的面积公式得：S△ABCAB•CFAC•BC， ∴CF2.4， 在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF3.2， ∴S△BCG：S△BFG＝BC：BF＝4：3.2＝5：4， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 4．（2025春•锦州期末）如图，∠AOB的内部有两条射线OC，OD，∠AOC＝∠COD＝∠DOB，DB⊥OB于点B，连接AD交OC于点C．若OA＝OD，AD＝3，则DB的长为 　　 ． 【分析】先根据已知角的关系及OC⊥AD，得出OC是AD的垂直平分线，得到AC的长度，再利用角平分线的性质求解． 【详解】解：∠AOB的内部有两条射线OC，OD，∠AOC＝∠COD＝∠DOB，设∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝α， ∵OA＝OD，AD＝3， ∴OC⊥AD，且， ∴， ∵∠COD＝∠DOB，DB⊥OB，OC⊥AD， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一及角平分线的性质是解题的关键． 5．（2025•甘谷县一模）如图，O为△ABC三个内角平分线的交点，AB＝6，将△ABC向下平移得到△FGO，OF、OG分别与AB相交于点D、E，则图中阴影部分的周长为 　6　 ． 【分析】连接OA，OB，由OA平分∠BAC，得到∠OAD＝∠OAC，由平行线的性质推出∠AOD＝∠∠OAC，因此∠OAD＝∠AOD，推出AD＝OD，同理BE＝OE，得到阴影部分的周长＝AB＝6． 【详解】解：连接OA，OB， ∵O为△ABC三个内角平分线的交点， ∴OA平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠OAC， 由平移的性质得到：OF∥AC， ∴∠AOD＝∠∠OAC， ∴∠OAD＝∠AOD， ∴AD＝OD， 同理：BE＝OE， ∴阴影部分的周长＝OD+DE+OE＝AD+DE+BE＝AB＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查平移的性质，平行线的性质，角平分线定义，关键是由等角对等边得到AD＝OD，BE＝OE． 6．（2025春•雁塔区期末）如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P．PE⊥AC交AC的延长线于点E．若△ABC的周长为9，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝ 　5　 ． 【分析】过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP，根据角平分线的性质得到PF＝PG＝PE＝2，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP， ∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AB，PE＝2， ∴PF＝PG＝PE＝2， ∵S△BPC＝2， ∴BC×2＝2， 解得：BC＝2， ∵△ABC的周长为9， ∴AC+AB＝9﹣2＝7， ∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BPCAC•PEAB•PG﹣S△BPC7×2﹣2＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 7．（2025春•西山区期末）如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，若MN＝4，△PMN的面积是6，△OMN的面积是9，则OM+ON的长是 　10　 ． 【分析】过P作PH⊥MN于H，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，连接PO，由角平分线的性质推出PC＝PH，PD＝PH，得到PC＝PD，由三角形面积公式求出PH＝3，得到PC＝PD＝3，由△PMN的面积是6，△OMN的面积是9，得到△POM+△PON＝6+9＝15，由三角形面积公式得到OM•PCON•PD＝15，即可求出OM+ON＝10． 【详解】解：过P作PH⊥MN于H，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，连接PO， ∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB， ∴PC＝PH，PD＝PH， ∴PC＝PD， ∵△PMN的面积MN•PH＝6，MN＝4， ∴PH＝3， ∴PC＝PD＝3， ∵△PMN的面积是6，△OMN的面积是9， ∴△POM+△PON＝6+9＝15， ∴OM•PCON•PD＝15， ∴（OM+ON）×3＝15×2， ∴OM+ON＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到PC＝PD，由三角形的面积求出PH的长． 8．（2024秋•兴庆区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB． （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 【分析】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即DE＝CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF＝EB； （2）设CF＝x，则AE＝12﹣x，再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出结论． 【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E， ∴DE＝DC． 在Rt△CDF与Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝EB． （2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD＝DE． 在Rt△ACD与Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x， 解得x＝2，即CF＝2． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$