江西省新余市第四中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

新余四中2025年上学年高三开学考 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知命题，总有，则为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极小值点 B．3是函数的一个极值点 C．在处的切线的斜率大于0 D．的单减区间为 4．要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 5．已知展开式中各项系数之和为3，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 6．全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用． 例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况，为防止学生有所顾忌而不如实作答，可以设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3个红球，6个白球的盒子中任取3个球，取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3的倍数？”，未取到任何红球的学生回答问题二“你对食堂是否满意？”． 由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题他人并不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案． 已知某学校800名学生参加了该调查，且有250人回答的结果为“是”，由此估计学生对食堂的实际满意度大约为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数 ，若方程的实根个数为（    ） A． B． C． D． 8．已知分别是函数与的零点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知且，满足，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（多选题）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线为曲线和的公切线，则下列结论正确的为（    ） A．和关于直线对称 B．若，则 C．当时，和必存在两条公切线 D．当时， 第Ⅱ卷 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 13．的最小值为 . 14．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 16．（15分）如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为2，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体. (1)求这个组合体的体积； (2)若点F为AC的中点，求二面角的余弦值. 17．（15分）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 18．（17分）设两点的坐标分别为. 直线相交于点，且它们的斜率之积是. 设点的轨迹方程为. (1)求; (2)不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 19．（17分）已知函数． (1)若直线l过点，并且与曲线相切，求直线的方程； (2)设函数在上有且只有一个零点，求a的取值范围．（其中，e为自然对数的底数） ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 新余四中2025年上学年高三开学考参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D B A C C AD ABC 题号 11 答案 ACD 12． 13．1 14．1 15．【详解】（1）， 由，得；由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 的极小值为，无极大值．---------6分 （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减． ，． ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，． .------------13分 16．【详解】（1）因为三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，是等边三角形， 所以， 所以； 因为三棱锥的棱长均为2， 所以正三棱锥体积为一个棱长为的正方体减去四个三棱锥， 即， ---------7分 （2）如图所示，以E为坐标原点，EC，ED，EB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，设平面EBC的法向量为，易得， 设平面BCF的法向量为， 因为，得， 取，可得 设二面角的平面角大小为，由图易知，二面角为钝角， 则 故二面角的余弦值为---------15分 17．．【详解】（1）依题意，，， 当时，，解得，（舍去）. 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以（也符合）.---------7分 （2）由（1）得， 所以 .---------15分 18．【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线 的斜率， 同理，直线 的斜率， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程为， 即点的轨迹是除去 两点的椭圆.---------7分 （2）证明：设 ①当直线斜率不存在时，可知 ， 且有， 解得，此时直线为 0， ②当直线斜率存在时，设直线 ，则此时有： 联立直线方程与椭圆方程 ， 消去 可得： ， 根据韦达定理可得： ，， 所以， 所以， 所以 所以，则或， 当时，则直线 恒过点与题意不符，舍去， 故，直线恒过原点，结合①，②可知，直线恒过原点 ，原命题得证.---------17分 19．【详解】（1）由题可得， 设切点坐标为，则切线的斜率为， 所以切线l的方程为， 又切线l过点， 所以有，即， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 即只有唯一解，所以，． 所以直线l的方程为．---------17分 （2）因为，注意到， 所以所求问题等价于函数在上没有零点． 因为． 所以由，得，即， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． ①当，即时，在上单调递增，所以． 此时函数在上没有零点， ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，， 在上的最小值为， 所以当时，在上的最大值，即此时函数在上有零点． 当时，，此时函数在上没有零点， ③当，即时，在上单调递减， 所以在上满足， 此时函数在上没有零点． 综上，所求的a的取值范围是或．---------17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$