精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市临河区巴彦淖尔市衡越实验学校2024-2025学年八年级下学期7月月考数学试题

衡越实验学校2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教版八年级数学下册第16~20章（二次根式+勾股定理+平行四边形+一次函数+数据分析） 5．难度系数：0.65． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了考查甲、乙两块地中小麦的长势，分别从中随机抽出10株麦苗，测得麦苗高如图所示，若和分别表示甲、乙两块地麦苗高数据的方差，则（ ） A. B. C. D. 不确定 3. 已知，化简的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 小颖根据正比例函数的表达式得到如下四组，的对应值，其中“▲”处的值应为（ ） 1 3 6 2 ▲ A. 3 B. C. 6 D. 5. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得，与x轴、y轴分别交于点A、点B，若，则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 7. 如图，在正方形中，平分交于点E，点F 是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为44 D. 当时，的面积为20 第二部分（非选择题共76分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 9. 某校学生期末成绩满分为分，分别从德、智、体、美、劳五方面进行评价，五方面依次按确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他的期末成绩为________分． 10. 已知，则______． 11. 甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：A．；B．；C．甲的速度为8米/秒；D．当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒；其中不正确的结论有_______个． 12. 一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是_______． 三、解答题（本大题共6小题，满分64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 计算： （1）． （2）先化简，再求值，其中． 14. 为了增强“文化自信”，教育局大力推动“中华优秀传统文化进校园”活动，某校开展了“爱我中华知识竞赛”．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩均为整数，单位：分）进行分析，并将其分成四组：A（85分以下），B（85分至89分），C（90分至94分），D（95分及以上）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：81，82，83，86，91，93，96，98，100，100． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的是：91，93，93． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 92 众数 100 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，_____，_____． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． （3）已知该校七年级有700名学生、八年级有600名学生参加了此次“爱我中华知识竞赛”，请估计七、八年级参加此次竞赛的成绩不低于90分的学生人数． 15. 根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适种植方案？ 素材1 湖州市某中学为了加强劳动教育，拟建一处劳动实践园，2025年计划将其中100平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植总成本元与甲种植面积（平方米）的函数关系如右图所示，其中；乙种蔬菜的种植每平方米的成本为40元． 问题解决 任务1 列出函数关系 （1）求甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式； 任务2 确定种植成本 （2）若乙种蔬菜种植面积为55平方米，求2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为多少元？ 任务3 设计种植方案 （3）若甲种植面积不超过乙种植面积的3倍，设2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 16. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，． ①求证：平行四边形菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点D，与直线交于点C，且点C横坐标是． （1）求k的值及点A，D的坐标． （2）若点E的坐标是（），过点E作x轴的垂线交直线于点F，交直线于点G． ①当时，求点E的坐标； ②当时，直接写出四边形的面积． 18. 如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． （1）求证：； （2）在图1中，若在上，且，连接，求证：； （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡越实验学校2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教版八年级数学下册第16~20章（二次根式+勾股定理+平行四边形+一次函数+数据分析） 5．难度系数：0.65． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、0.3，0.4，0.5，不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 2. 为了考查甲、乙两块地中小麦的长势，分别从中随机抽出10株麦苗，测得麦苗高如图所示，若和分别表示甲、乙两块地麦苗高数据的方差，则（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，越稳定，即波动越小，由统计图可知甲的麦苗高的波动情况比乙的麦苗高的波动情况小，据此可得答案． 【详解】解：观察统计图可知，甲的麦苗高的波动情况比乙的麦苗高的波动情况小，故， 故选：B． 3. 已知，化简的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值，二次根式的性质，因为，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C 4. 小颖根据正比例函数的表达式得到如下四组，的对应值，其中“▲”处的值应为（ ） 1 3 6 2 ▲ A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据题意求出正比例函数解析式，即可得到答案． 【详解】解：将代入， 解得， ， 将代入， 解得． 故选：D． 5. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得，与x轴、y轴分别交于点A、点B，若，则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题．设直线对应的函数表达式为，根据，求得，求得直线的解析式为，再确定A点坐标，于是可得到的长． 【详解】解：直线向上平移得， 设直线对应的函数表达式为， ， 直线经过， ， 直线对应函数表达式为， 令，得， 解得， ， ， 故选A． 7. 如图，在正方形中，平分交于点E，点F 是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形判定与性质等知识，先根据证明，得出，根据正方形的性质和角平分线的定义求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形，平分， ， ， ， 故答案为：． 8. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为44 D. 当时，的面积为20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息，应用相关知识求解即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B正确，不符合题意； ∴平行四边形的周长为，故C正确，不符合题意； 当时，点P在中点处，如图， 此时的面积是面积的一半， 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴面积为，故D错误，符合题意． 故选：D． 第二部分（非选择题共76分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 9. 某校学生期末成绩满分为分，分别从德、智、体、美、劳五方面进行评价，五方面依次按确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他的期末成绩为________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的求解，找到各部分成绩对应的权数即可求解． 【详解】解：小明的期末成绩为： 故答案为： 10. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，先把变形为，然后把代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 详解】解：由， ∵， ∴原式 ， 故答案为：． 11. 甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：A．；B．；C．甲的速度为8米/秒；D．当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒；其中不正确的结论有_______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断C；然后根据甲的速度和乙的速度可以计算出的值，即可判断A和B；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断D． 【详解】解：由函数图象可得，甲的速度为(米/秒)，故C错误； 乙的速度为(米/秒)， ∴，故A错误，B正确； 设当甲、乙相距米时，甲出发了秒， 当两人相遇前相距米时，得， 解得， 两人相遇后相距米时，得， 解得， ∴当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒，故D错误； 则不正确的有3个， 故选：3． 12. 一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是_______． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据函数图象结合一次函数性质逐项判断，由一次函数图像及其性质可知的符号情况，从而可判断①，由两函数图像的交点情况可判断②，根据函数图象结合一次函数性质可判断③，利用特殊值法可判断④，即可解题． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， .∴， ∴，即，故②正确； ③∵， ∴ 当的值每增加，，故③错误， 当时，由图象可得：，故④错误． 综上所述，正确的是①②． 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共6小题，满分64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 计算： （1）． （2）先化简，再求值，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂与负整数指数幂、实数的绝对值，二次根式的化简；分式的混合运算，分母有理化等知识，正确计算是解题的关键； （1）分别计算零指数、实数的绝对值、化简二次根式、负整数指数幂，再加减即可； （2）先计算括号，再计算除法，最后代值计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 当时，原式． 14. 为了增强“文化自信”，教育局大力推动“中华优秀传统文化进校园”活动，某校开展了“爱我中华知识竞赛”．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩均为整数，单位：分）进行分析，并将其分成四组：A（85分以下），B（85分至89分），C（90分至94分），D（95分及以上）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：81，82，83，86，91，93，96，98，100，100． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的是：91，93，93． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 92 众数 100 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，_____，_____． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． （3）已知该校七年级有700名学生、八年级有600名学生参加了此次“爱我中华知识竞赛”，请估计七、八年级参加此次竞赛的成绩不低于90分的学生人数． 【答案】（1）40，93，100 （2）八年级的竞赛成绩更好，理由见解析，（答案不唯一） （3）估计七、八年级参加此次竞赛的成绩不低于90分的学生人数有840人 【解析】 【分析】本题考查统计图表，求中位数和众数，利用中位数做决策： （1）根据中位数和众数的确定方法，求出，求出C组人数所占的百分比，用1减去其他组的百分比求出的值； （2）利用中位数进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：八年级组学生所占比例为：， ∴， ∴； 八年级的成绩排序后，第5个和第6个数据均为， ∴； 七年级的成绩中出现次数最多的是100， ∴； 【小问2详解】 八年级的竞赛成绩更好，理由如下： 两个年级的平均数和众数都相同，八年级的中位数比七年级的大，故八年级的竞赛成绩更好． 【小问3详解】 （人）； 答：估计七、八年级参加此次竞赛的成绩不低于90分的学生人数有840人． 15. 根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材1 湖州市某中学为了加强劳动教育，拟建一处劳动实践园，2025年计划将其中100平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植总成本元与甲种植面积（平方米）的函数关系如右图所示，其中；乙种蔬菜的种植每平方米的成本为40元． 问题解决 任务1 列出函数关系 （1）求甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式； 任务2 确定种植成本 （2）若乙种蔬菜种植面积为55平方米，求2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为多少元？ 任务3 设计种植方案 （3）若甲种植面积不超过乙种植面积的3倍，设2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 【答案】（1） （2）元 （3）甲种植面积为平方米，乙种植面积为平方米，为元 【解析】 【分析】（1）设甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式为，把，代入，解方程组即可求出、的值，进而得出甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式； （2）由乙种蔬菜种植面积为55平方米可得，甲种蔬菜种植面积为平方米，把代入，得元，然后求出乙种蔬菜种植总成本为元，两者相加，即可求出年甲乙两种蔬菜总种植成本； （3）甲种植面积为，则乙种植面积为，由题意得，解得，再结合，可得，可推出甲乙两种蔬菜总种植成本为，整理得，然后根据函数的增减性，并结合的取值范围，即可确定出的最小值． 【详解】解：（1）设甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式为， 把，代入，得： ， 解得：， 甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式为； （2）乙种蔬菜种植面积为55平方米， 甲种蔬菜种植面积为：（平方米）， 把代入，得： （元）， 乙种蔬菜种植总成本为：（元）， 年甲乙两种蔬菜总种植成本为：（元）， 答：年甲乙两种蔬菜总种植成本为元； （3）甲种植面积为，乙种植面积为， 由题意得：， 解得：， 又， ， 甲乙两种蔬菜总种植成本为：， 整理，得：， ， 随的增大而减小， 当时，取得其最小值，元， 此时，乙种植面积为：（平方米）， 答：甲种植面积为平方米，乙种植面积为平方米时，最小，的最小值为元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用（分配方案问题），求一次函数的函数值，解二元一次方程组等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出算式、函数关系式或不等式是解题的关键． 16. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得到，结合平行四边形的性质，得到 证明四边形是菱形． （2）①根据平行四边形的性质，得，结合，证明，从而证明平行四边形是菱形； ②延长至点，根据题意，得，结合平行四边形是菱形，得到，结合，，得到从而证明是等腰三角形． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ①证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②证明：延长至点，根据题意，得， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点D，与直线交于点C，且点C的横坐标是． （1）求k的值及点A，D的坐标． （2）若点E的坐标是（），过点E作x轴的垂线交直线于点F，交直线于点G． ①当时，求点E的坐标； ②当时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1），点A的坐标是，点D的坐标是 （2）①点E的坐标是；② 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、一次函数与坐标轴的交点以及与坐标轴围成的面积， 把代入求得点C的坐标，进一步代入求得的k值，令求得点A的坐标，令，求得点D的坐标； ①由题意得点F的坐标是，点G的坐标是，即可求得，．结合题意列出方程求得a，即可知点E的坐标； ②由题意得点E的坐标为．可得，进一步求得点F的坐标和点G的坐标，即可得和，利用分割法即可求得． 【小问1详解】 解：把代入，得． ∴点C的坐标是． 把点代入，得，解得． ． 对于，令，得，解得， 点A的坐标是． 对于，令，得，解得． 点D的坐标是． 【小问2详解】 ①∵点E的坐标是（）， ∴点E在点C的右侧． 轴， ∴点F的坐标是，点G的坐标是． ，． ， ，解得． ∴点E的坐标是． ②当时，点E的坐标为． ∵点D的坐标为， ． 把代入，得． ∴点F的坐标为． 把代入，得． ∴点G的坐标为． ，． ． 18. 如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． （1）求证：； （2）在图1中，若在上，且，连接，求证：； （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）因为为正方形，所以，，又因为，则，即可求证； （2）因为，，则有，又因为，所以，，则，故成立； （3）①过点作交的延长线于点，利用勾股定理即可求得的长；②把旋转得到，过作于，根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质可得到，，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：，， ， （已证）， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①如图，过点C作，交的延长线于点， 由（2）和题设知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； ②如图，把旋转得到，过作于， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $