人教版2025-2026学年七年级上册 2.3 有理数的乘方（2课时打包） 题型过关练 原卷+解析卷

2.3 有理数的乘方（第2课时） 题型过关练 【题型1】用科学记数法表示较大的数 （2025春•沿河县校级月考）2024年10月10日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将卫星互联网高轨卫星03星送入预定轨道．高轨道卫星基本上和地球同步转动，其速度大约为3100米/秒，数据3100用科学记数法表示为（　　）典例 A．0.31×104 B．3.1×104 C．31×102 D．3.1×103 【答案】D． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：3100＝3.1×103． 故选：D． 方法点拨 科学记数法的形式a×10n中a和n的确定方法： （1）确定a的方法：将小数点移到左起第1个数字的后边即可得到a的取值． （2）确定n的方法有两种：一是数小数点移动的位数，小数点移动几位，n就是几；二是数原数的整数位数，原数的整数位数减1就是n的值． 【变式1】（2024秋•沾化区期末）粮食是人类赖以生存的重要物质基础．2024年我国粮食总产量预计再创新高，将首次突破1.4万亿斤．该数据可用科学记数法表示为（　　） A．1.4×1011斤 B．1.4×1012斤 C．1.4×108斤 D．1.4×1013斤 【变式2】（2024秋•西双版纳期末）西双版纳傣族自治州属热带季风气候，全区低山连绵、河流纵横、四季常青，是中国热带原始森林保存较好的地区，各级自然保护区面积约6228000亩，以“动植物王国”闻名中外．6228000用科学记数法可以表示为（　　） A．622.8×104 B．62.28×105 C．6.228×106 D．6228×103 【变式3】（2025•翠屏区校级模拟）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（　　） A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108 【题型2】还原用科学记数法表示的数的方法 （2024•岱岳区二模）2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数262310…0用科学记数法表示为2.6231×109，则原数中0的个数为（　　）典例 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：2.6231×109＝2623100000， 即原数中0的个数为5． 故选：C． 方法点拨 还原用科学记数法表示的数的方法： 把用科学记数法表示的数a×10n（其中1<<10，n是正整数）还原成原数时，只需将小数点向右移动n位，并把乘号和10n去掉即可，注意，在移动小数点时，若数位不足，则需用0补齐． 【变式1】（2019•宿迁模拟）一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】下列用科学记数法写出的数，原来各是多少？ （1）1×106； （2）3.2×106； （3）﹣6.8×107． 【变式3】下列用科学记数法表示的数，原来各是多少？ （1）4.8×106； （2）﹣1.39×109． 【题型3】取近似数和确定近似数的精确度 （2024秋•沙市区期末）按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（　　）典例 A．3.704≈3.70（精确到十分位） B．0.123≈0.1（精确到0.1） C．39.27≈40（精确到个位） D．0.01462≈0.015（精确到0.0001） 【答案】B 【分析】写出各个选项中的近似数，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：3.704≈3.7（精确到十分位），故选项A不符合题意； 0.123≈0.1（精确到0.1），故选项B符合题意； 39.27≈39（精确到个位），故选项C不符合题意； 0.01462≈0.0146（精确到0.0001），故该选项D不符合题意； 故选：B． 方法点拨 1．取近似数的方法： 根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法． 2．确定近似数的精确度的方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一个数位． 【变式1】（2024秋•西陵区期末）小华称得一个物体的质量为2.108kg，用四舍五入法将2.108精确到0.01的近似数为（　　） A．2 B．2.10 C．2.1 D．2.11 【变式2】（2024秋•广州期末）用四舍五入法对1.8971取近似数，精确到0.01，得到的正确结果是（　　） A．1.89 B．1.9 C．1.90 D．1.897 【变式3】（2024秋•南木林县校级期末）用四舍五入法，把3.90461精确到百分位，取得近似值为（　　） A．3.9 B．3.90 C．3.91 D．3.905 【题型4】已知近似数求原数的取值范围 （2024秋•祁东县校级期中）用四舍五入法得到的近似数0.270．其准确数a的范围是（　　）典例 A．0.2695≤a＜0.2705 B．0.265≤a＜0.275 C．0.27≤a＜0.28 D．0.2695≤a≤0.2705 【答案】A 【分析】由于a的近似值为0.270，则由四舍五入近似可得a的取值范围，即看万分位上的数． 【解答】解：由题意得，当a满足0.2695≤a＜0.2705时，得到的近似数为0.270． 故选：A． 方法点拨 由近似数确定原数的取值范围的方法： （1）在近似数的最后一位之后再取一位，数值记为0； （2）在这一位上加5是最大数，减5是最小数，注意含小不含大． 【变式1】（2024秋•临沂期中）把a精确到十分位的近似数是23.6，则a的取值范围是（　　） A．23.55＜a＜23.65 B．23.55≤a＜23.65 C．23.55≤a≤23.64 D．23.54＜a≤23.65 【变式2】（2024秋•西湖区校级期中）近似数3.14所表示的准确数a的取值范围是（　　） A．3.140≤a＜3.145 B．3.13＜a≤3.14 C．3.135＜a＜3.145 D．3.135≤a＜3.145 【变式3】（2024秋•贺州期中）数a的近似值为1.30，那么a的真实值的范围是（　　） A．1.295＜a≤1.305 B．1.295≤a＜1.305 C．1.25＜a＜1.35 D．1.25≤a＜1.35 【题型5】偶次幂的非负性的应用 （2025春•芦淞区期末）已知|a+5|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　）典例 A．25 B．﹣25 C．10 D．﹣10 【答案】A． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+5|+（b﹣2）2＝0， ∴a+5＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣5，b＝2， ∴ab＝（﹣5）2＝25． 故选：A． 方法点拨 任何有理数的偶次幂都是非负数．即： (n为正整数)．特别地，． 若几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0，据此可列出含有所求字母的等式，进而求得字母或与字母有关的式子的值． 【变式1】（2024秋•济南期末）已知（a﹣3）2+|b﹣2|＝0，求ba的值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．6 【变式2】（2024秋•望奎县校级期中）若|b+2|+（a﹣3）2＝0，则ba的值为（　　） A． B． C．﹣8 D．8 【变式3】（2024•资阳）若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则ab＝　 　 ． 【题型6】乘方的实际应用问题 （2024秋•江山市期末）在理想的实验环境下，某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个．经过1个小时，这种细菌由1个分裂成（　　）典例 A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】D 【分析】利用有理数的乘方法则列式计算即可． 【解答】解：∵某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个， ∴经过1个小时，这种细菌分裂3次， ∴经过1个小时，这种细菌由1个分裂成23＝8个． 故选：D． 方法点拨 在实际生活中，有些问题需要用乘方知识来解决．如折纸问题，病毒（或细胞）分裂问题等，凡是每次增加或减少的幅度相同（如每次翻倍地增加或每次减半地减少），这样的问题都与乘方有着千丝万缕的联系．这类问题往往需要利用乘方的定义、乘方的运算法则来解决． 【变式1】（2025春•让胡路区校级月考）一根1m长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第2024次剪完后剩下铜丝的长度是（　　） A．（）2024m B．（）2023m C．（）2024m D．（）2023m 【变式2】（2025•盘龙区校级模拟）如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（　　） A．16个 B．216个 C．8个 D．28个 【变式3】（2025•六盘水模拟）如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（　　） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 有理数的乘方（第1课时） 题型过关练 【题型1】乘方的定义 （2025•朝阳区校级模拟）下列说法不正确的是（　　）典例 A．2×5可表示两个5相加 B．2×5可表示五个2相加 C．25可表示两个5相乘 D．25可表示五个2相乘 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法和乘方的定义判断即可得出答案． 【解答】解：A、2×5可表示两个5相加，故不符合题意； B、2×5可表示五个2相加，故不符合题意； C、25可表示五个2相乘，故符合题意； D、25可表示五个2相乘，故不符合题意； 故选：C． 方法点拨 一个数可以看作这个数本身的一次幂．如：3就是31，m就是m1，指数1通常省略不写；指数是2时也读作平方，指数是3时也读作立方．如：32也读作“3的平方”，23也读作“2的立方”． 【变式1】（2025•丰满区校级三模）45表示（　　） A．4个5相乘 B．5个4相乘 C．5与4的积 D．5个4相加的和 【变式2】（2025•朝阳区校级二模）对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（　　） A．指数是﹣3 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【变式3】（2025•红花岗区校级模拟）下列说法正确的是（　　） A．﹣35的底数是﹣3 B．23表示3个2相加 C．（﹣2）3与﹣23意义相同 D．﹣23的指数是3 【题型2】有理数乘方的运算 （2025•武安市二模）对于，若m＝2025，则其结果为（　　）典例 A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】运用乘方的知识进行计算、求解． 【解答】解：（﹣3）m， ∵负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数， ∴m＝2025时，（﹣3）m是负数， 故选：B． 方法点拨 乘方运算法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 【变式1】（2024秋•平山县期末）下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 【变式2】（2024秋•金沙县期末）下列运算正确的是（　　） A．（﹣2）3＝8 B．﹣22＝﹣4 C．33＝9 D．23＝6 【变式3】（2025•石家庄三模）下列选项中是负数的是（　　） A．（﹣3）2 B．﹣（﹣1.5） C．|﹣2| D．﹣12020 【题型3】有理数的混合运算 典例 （2024秋•任城区期末）在数学课上，老师让A、B、C、D，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（　　） A．9﹣32÷8＝0÷8＝0 B．24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0 C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的混合运算的运算顺序进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、9﹣32÷8 ＝9﹣9÷8 ＝9 ， 故A不符合题意； B、24﹣（4×32） ＝24﹣（4×9） ＝24﹣36 ＝﹣12， 故B不符合题意； C、（36﹣12） ＝（36﹣12） ＝3612 ＝24﹣8 ＝16， 故C符合题意； D、（﹣3）23 ＝93 ＝9×3×3 ＝81， 故D不符合题意； 故选：C． 方法点拨 有理数混合运算的顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【变式1】（2024秋•鹤山市期末）计算：1+（﹣2）3÷4＝ 　　 ． 【变式2】（2024秋•黄浦区校级期末）计算：　　 ． 【变式3】（2024秋•增城区期末）计算：（﹣2）2×5﹣28÷4． 【题型4】与混合运算有关的规律探究问题 （2025•五华区校级模拟）观察下列算式：21＝2 22＝4 23＝8 24＝16 25＝32 26＝64 27＝128 28＝256…，根据上述算式中的规律，你认为22011的末位数字是（　　）典例 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出22011的末位数字． 【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16， 25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…则每四个数循环一次． ∴22011的末位数字是8． 故选：D． 方法点拨 此类问题解题时，往往需要从最简单的数开始，观察、分析题中数与数之间或数与序数（数的个数）之间有什么关系． 根据不同的条件，我们常常要从下面几方面去观察、分析： 两个数之间是否有和差倍分的关系，或几倍+1，几倍-1，乘方关系，或二次幂+1，二次幂-1，或某两个数的和（或差、积）等于第三个数等，或者类似于这些关系的其他关系． 【变式1】（2025春•城关区校级期中）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是　 　 ． 【变式2】（2024秋•市中区期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表××年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例： 天干为：（2024﹣3）÷10＝202…1；地支为：（2024﹣3）÷12＝168…5； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2044年应为（　　） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．甲子年 【变式3】（2024秋•栖霞市期中）如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式再加上（　　）后，结果就是1． A． B． C． D． 【题型5】幂与相反数综合 （2025春•鲁山县期中）﹣23的含义正确的是（　　）典例 A．﹣2与3的积，即：﹣2×3＝﹣6 B．3个﹣2相乘的积，即：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝﹣8 C．3个2相乘的积的相反数，即：﹣2×2×2＝﹣8 D．2个3相乘的积的相反数，即：﹣3×3＝﹣9 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方，相反数的定义，逐句判断即可． 【解答】解：A、﹣2与3的积，不能写成幂的形式，故A选项错误； B、3个﹣2相乘的积，即：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）3，故B选项错误； C、﹣23的含义是3个2相乘的积的相反数，故C选项正确； D、2个3相乘的积的相反数，即：﹣3×3＝﹣32，故D选项错误． 故选：C． 方法点拨 1．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 2．互为相反数的两个数的幂的关系： （1）互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若a+b=0，则（n为正整数）． （2）互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若a+b=0，则（n为正整数）． 注：若n为正整数，通常用2n表示偶数，2n-1表示奇数． 【变式1】﹣25表示的意义是（　　） A．5个﹣2相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个﹣5相加 D．2个5相乘的相反数 【变式2】（2025•大庆一模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣23与（﹣2）3 B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣52与（﹣2）5 D．﹣（﹣3）与|﹣3| 【变式3】（2024秋•牟平区期末）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．32与﹣23 B．﹣23与（﹣2）3 C．﹣32与﹣（﹣3）2 D．（﹣3）2与﹣（﹣3）2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 有理数的乘方（第2课时） 题型过关练 【题型1】用科学记数法表示较大的数 （2025春•沿河县校级月考）2024年10月10日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将卫星互联网高轨卫星03星送入预定轨道．高轨道卫星基本上和地球同步转动，其速度大约为3100米/秒，数据3100用科学记数法表示为（　　）典例 A．0.31×104 B．3.1×104 C．31×102 D．3.1×103 【答案】D． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：3100＝3.1×103． 故选：D． 方法点拨 科学记数法的形式a×10n中a和n的确定方法： （1）确定a的方法：将小数点移到左起第1个数字的后边即可得到a的取值． （2）确定n的方法有两种：一是数小数点移动的位数，小数点移动几位，n就是几；二是数原数的整数位数，原数的整数位数减1就是n的值． 【变式1】（2024秋•沾化区期末）粮食是人类赖以生存的重要物质基础．2024年我国粮食总产量预计再创新高，将首次突破1.4万亿斤．该数据可用科学记数法表示为（　　） A．1.4×1011斤 B．1.4×1012斤 C．1.4×108斤 D．1.4×1013斤 【答案】B． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1.4万亿＝1400000000000＝1.4×1012． 故选：B． 【变式2】（2024秋•西双版纳期末）西双版纳傣族自治州属热带季风气候，全区低山连绵、河流纵横、四季常青，是中国热带原始森林保存较好的地区，各级自然保护区面积约6228000亩，以“动植物王国”闻名中外．6228000用科学记数法可以表示为（　　） A．622.8×104 B．62.28×105 C．6.228×106 D．6228×103 【答案】C． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：6228000＝6.228×106． 故选：C． 【变式3】（2025•翠屏区校级模拟）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（　　） A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108 【答案】C 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：∵3240万＝32400000， ∴3240万用科学记数法表示为3.24×107． 故选：C． 【题型2】还原用科学记数法表示的数的方法 （2024•岱岳区二模）2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数262310…0用科学记数法表示为2.6231×109，则原数中0的个数为（　　）典例 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：2.6231×109＝2623100000， 即原数中0的个数为5． 故选：C． 方法点拨 还原用科学记数法表示的数的方法： 把用科学记数法表示的数a×10n（其中1<<10，n是正整数）还原成原数时，只需将小数点向右移动n位，并把乘号和10n去掉即可，注意，在移动小数点时，若数位不足，则需用0补齐． 【变式1】（2019•宿迁模拟）一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 【解答】解：∵8.15×1010表示的原数为81500000000， ∴原数中“0”的个数为8， 故选：B． 【变式2】下列用科学记数法写出的数，原来各是多少？ （1）1×106； （2）3.2×106； （3）﹣6.8×107． 【答案】（1）1000000；（2）3200000；（3）﹣68000000． 【分析】将科学记数法a×10n表示的数“还原”成原来的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【解答】解：（1）1×106＝1000000； （2）3.2×106＝3200000； （3）﹣6.8×107＝﹣68000000． 【变式3】下列用科学记数法表示的数，原来各是多少？ （1）4.8×106； （2）﹣1.39×109． 【答案】（1）4800000； （2）﹣1390000000 【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：（1）4.8×106＝4800000； （2）﹣1.39×109＝﹣1390000000． 【题型3】取近似数和确定近似数的精确度 （2024秋•沙市区期末）按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（　　）典例 A．3.704≈3.70（精确到十分位） B．0.123≈0.1（精确到0.1） C．39.27≈40（精确到个位） D．0.01462≈0.015（精确到0.0001） 【答案】B 【分析】写出各个选项中的近似数，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：3.704≈3.7（精确到十分位），故选项A不符合题意； 0.123≈0.1（精确到0.1），故选项B符合题意； 39.27≈39（精确到个位），故选项C不符合题意； 0.01462≈0.0146（精确到0.0001），故该选项D不符合题意； 故选：B． 方法点拨 1．取近似数的方法： 根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法． 2．确定近似数的精确度的方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一个数位． 【变式1】（2024秋•西陵区期末）小华称得一个物体的质量为2.108kg，用四舍五入法将2.108精确到0.01的近似数为（　　） A．2 B．2.10 C．2.1 D．2.11 【答案】D 【分析】对千分位数字8，四舍五入即可． 【解答】解：2.108精确到0.01的近似值为2.11， 故选：D． 【变式2】（2024秋•广州期末）用四舍五入法对1.8971取近似数，精确到0.01，得到的正确结果是（　　） A．1.89 B．1.9 C．1.90 D．1.897 【答案】C 【分析】对一个数精确到哪一位就是对这一位后面的数字进行四舍五入． 【解答】解：用四舍五入法对1.8971取近似数，精确到0.01，得到的正确结果是1.90； 故选：C． 【变式3】（2024秋•南木林县校级期末）用四舍五入法，把3.90461精确到百分位，取得近似值为（　　） A．3.9 B．3.90 C．3.91 D．3.905 【答案】B 【分析】根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百分位． 【解答】解：3.90461≈3.90（精确到百分位）， 故选：B． 【题型4】已知近似数求原数的取值范围 （2024秋•祁东县校级期中）用四舍五入法得到的近似数0.270．其准确数a的范围是（　　）典例 A．0.2695≤a＜0.2705 B．0.265≤a＜0.275 C．0.27≤a＜0.28 D．0.2695≤a≤0.2705 【答案】A 【分析】由于a的近似值为0.270，则由四舍五入近似可得a的取值范围，即看万分位上的数． 【解答】解：由题意得，当a满足0.2695≤a＜0.2705时，得到的近似数为0.270． 故选：A． 方法点拨 由近似数确定原数的取值范围的方法： （1）在近似数的最后一位之后再取一位，数值记为0； （2）在这一位上加5是最大数，减5是最小数，注意含小不含大． 【变式1】（2024秋•临沂期中）把a精确到十分位的近似数是23.6，则a的取值范围是（　　） A．23.55＜a＜23.65 B．23.55≤a＜23.65 C．23.55≤a≤23.64 D．23.54＜a≤23.65 【答案】B 【分析】从一个近似数左边第一个不为0的数算起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．根据近似数的精确度求解． 【解答】解：近似数x精确到十分位是23.6，则x的取值范围为23.55≤a＜23.65． 故选：B． 【变式2】（2024秋•西湖区校级期中）近似数3.14所表示的准确数a的取值范围是（　　） A．3.140≤a＜3.145 B．3.13＜a≤3.14 C．3.135＜a＜3.145 D．3.135≤a＜3.145 【答案】D 【分析】根据五入的方法得近似数3.14，说明a千分位是5或比5大，百分位是3，所以a≥3.135；根据四舍的方法得近似数3.14，说明千分位小于5，百分位是4，所以a＜3.145，由此得到答案． 【解答】解：近似数3.14所表示的准确数a的取值范围是：3.135≤a＜3.145， 故选：D． 【变式3】（2024秋•贺州期中）数a的近似值为1.30，那么a的真实值的范围是（　　） A．1.295＜a≤1.305 B．1.295≤a＜1.305 C．1.25＜a＜1.35 D．1.25≤a＜1.35 【答案】B 【分析】根据四舍五入进行判断即可． 【解答】解：a的真实值的范围是1.295≤a＜1.305． 故选：B． 【题型5】偶次幂的非负性的应用 （2025春•芦淞区期末）已知|a+5|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　）典例 A．25 B．﹣25 C．10 D．﹣10 【答案】A． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+5|+（b﹣2）2＝0， ∴a+5＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣5，b＝2， ∴ab＝（﹣5）2＝25． 故选：A． 方法点拨 任何有理数的偶次幂都是非负数．即： (n为正整数)．特别地，． 若几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0，据此可列出含有所求字母的等式，进而求得字母或与字母有关的式子的值． 【变式1】（2024秋•济南期末）已知（a﹣3）2+|b﹣2|＝0，求ba的值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．6 【答案】C． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣2|＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣2＝0， ∴a＝3，b＝2， ∴ba＝23＝8． 故选：C． 【变式2】（2024秋•望奎县校级期中）若|b+2|+（a﹣3）2＝0，则ba的值为（　　） A． B． C．﹣8 D．8 【答案】C． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|b+2|+（a﹣3）2＝0， ∴b+2＝0，a﹣3＝0， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴ba＝﹣8． 故选：C． 【变式3】（2024•资阳）若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则ab＝　 　 ． 【答案】2 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（a﹣1）2+|b﹣2|＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝1，b＝2， ∴ab＝2， 故答案为：2． 【题型6】乘方的实际应用问题 （2024秋•江山市期末）在理想的实验环境下，某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个．经过1个小时，这种细菌由1个分裂成（　　）典例 A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】D 【分析】利用有理数的乘方法则列式计算即可． 【解答】解：∵某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个， ∴经过1个小时，这种细菌分裂3次， ∴经过1个小时，这种细菌由1个分裂成23＝8个． 故选：D． 方法点拨 在实际生活中，有些问题需要用乘方知识来解决．如折纸问题，病毒（或细胞）分裂问题等，凡是每次增加或减少的幅度相同（如每次翻倍地增加或每次减半地减少），这样的问题都与乘方有着千丝万缕的联系．这类问题往往需要利用乘方的定义、乘方的运算法则来解决． 【变式1】（2025春•让胡路区校级月考）一根1m长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第2024次剪完后剩下铜丝的长度是（　　） A．（）2024m B．（）2023m C．（）2024m D．（）2023m 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案． 【解答】解：第一次剪去铜丝的，剩下是， 第二次剪去剩下铜丝的，剩下是，⋯⋯ 第2024次剪完后剩下铜丝的长度是（）2024m． 故答案为：C． 【变式2】（2025•盘龙区校级模拟）如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（　　） A．16个 B．216个 C．8个 D．28个 【答案】B 【分析】根据题意得出规律第n个30分钟分裂为2n个细胞，即可求解． 【解答】解：根据题意可知，一个草履虫细胞第1个30分钟分裂成2个，即21个细胞， 一个草履虫细胞第2个30分钟分裂成4个，即22个；… 一个草履虫细胞第n个30分钟分裂为2n个细胞， 经过8小时即2×8＝16个30分钟，一个草履虫8个小时后可分裂为：216个细胞． 故选：B． 【变式3】（2025•六盘水模拟）如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（　　） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 【答案】B 【分析】根据1个标准篮球场的周长为86米，列式为8×210÷86再计算即可求解． 【解答】解：根据1个标准篮球场的周长为86米列式计算可得： 8×210÷86＝23×210÷86＝211÷86≈95（个）， ∴在第10秒时相当于100个标准篮球场的周长． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 有理数的乘方（第1课时） 题型过关练 【题型1】乘方的定义 （2025•朝阳区校级模拟）下列说法不正确的是（　　）典例 A．2×5可表示两个5相加 B．2×5可表示五个2相加 C．25可表示两个5相乘 D．25可表示五个2相乘 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法和乘方的定义判断即可得出答案． 【解答】解：A、2×5可表示两个5相加，故不符合题意； B、2×5可表示五个2相加，故不符合题意； C、25可表示五个2相乘，故符合题意； D、25可表示五个2相乘，故不符合题意； 故选：C． 方法点拨 一个数可以看作这个数本身的一次幂．如：3就是31，m就是m1，指数1通常省略不写；指数是2时也读作平方，指数是3时也读作立方．如：32也读作“3的平方”，23也读作“2的立方”． 【变式1】（2025•丰满区校级三模）45表示（　　） A．4个5相乘 B．5个4相乘 C．5与4的积 D．5个4相加的和 【答案】B 【分析】利用幂的意义判断即可得到结果． 【解答】解：45表示5个4相乘． 故选：B． 【变式2】（2025•朝阳区校级二模）对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（　　） A．指数是﹣3 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方意义解答即可． 【解答】解：A．（﹣3）2的指数是2，故选项A错误； B．（﹣3）2的底数是﹣3，故选项B错误； C．（﹣3）2的幂是9，故选项C正确； D．（﹣3）2表示2个﹣3相乘，故选项D错误． 故选：C． 【变式3】（2025•红花岗区校级模拟）下列说法正确的是（　　） A．﹣35的底数是﹣3 B．23表示3个2相加 C．（﹣2）3与﹣23意义相同 D．﹣23的指数是3 【答案】D 【分析】A．根据幂的底数的定义进行判断即可； B、C选项均根据乘方的意义进行判断即可； D．根据幂的指数的定义进行判断即可． 【解答】解：A．∵﹣35的底数是3，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； B．∵23表示3个2相乘，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； C．∵（﹣2）3表示3个﹣2相乘，﹣23表示3个2相乘的相反数，∴这两个数表示的意义不同，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； D．∵﹣23的指数是3，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【题型2】有理数乘方的运算 （2025•武安市二模）对于，若m＝2025，则其结果为（　　）典例 A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】运用乘方的知识进行计算、求解． 【解答】解：（﹣3）m， ∵负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数， ∴m＝2025时，（﹣3）m是负数， 故选：B． 方法点拨 乘方运算法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 【变式1】（2024秋•平山县期末）下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 【答案】B 【分析】A、B两个选项均按照乘方的意义，写成乘法计算出结果，C、D两个选项按照绝对值的性质进行计算，然后根据各个选项的计算结果进行判断即可． 【解答】解：A．∵（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，﹣22＝﹣2×2＝﹣4，∴﹣4≠4，故此选项不符合题意； B．∵（﹣1）3＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，﹣（﹣1）2＝﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，∴（﹣1）3＝﹣（﹣1）2，故此选项符合题意； C．∵﹣|﹣0.3|＝﹣0.3，﹣0.3≠0.3，故此选项不符合题意； D．∵当a≥0时，|a|＝a，当a＜0时，|a|＝﹣a，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2024秋•金沙县期末）下列运算正确的是（　　） A．（﹣2）3＝8 B．﹣22＝﹣4 C．33＝9 D．23＝6 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方运算法则计算即可判定． 【解答】解：A、计算结果是﹣8，原选项计算错误，不符合题意； B、﹣22＝﹣4，正确，符合题意； C、计算结果是27，原选项计算错误，不符合题意； D、计算结果是8，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（2025•石家庄三模）下列选项中是负数的是（　　） A．（﹣3）2 B．﹣（﹣1.5） C．|﹣2| D．﹣12020 【答案】D． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．（﹣3）2＝9＞0，是正数，不符合题意； B．﹣（﹣1.5）＝1.5＞0，是正数，不符合题意； C．|﹣2|＝2＞0，是正数，不符合题意； D．﹣12020＝﹣1＜0，是负数，符合题意； 故选：D． 【题型3】有理数的混合运算 典例 （2024秋•任城区期末）在数学课上，老师让A、B、C、D，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（　　） A．9﹣32÷8＝0÷8＝0 B．24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0 C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的混合运算的运算顺序进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、9﹣32÷8 ＝9﹣9÷8 ＝9 ， 故A不符合题意； B、24﹣（4×32） ＝24﹣（4×9） ＝24﹣36 ＝﹣12， 故B不符合题意； C、（36﹣12） ＝（36﹣12） ＝3612 ＝24﹣8 ＝16， 故C符合题意； D、（﹣3）23 ＝93 ＝9×3×3 ＝81， 故D不符合题意； 故选：C． 方法点拨 有理数混合运算的顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【变式1】（2024秋•鹤山市期末）计算：1+（﹣2）3÷4＝ 　　 ． 【答案】﹣1． 【分析】先算乘方，再算除法，最后算加法即可． 【解答】解：原式＝1+（﹣8）÷4 ＝1﹣2 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式2】（2024秋•黄浦区校级期末）计算：　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据有理数的乘方、有理数的加法可以解答本题． 【解答】解： ， 故答案为：． 【变式3】（2024秋•增城区期末）计算：（﹣2）2×5﹣28÷4． 【答案】13． 【分析】先做乘方，再计算乘除，最后做加减运算，即可得到结果． 【解答】解：（﹣2）2×5﹣28÷4 ＝4×5﹣28÷4 ＝20﹣7 ＝13． 【题型4】与混合运算有关的规律探究问题 （2025•五华区校级模拟）观察下列算式：21＝2 22＝4 23＝8 24＝16 25＝32 26＝64 27＝128 28＝256…，根据上述算式中的规律，你认为22011的末位数字是（　　）典例 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出22011的末位数字． 【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16， 25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…则每四个数循环一次． ∴22011的末位数字是8． 故选：D． 方法点拨 此类问题解题时，往往需要从最简单的数开始，观察、分析题中数与数之间或数与序数（数的个数）之间有什么关系． 根据不同的条件，我们常常要从下面几方面去观察、分析： 两个数之间是否有和差倍分的关系，或几倍+1，几倍-1，乘方关系，或二次幂+1，二次幂-1，或某两个数的和（或差、积）等于第三个数等，或者类似于这些关系的其他关系． 【变式1】（2025春•城关区校级期中）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是　 　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题中可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的．2009÷4＝502…1．所以可知22009的个位数字是2． 【解答】解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的， 2009÷4＝502…1， 所以22006的个位数字是2， 故答案为：2． 【变式2】（2024秋•市中区期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表××年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例： 天干为：（2024﹣3）÷10＝202…1；地支为：（2024﹣3）÷12＝168…5； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2044年应为（　　） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．甲子年 【答案】D 【分析】根据题意，可以计算出2004年对应的天干和地支，从而可以得到2044年应为农历哪一年． 【解答】解：由题意可得， 天干为：（2044﹣3）÷10＝204…1；地支为：（2044﹣3）÷12＝170…1； 对照天干地支表得出，2044年为农历甲子年， 故选：D． 【变式3】（2024秋•栖霞市期中）如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式再加上（　　）后，结果就是1． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可知：（）2+（）3+（）4+…+（）n+（）n＝1，然后即可解答本题． 【解答】解：由图可得， 再加上（）8后，结果就是1， 故选：D． 【题型5】幂与相反数综合 （2025春•鲁山县期中）﹣23的含义正确的是（　　）典例 A．﹣2与3的积，即：﹣2×3＝﹣6 B．3个﹣2相乘的积，即：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝﹣8 C．3个2相乘的积的相反数，即：﹣2×2×2＝﹣8 D．2个3相乘的积的相反数，即：﹣3×3＝﹣9 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方，相反数的定义，逐句判断即可． 【解答】解：A、﹣2与3的积，不能写成幂的形式，故A选项错误； B、3个﹣2相乘的积，即：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）3，故B选项错误； C、﹣23的含义是3个2相乘的积的相反数，故C选项正确； D、2个3相乘的积的相反数，即：﹣3×3＝﹣32，故D选项错误． 故选：C． 方法点拨 1．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 2．互为相反数的两个数的幂的关系： （1）互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若a+b=0，则（n为正整数）． （2）互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若a+b=0，则（n为正整数）． 注：若n为正整数，通常用2n表示偶数，2n-1表示奇数． 【变式1】﹣25表示的意义是（　　） A．5个﹣2相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个﹣5相加 D．2个5相乘的相反数 【答案】B 【分析】根据﹣25中没有括号，所以负号不参与乘方运算即可． 【解答】解：意义是5个2相乘的相反数， 故选：B． 【变式2】（2025•大庆一模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣23与（﹣2）3 B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣52与（﹣2）5 D．﹣（﹣3）与|﹣3| 【答案】B 【分析】﹣23表示2的立方的相反数，（﹣2）3表示﹣2的立方，﹣32表示3的平方的相反数，（﹣3）2表示﹣3的平方，﹣52表示5的平方的相反数，（﹣2）5表示﹣2的五次方，分别求出各选择支中各式的值，即可得到答案． 【解答】解：选项A，因为﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，所以﹣23＝（﹣2）3，不符合题意； 选项B，因为﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，所以﹣32与（﹣3）2互为相反数，符合题意； 选项C，因为﹣52＝﹣25，（﹣2）5＝﹣32，所以不符合题意； 选项D，因为﹣（﹣3）＝3，|﹣3|＝3，所以﹣（﹣3）＝|﹣3|，不符合题意． 故选：B． 【变式3】（2024秋•牟平区期末）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．32与﹣23 B．﹣23与（﹣2）3 C．﹣32与﹣（﹣3）2 D．（﹣3）2与﹣（﹣3）2 【答案】D 【分析】先计算结果，再根据互为相反数的定义进行判断即可． 【解答】解：A、32＝9，﹣23＝﹣8，不是互为相反数，故不合题意； B、﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，不是互为相反数，故不合题意； C、﹣32＝﹣9，﹣（﹣3）2＝﹣9，不是互为相反数，故不合题意； D、（﹣3）2＝9，﹣（﹣3）2＝﹣9，互为相反数，故符合题意； 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $$