湖北省武汉市九师联盟2026届高三上学期8月开学考试数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 6. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 已知直线，圆，则“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（ ） 价格（千元） 频数 150 600 180 50 20 A. 估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5 B. 估计1000名用户购买手机价格的平均数为8.45 C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6 D. 估计1000名用户购买手机价格的分位数不超过12 10. 已知△ABC中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 11. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，点满足，且直线与轴平行，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则直线的斜率为或 C. 若为的准线上任意一点，则直线的斜率成等差数列 D. 点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在处有极值，则实数________． 13. 已知向量满足，，且，则________． 14. 已知数列的前n项和为，且，，若对任意的，等式恒成立，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 16. 如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，点在棱上． （1）若为的中点，证明：； （2）若两条异面直线所成角的余弦值为，求的值． 17. 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，，，，，经统计得下表： 男生 人数 4 5 27 21 3 女生 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． （1）根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 （2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知双曲线经过点，动直线与恰有1个公共点，且与的两条互相垂直的渐近线分别交于点. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，求证：的面积为定值； （3）过的右焦点作两条互相垂直的直线，且与交于两点，与交于两点，若的中点为的中点为，求证：直线与轴垂直. 19. 已知函数. （1）若的图象在点处的切线过原点，求实数的值； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围； （3）求证：. 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明： 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）2 【17题答案】 【答案】（1） 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 24 36 60 女 8 32 40 合计 32 68 100 认为是否喜欢体育运动与性别有关联 （2） X 0 1 2 P 数学期望为 【18题答案】 【答案】（1） （2） 证明：当动直线的斜率不存在时，. 当动直线的斜率存在时，不妨设直线， 故由得， 从而，化简，得. 又因为双曲线的渐近线方程为， 由得所以，同理可得， 所以， 又原点到直线的距离， 所以，又，所以. 综上所述，的面积为定值1. （3） 证明：由题意可得，双曲线的右焦点为， 当直线与的斜率都存在时，设直线的方程为， 由得， 且， 所以， 因为点是的中点，所以. 因为，所以将换成，得. 因为点与点的纵坐标相同，所以直线与轴垂直， 当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时，易得； 当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，易得. 所以直线的方程为，与轴垂直. 综上所述，直线与轴垂直. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 要证，只要证. 令， 易知在上是增函数，且， 所以在上存在一个实数，使得，且在上单调递减，在上单调递增. 于是其极小值点满足， 也即，① 函数的极小值，亦为最小值为. 令，则， 令，因为在上是增函数，所以在上是减函数， ， ， 所以存在唯一一个数，使得，且当时，； 当时，， 于是其极大值点满足，即，② 函数的极大值，亦为最大值为 ， 结合①②及函数在上是增函数且知，且. 即的最小值与的最大值相等，所以， 所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学 答题卡 班 级： 姓 名： 贴条形码区 准考证号： (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 缺考标记 ▣ 缺考考生，由监考员贴条形码 (考生禁填】 并用2B铅笔填涂缺考标记 填 正确填涂 注 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在规定的位置，再认真核对条形码上的 准考证号姓名及考试科目，确认无误后将条形码粘贴在规定的位置。 涂 意 2.作答时，选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用05毫米黑色墨水签 样 字笔书写，字体工整笔迹清楚 错误填涂 3.必须在答题卡各题目规定的答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无 例[XIo[P] 项 微：在草稿纸试题卷上答题无效。 4.请保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 选择题答题区域（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C]CD] 6 [A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D 11LA][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 非选择题答题区域（请用0.5毫米黑色墨水签字笔书写） 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三开学考，数学第1页（共2页） WH 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三开学考·数学第2页（共2页） WH 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！