1.2 直角三角形 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固 一、勾股数 1.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.，2， B.，， C.1，1，2 D.9，12，15 2.下列三角形的边长是勾股数且能构造成直角三角形的有（　　） A.0.3；0.4；0.5 B.1；； C.6；7；8 D.11；60；61 3.下列各组数是勾股数的是（　　） A.a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5 B.a＝2，b＝2，c＝2 C.a＝4，b＝5，c＝6 D.a＝5，b＝12，c＝13 4.观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑨组勾股数：　   　． ①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41． 5.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第7个勾股数组为 　          　． 6.观察下列各组勾股数有哪些规律： 请解答： （1）当a＝11时，求b，c的值； （2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 7.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 二、最短路径问题 1.如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　） A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm 2.如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8 B.5 C.20 D.10 3.某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　） A.30cm B.30cm C.60cm D.20πcm 4.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 5.如图，已知圆柱的底面周长18cm，高为12cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是　 　cm． 6.（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 7.如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3） 三、直角三角形的性质 1.如图所示，直线a∥b,直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1=33°，则∠2的度数为（　　） A.57° B.47° C.67° D.33° 2.在ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，如图，则图中与∠B（∠B除外）相等的角的个数是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D，若∠1=∠2，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=62°，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1=         . 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC边上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD．若∠ABD=15°，则∠ABE的度数为         . 6.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF是△ABC 的角平分线，过点D作DG∥AF交BC于点G，求证：∠CEF=∠CGD． 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E． （1）若∠CEF=50°，求∠A的度数； （2）∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由． 四、用HL判定三角形全等 1.如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　） A.AC=AD B.AB=AB C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD 2.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC 3.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 4.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 5.如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为            . 6.在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 7.如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 五、勾股定理 1.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25，和144，则AB的长度为（　　） A.13 B.169 C.119 D. 2.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　） A. B. C. D. 3.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A.9 B.8 C.7 D.6 4.如图，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则正方形A，B，C，D的面积和是 　    　cm2． 5.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝5，则AB2+CD2＝　      　． 6.如图：已知AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE，且AE＝12，CD＝3，CE＝4，求AD的长． 7.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，﹣1），请写出顶点B，C的坐标，并求出△ABC中AC边上的高为多长． 六、勾股定理的应用 1.如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距6千米时，最短用时是（　　） A.0.4小时 B.0.5小时 C.0.6小时 D.0.8小时 2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2米．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　） A.2.5米 B.3米 C.1.5米 D.3.5米 3.有一辆装货的汽车，为了方便装运货物，使用了如图所示的钢架，其中∠ACB＝90°，AC＝1.2m，BC＝0.9m，则AB的长为（　　） A.1.2m B.1.5m C.1.8m D.15m 4.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　   　米． 5.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度的和AB为 　    　寸． 6.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 7.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 七、互逆命题与互逆定理 1.下列正确叙述的个数是（　　） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题是假命题． A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A.对顶角相等 B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数 C.两直线平行，内错角相等 D.如果a=b,那么a2=b2 3.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　） A.有两个角相等的三角形是等腰三角形 B.有两个底角相等的三角形是等腰三角形 C.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 D.不是等腰三角形的两个角不相等 4.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为                        ． 5.命题：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是                ，该逆命题是      命题（填“真”或“假”）． 6.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：                             ，结论：    ．（填序号） 证明：                           ． 7.（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB； （2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由． 八、勾股定理的的逆定理 1.在同一张方格纸上，如果点A用数对表示为（1，1），点B用数对表示为（4，1），点C用数对表示为（1，3），那么这个三角形ABC一定是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A.180°﹣α B.180°﹣2α C.90°+α D.90°+2α 3.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　） A. B. C. D. 4.如图，每个小正方形的边长为1． （1）三角形ABC是否是直角三角形？　    　．（填“是”或“否”） （2）AC边上的高为 　   　． 5.如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上，连接AC，AD． （1）∠DAC的大小为 　   　（度）； （2）∠ABC﹣∠DCE＝　     （度）． 6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段AC的长为 　     　，CD的长为 　   　，AD的长为 　    　． （2）通过计算说明△ACD是什么特殊三角形． 7.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题． （1）线段AB的长为 　     　； （2）若△ABC是直角三角形，且边BC的长度为，请在图中确定点C的位置，并补全△ABC． 北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固（参考答案） 一、勾股数 1.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.，2， B.，， C.1，1，2 D.9，12，15 【答案】D 【解析】A.，2，中，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； B.，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C.∵12+12≠22，∴不能构成勾股数，不符合题意； D.∵92+122＝152，∴能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 2.下列三角形的边长是勾股数且能构造成直角三角形的有（　　） A.0.3；0.4；0.5 B.1；； C.6；7；8 D.11；60；61 【答案】D 【解析】A.0.3，0.4，0.5，不是正整数，不符合勾股数的定义； B.1；；，不是正整数，不符合勾股数的定义； C.62+72≠82，不符合勾股数的定义； D.112+602＝612，符合勾股数的定义． 故选：D． 3.下列各组数是勾股数的是（　　） A.a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5 B.a＝2，b＝2，c＝2 C.a＝4，b＝5，c＝6 D.a＝5，b＝12，c＝13 【答案】D 【解析】A.0.3，0.4，0.5都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B.2不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C.52+42≠62，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意； D.52+122＝132，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意； 故选：D． 4.观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑨组勾股数：　   　． ①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41． 【答案】19，180，181． 【解析】∵①3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1， ②5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1， ③7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1，…， ∴第n组勾股数为： a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1， ∴第⑨组勾股数为a＝2×9+1＝19，b＝2×9×（9+1）＝180，c＝2×9×（9+1）+1＝181，即19，180，181． 故答案为：19，180，181． 5.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第7个勾股数组为 　          　． 【答案】（15，112，113） 【解析】由勾股数组（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中， 4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为5×（11+1）＝60，即（11，60，61）， 第6组勾股数中间的数为6×（13+1）＝84，即（13，84，61）， 第7组勾股数中间的数为7×（15+1）＝112，即（15，112，113）， 故答案为（15，112，113）． 6.观察下列各组勾股数有哪些规律： 请解答： （1）当a＝11时，求b，c的值； （2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【答案】解 （1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2， 得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121． 解得b＝60，c＝b+1＝61． （2）是勾股数． 理由：∵2212﹣2202＝（221+220）（221﹣220）＝441， 又∵212＝441，∴2212﹣2202＝212， ∴21，220，221是勾股数． 7.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 【答案】解 （1）当k＝4时，这一组勾股数是3，4，5． 故答案为：3，4，5． （2）当k大于2时，k2+[（k）2﹣1]2＝[（k）2+1]2． 证明：∵左边＝k2+[（k）2﹣1]2＝k2+[k2﹣1]2 ＝k2+k4+1﹣k2 ＝k4+k2+1； 右边＝[（k）2+1]2＝[k2+1]2＝k4+k2+1． ∴左边＝右边， ∴等式成立． 二、最短路径问题 1.如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　） A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm 【答案】C 【解析】将长方体展开，连接AB′， 则AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm， 根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm． 故选：C． 2.如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8 B.5 C.20 D.10 【答案】C 【解析】如图，线段AB即为所需彩带最短， 由图可知AC＝3×4＝12，BC＝16， ∴由勾股定理得，AB=， 故选：C． 3.某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　） A.30cm B.30cm C.60cm D.20πcm 【答案】B 【解析】∵圆锥的底面圆周长为20πcm， ∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20πcm， 设扇形的圆心角为n度， ∴＝20π， 解得n＝120， ∴∠ABA′＝120°， 作BC⊥AA′于点C， ∴∠BAA′＝30°， ∴BC＝15cm， ∴AC＝15cm， ∴AA′＝2AC＝30cm， ∴这条彩带的最短长度是30cm． 故选：B． 4.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 【答案】 【解析】如图， 将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离， AC＝＝（cm）． 答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm． 故答案为：． 5.如图，已知圆柱的底面周长18cm，高为12cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是　 　cm． 【答案】15 【解析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， ∵AC＝9cm，BC＝12cm， ∴AB＝＝15cm， 故答案为：15． 6.（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】解 （1）由题意得，该长方体中能放入木棒的最大长度是（cm）． （2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm， 所以最短路程为cm； （3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B＝＝13（cm）． 7.如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3） 【答案】解 把圆柱体展开如图， ∵点B应为展开图长方形一边的中点， ∴AC为底面圆周长的一半，AC＝6cm， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB＝＝＝10（cm）， ∴红线的长为10×2＝20（cm）， ∴至少需红线20cm． 三、直角三角形的性质 1.如图所示，直线a∥b,直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1=33°，则∠2的度数为（　　） A.57° B.47° C.67° D.33° 【答案】A 【解析】在直角△ABC中，∠ACB=90°， ∵∠1=33°， ∴∠3=180°-90°-33°=57°， ∵a∥b, ∴∠2=∠3=57°， 故选：A． 2.在ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，如图，则图中与∠B（∠B除外）相等的角的个数是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】∵DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， ∴∠B+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°， ∴∠B=∠FDA． ∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠B=∠DAC． ∵∠DAC+∠C=∠C+∠CDE=90°， ∴∠DAC=∠CDE． ∴图中与∠B（∠B除外）相等的角有∠FDA，∠DAC，∠CDE共三个． 故选：A． 3.如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D，若∠1=∠2，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 【答案】A 【解析】△ABC是直角三角形：理由如下： ∵ED⊥AB， ∴∠1+∠A=90°， ∵∠1=∠2， ∴∠2+∠A=90°， ∴∠ACB=90°， 即△ACB是直角三角形． 故选：A． 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=62°，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1=         . 【答案】76° 【解析】∵△ADE沿DE折叠得△FDE， ∴∠F=∠A，∠ADE=∠FDE， ∵EF∥AB， ∴∠F=∠BDF， ∴∠A=∠BDF， ∵∠C=90°，∠B=62°， ∴∠A=90°-∠B=28°， ∴∠BDF=28°， ∴∠ADF=180°-∠BDF=152°， ∴∠ADE=∠ADF=76°， ∴∠1=180°-∠A-∠ADE=180°-28°-76°=76°． 故答案为：76°． 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC边上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD．若∠ABD=15°，则∠ABE的度数为         . 【答案】60° 【解析】∵∠ABD=15°，∠ABC=90°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ADB=90°-15°=75°， 由折叠可得∠DBE=∠DBC=75°， ∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=75°-15°=60°． 故答案为：60°． 6.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF是△ABC 的角平分线，过点D作DG∥AF交BC于点G，求证：∠CEF=∠CGD． 【答案】证明 ∵CD⊥AB（已知）， ∴∠ADC=90°（垂直定义）， ∴∠DAE+∠AED=90°（直角三角形两锐角互余）， ∵∠ACB=90°（已知）， ∴∠CAF+∠CFA=90°（直角三角形两锐角互余）， ∵AF是△ABC的角平分线（已知）， ∴∠CAF=∠DAE（角平分线定义）， ∴∠AED=∠CFA（等角的余角相等）， ∵∠AED=∠CEF（对顶角相等）， ∴∠CEF=∠CFA （等量代换）， ∵DG∥AF（已知）， ∴∠CFA=∠CGD（两直线平行，同位角相等）， ∴∠CEF=∠CGD（等量代换）． 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E． （1）若∠CEF=50°，求∠A的度数； （2）∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由． 【答案】解 （1）∵∠ACB=90°，∠CEF=50°， ∴∠CBE=40°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=80°， ∴∠A=90°-80°=10°； （2）∠CFE=∠CEF，理由如下： ∵∠ACB=90°， ∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠EBA+∠BFD=90° 又∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠EBA， ∴∠CEB=∠BFD， ∵∠BFD=∠CFE， ∴∠CEB=∠CFE， 即∠CFE=∠CEF． 四、用HL判定三角形全等 1.如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　） A.AC=AD B.AB=AB C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD 【答案】A 【解析】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：若添加的条件为BC=BD， 在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵ ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）； 若添加的条件为AC=AD，理由为：在Rt△ABC与Rt△ABD中， ∵∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．故选A． 2.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC 【答案】D 【解析】条件是AB=CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD=∠AEB=90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选D． 3.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 【答案】C 【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′， Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C． 4.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 【答案】AB=CD 【解析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加斜边AB=CD，利用HL判定其全等． 5.如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为            . 【答案】HL 【解析】∵AB⊥CF，AB∥DE，∴△ABC和△DEF都是直角三角形．∵CE=FB，BE为公共部分，∴CB=EF，又∵AC=DF，∴由HL定理可判定△ABC≌△DEF．故填HL． 6.在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 【答案】证明 在Rt△ADC与Rt△CBA中， ∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL）， ∴DC=BA． 又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， ∴∠AEB=∠CFD=90°， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． 7.如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 【答案】证明 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵ ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）． 五、勾股定理 1.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25，和144，则AB的长度为（　　） A.13 B.169 C.119 D. 【答案】A 【解析】根据正方形的面积得AC2＝25，BC2＝144， 在Rt△ACB中，AB＝＝＝13， 故选：A． 2.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示： S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC， ∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4 即×4×4＝×5×BD， 解得：BD＝． 故选：C． 3.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A.9 B.8 C.7 D.6 【答案】D 【解析】由题意得，MN是AC的垂直平分线， ∴AC＝2AE＝8，DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C， ∵BD＝CD， ∴BD＝AD， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°， ∴2∠BAD+2∠DAC＝180°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠BAC＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10， ∴AB＝＝＝6， 故选：D． 4.如图，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则正方形A，B，C，D的面积和是 　    　cm2． 【答案】25 【解析】由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形A，B，C，D的面积之和＝52＝25（cm2） 故答案为：25． 5.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝5，则AB2+CD2＝　      　． 【答案】29 【解析】由题意知BD⊥AC， ∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°， 根据勾股定理得，OA2+OD2＝AD2＝22＝4，OB2+OC2＝BC2＝52＝25， ∴OA2+OD2+OB2+OC2＝4+25＝29， 根据勾股定理得，OA2+OB2＝AB2，OC2+OD2＝CD2， ∴AB2+CD2＝29， 故答案为：29． 6.如图：已知AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE，且AE＝12，CD＝3，CE＝4，求AD的长． 【答案】解 ∵DC⊥BC，AE⊥DE， ∴∠C＝∠AED＝90°， 在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE＝＝＝5， 在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD＝＝＝13， 即AD的长为13． 7.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，﹣1），请写出顶点B，C的坐标，并求出△ABC中AC边上的高为多长． 【答案】解 由图可知，B的坐标为（2，﹣1），C的坐标为（4，3）， 又∵A的坐标为（﹣2，﹣1）， ∴AC=，AB＝4， S△ABC=×AB×|yC-yB|=×4×4=8， 设△ABC中AC边上的高为h， 则有S△ABC=×AC×h=×2×h=h=8， ∴△ABC中AC边上的高为h=． 六、勾股定理的应用 1.如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距6千米时，最短用时是（　　） A.0.4小时 B.0.5小时 C.0.6小时 D.0.8小时 【答案】A 【解析】设最短用时t小时，甲、乙两人相距6千米． 根据题意，得BC＝（10﹣16t）千米，CD＝12t千米， 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2+CD2＝BD2， 即（10﹣16t）2+（12t）2＝62，整理得（5t﹣2）2＝0， 解得t＝，即t＝0.4． 故选：A． 2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2米．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　） A.2.5米 B.3米 C.1.5米 D.3.5米 【答案】A 【解析】设BO＝x米， 依题意得，AC＝0.5米，BD＝0.5米，AO＝2米． 在Rt△AOB中，根据勾股定理得，AB2＝AO2+OB2＝22+x2， 在Rt△COD中，根据勾股定理得，CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， ∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， 解得，x＝1.5， ∴AB＝＝2.5（米）， 即梯子的长度AB为2.5米， 故选：A． 3.有一辆装货的汽车，为了方便装运货物，使用了如图所示的钢架，其中∠ACB＝90°，AC＝1.2m，BC＝0.9m，则AB的长为（　　） A.1.2m B.1.5m C.1.8m D.15m 【答案】B 【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝1.2m，BC＝0.9m， ∴AB==1.5(m)， 故选：B． 4.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　   　米． 【答案】10 【解析】如图，设大树高为AB＝10米， 小树高为CD＝4米， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC， ∴EB＝4米，EC＝8米，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（米）， 在Rt△AEC中，AC＝＝10（米）， 故答案为：10． 5.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度的和AB为 　    　寸． 【答案】101 【解析】设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E， 则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1． 在Rt△ADE中， AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2， 解得2r＝101． 故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸． 故答案为：101． 6.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】解 （1）如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝＝＝15（m）， ∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6m路程． （2）∵CD＝17m，AD＝8m，AD2+AC2＝DC2， ∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°， ∴S△DAC＝AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2）， 答：这片绿地的面积是114m2． 7.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【答案】解 （1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴AC=（米）， ∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米）， ∴BC=（米）， ∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米， 答：此人需向右移动的距离为（）米． （2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米）， 且此人以0.5米每秒的速度收绳， ∴收绳时间， 答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 七、互逆命题与互逆定理 1.下列正确叙述的个数是（　　） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题是假命题． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】把原命题的题设与结论交换得到它的逆命题，所以①正确； 原命题：若a=b,则|a|=|b|，其逆命题为：若|a|=|b|，则a=b,它是假命题，所以②错误； 原命题：若am＞bm,则a＞b,其逆命题：若a＞b,则am＞bm,它是假命题，所以③错误； 定理的逆命题不一定是真命题，所以每个定理不一定有逆定理，所以④错误； 每个定理一定有逆命题，所以⑤正确； 命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题为“若a3=b3，则a=b”，它是真命题，所以⑥错误． 故选：B． 2.下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A.对顶角相等 B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数 C.两直线平行，内错角相等 D.如果a=b,那么a2=b2 【答案】C 【解析】A.对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意； B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数的逆命题是如果两个数的和是偶数，那么这两个数是偶数，是假命题，不符合题意； C.两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； D.如果a=b,那么a2=b2的逆命题是如果a2=b2，那么a=b,是假命题，不符合题意． 故选：C． 3.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　） A.有两个角相等的三角形是等腰三角形 B.有两个底角相等的三角形是等腰三角形 C.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 D.不是等腰三角形的两个角不相等 【答案】A 【解析】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形， 故选：A． 4.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为                        ． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 5.命题：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是                ，该逆命题是      命题（填“真”或“假”）． 【答案】如果3a=3b,那么a=b 真 6.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：                             ，结论：    ．（填序号） 证明：                           ． 【答案】解 条件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；结论是③∠AGF=∠F， 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB=∠DAC， ∵EF∥AD， ∴∠AGF=∠BAD，∠F=∠DAC， ∴∠AGF=∠F． 7.（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB； （2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由． 【答案】解 （1）∵DE∥BC， ∴∠1=∠2， ∵∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴CD∥FG， ∵CD⊥AB， ∴FG⊥AB． （2）把题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题为真命题，理由如下： ∵FG⊥AB，CD⊥AB， ∴FG∥CD， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2， ∴DE∥BC． 八、勾股定理的的逆定理 1.在同一张方格纸上，如果点A用数对表示为（1，1），点B用数对表示为（4，1），点C用数对表示为（1，3），那么这个三角形ABC一定是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】A 【解析】∵点A用数对表示为（1，1），点B用数对表示为（4，1），点C用数对表示为（1，3）， ∴A，B在同一直线上，A，C在同一直线上， ∴AB＝3，AC＝2，AB⊥AC， ∴△ABC是直角三角形， 故选：A． 2.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A.180°﹣α B.180°﹣2α C.90°+α D.90°+2α 【答案】C 【解析】如图，过B点作BG∥CD，连接EG， ∵BG∥CD， ∴∠ABG＝∠CFB＝α． ∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34， ∴BG2+BE2＝EG2， ∴△BEG是直角三角形， ∴∠GBE＝90°， ∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α． 故选：C． 3.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】连接AP，如图所示， ∵AB＝8，AC＝6，BC＝10． ∴AB2+AC2＝100，BC2＝100， ∴AB2+AC2＝BC2，则△ABC是直角三角形，且∠A＝90°． ∵PE⊥AB，PF⊥AC． ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP， 当AP⊥BC时，AP取得最小值，即EF取得最小值， ∴EF=AP=． 故选：C． 4.如图，每个小正方形的边长为1． （1）三角形ABC是否是直角三角形？　    　．（填“是”或“否”） （2）AC边上的高为 　   　． 【答案】（1）是 （2）2 【解析】（1）由勾股定理可得，AB＝，BC＝，AC＝， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴三角形ABC是直角三角形． （2）∵△ABC的面积＝， ∴AC边上的高h＝． 5.如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上，连接AC，AD． （1）∠DAC的大小为 　   　（度）； （2）∠ABC﹣∠DCE＝　     （度）． 【答案】（1）90 （2）45 【解析】（1）由图可得， AD＝＝，AC＝＝，CD＝＝， ∴AD2+AC2＝CD2，AD＝AC， ∴△DAC是等腰直角三角形，∠DAC＝90°， 故答案为：90． （2）由图可得， CA＝CB， ∴∠ABC＝∠CAB， ∵AB∥CE， ∴∠CAB＝∠ACE， ∴∠ABC﹣∠DCE＝∠ACE﹣∠DCE＝∠ACD， 由（1）知，△DAC是等腰直角三角形，∠DAC＝90°， ∴∠ACD＝45°， 即∠ABC﹣∠DCE＝45°， 故答案为：45． 6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段AC的长为 　     　，CD的长为 　   　，AD的长为 　    　． （2）通过计算说明△ACD是什么特殊三角形． 【答案】解 （1）AC＝＝； CD＝＝； AD＝＝5． （2）由（1）知AC2＝20，CD2＝5，AD2＝25， ∴AC2+CD2＝AD2， 故△ACD是直角三角形． 7.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题． （1）线段AB的长为 　     　； （2）若△ABC是直角三角形，且边BC的长度为，请在图中确定点C的位置，并补全△ABC． 【答案】解 （1）AB＝＝5． （2）如图所示． 学科网（北京）股份有限公司 $$