2025-2026学年八年级数学上册竞赛培优：专题卷十四函数

专题卷十四 函数 (满分:120分 考试时间:120分钟) 一、选择题(每题5分，共30分) 1.[2023·宁波青藤书院培优]函数 的图象上有两点，坐标分别为 若 则下列等式一定正确的是 ( ) 2.[2024·宁波象山中学创新素养大讲堂]满足式子|y|=|x|-1的图象形状大致是 ( ) 3.[2024·深圳福田区自主招生]小明同学利用计算机软件绘制函数y= (a,b为常数)的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a，b 的值满足 ( ) A. a>0,b>0 B. a>0,b<0 C. a<0,b>0 D. a<0,b<0 4.[2024·深圳青羊区自主招生]如图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线l：x=t(0≤t≤2)截这个三角形所得位于直线左侧的图形(阴影部分)的面积为 S，则S 关于t 的函数图象大致是 ( ) 5.[2024·湖北襄阳自主招生]某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，其函数图象如图1所示。由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图2、图3中的实线分别为调整后y关于x的函数图象。给出下列四种说法： ①图2对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图2对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图3对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图3对应的方案是：提高票价，并降低成本。 其中正确的说法是 ( ) A ①③ B.①④ C.②③ D.②④ 6.[2024·河南自主招生]如图1,在矩形ABCD 中,动点 P 从点A 出发沿A→D→C 方向运动到点C停止，动点Q 从点C 出发沿C→A 方向运动到点 A 停止。若点 P，Q同时出发，点P 的速度为2cm/s,点Q 的速度为1cm/s,设运动时间为x(s),AP-CQ=y(cm),y与x的函数关系图象如图2所示，则 AC 的长为 ( ) A.8cm B.9 cm C.10 cm D.14 cm 二、填空题(每题5分，共30分) 7.[漳州自主招生]往杯子里注水(单位时间内的注水量保持不变)，杯中水的高度h与注水时间t的关系如图所示，则杯子的形状可能是 (填序号)。 8.[2024·广州大学附中教育集团自主招生]a是一个正实数，记 其中[x]是不超过实数x的最大整数,如[2.1]=2,[-2.1]=-3。若f(5)=5,则a 的取值范围是 。 9.[2024·温州自主招生]关于x的函数f(x)符合以下条件:(1)函数f(x)在x=0处无意义;(2)当x取非零实数时，都有 如当x=1时,有 f(1)+2f(1)=3,可以求得 f(1)=1,则f(x)= 。 10.[2024·上海金山区校级自主招生]甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A 地到B 地，乙驾车从 B 地到A 地，他们分别以不同的速度匀速行驶。已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示。当乙到达终点A 时，甲还需 分钟到达终点 B。 11.[2024·重庆渝中区校级自主招生]如图1，Q为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处。柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出的线段路径上运行。设机器人运行时间为t秒，机器人到点A 的距离为y，得到函数图象如图2。通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当t=3时，机器人一定位于点Q；③机器人一定经过点D；④机器人一定经过点 E。其中正确的有 (填序号)。 12.[全国初中数学竞赛]如图1,G是BC 的中点,点 H 在AF 上,动点 P以每秒2cm 的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H,相应的 的面积 关于运动时间t(s)的函数图象如图2，则下列结论中正确的是 (填序号)。 ①图1中的 BC 长是8cm；②图2中的点 M 表示第4秒时y的值为 ③图1中的 CD长是4cm;④图2中的点 N 表示第12 秒时y 的值为 三、解答题(共60分) 13.(15分)[2024·上海华东师大二附中自主招生]a，b为不相等的实数，满足 且f(a)=f(b),求 f(2)的值。 14.(15分)[2024·北京海淀区一模]某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取60 min 听书时长； 方式二：第一天打卡可领取5m in听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍。 (1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一 每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 … n 方式一 60 60 60 60 … 60 方式二 5 5×2 5×4 5×8 … 表二 累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 … n 方式一 60 120 180 240 … 方式二 5×2-5 5×4-5 5×8-5 5×16-5 … (2)根据表二，以天数n为横坐标，累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势(如图)。其中表示方式二变化趋势的虚线是 (填a 或b)，从第 天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一。 (3)现有一本时长不超过60 min的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物。若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多2天，求这本有声读物的时长t(min)的取值范围。 15.(15分)[2024·北京房山区二模]小平在学习过程中遇到一个函数 下面是小平对其研究的过程，请补充完整： (1)函数 的自变量x的取值范围是 。 (2)下表是 y 与x 的几组对应值。 x 0 1 1.5 1.8 2.2 2.5 3 4 5 6 y · 0.5 2 3.5 6.8 7.2 4.5 m 4.5 5.33 6.25 … 其中 m 的值为 。 (3)①根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数图象。 ②过点(0，n)作平行于x轴的直线l，结合图象解决问题：若直线l与函数 的图象有3 个交点，求n 的取值范围。 16.(15分)[2024·温州瑞安二模]综合与实践：如何测算容器内装饰物的高度。 素材1：如图1是一个瓶身为圆柱形的小口径容器，其高度为12cm，容器里面有一圆柱形装饰物，且这两个圆柱的底面积之比为5：2。 素材2：为了测算该容器内圆柱形装饰物的高度，小羽以 的速度向容器内匀速注水，在注水过程中，容器内水面高度h(cm)随时间t(s)的变化规律如图2所示。 任务1：(1)设注入水的体积为 容器底面积为 当 时，请用两种不同的方式表示V： ①用含 t 的代数式表示V。 ②用含 S,h 的代数式表示 V。 任务2：(2)求容器内圆柱形装饰物的高度。 专题卷十四 函数 1. B 【解析】 ∴若 则 而其他选项不一定成立，故选 B。 2. D 【解析】对于|y|=|x|-1: 当x≥0,y≥0时，函数图象如答图1所示； 当x≥0，y≤0时，函数图象如答图2所示； 当x≤0，y≥0时，函数图象如答图3所示； 当x≤0，y≤0时，函数图象如答图4所示。 综上所述，|y|=|x|-1的图象如答图5所示。 3. C 【解析】由图象可知,当x>0时,y<0,∴a<0; 当x=-b时，函数值不存在， ∴-b<0,∴b>0。 4. C 【解析】①如答图1,当0≤t≤1时, ∵直线l∥y 轴,△AOB 为等边三角形, ∴∠OCD=30°, ∴OD=t,CD= t, 即 ∴S 关于t的函数图象应为开口向上的二次函数图象； ②如答图2,当1<t≤2时, ∵直线l∥y 轴,△AOB 为等边三角形, ∴∠BCD=30°, 即 ∴S 关于t 的函数图象应为开口向下的二次函数图象。 故选C。 5. C【解析】由图可知，点A 的纵坐标的相反数表示成本，直线的斜率表示票价。 图2对应的方案是：保持票价不变，并降低成本，①错误，②正确； 图3对应的方案是：提高票价，并保持成本不变，③正确，④错误。 6. C【解析】由题意可知： 当 0≤x<4时,点 P 在AD 上运动; 当x=4时,点 P 运动到点 D, 即AD=2×4=8(cm); 当4<x<7时,点 P 在DC 上运动; 当x=7时,点 P 运动到点C, 即CD=2×7-8=6(cm)。 在矩形ABCD中,AD=8cm,CD=6cm,则AC=10 cm。 7.①② 【解析】杯中水的高度 h 随注水时间t 的增大而增大，而增加的速度越来越小，则杯子应该是越向上开口越大。故杯子的形状可能是①②。 8.25≤a<35 【解析】∵f(5)=5, 或 ∴25≤a<35。 【解析】 ) ∴②×2-①,得 10.78 【解析】由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6 分钟， ∴甲的速度是 (千米/分钟)。 由纵坐标看出A，B两地的距离是16 千米。 设乙的速度是x 千米/分钟。 由题意，得 解得 相遇后乙到达A 地还需 分钟)，相遇后 甲 到 达 B 地 还需 80(分钟), 当乙到达终点 A 时，甲还需80-2=78(分钟)到达终点 B。 11.①②③ 【解析】由图象可知，机器人距离点 A 是1个单位长度，可能在点 F 或点 B，则正六边形的边长为1，①正确； 观察图象，当3≤t≤4时，根据图象具有对称性可知，机器人在QB 或QF 上，则当t=3时，机器人距离点 A 的距离为1个单位长度，机器人一定位于点 Q,②正确; 所有点中，只有点 D 到点 A 的距离为 2个单位长度，③正确； ∵机器人可能在点 F 或点 B 出发，当从点 B 出发时，不经过点E，④错误。 12.①②③④ 【解析】根据函数图象可知:从0s到2s,y 随x的增大而增大,经过2s,点 P 运动了4 cm,因而CG=4 cm,BC=8cm,∴①正确。 由图象易求得 AB=6 cm,点 P 在 CD 段时,底边AB 不变，高不变，因而面积不变， 由图象 可 知 CD =4 cm,面积 ∴②③正确。 图②中的点 N 表示第12 s时,点 P 到达点 H,由图象易得DE=6cm,EF=2cm,HF=8cm, ∴AH=BC+DE-HF=8+6-8=6(cm), ④正确。. 13.解: +b。 ∵f(a)=f(b), 整理，得 即(a-b)(a+b)+a(a-b)=0, ∴(a-b)(2a+b)=0。 ∵a，b为不相等的实数， ∴a-b≠0,∴2a+b=0,∴b=-2a。 将b=-2a 代入. 得 + ax-2a, 14.(1)60n 5×2”—5 (2)a 7 解：(2)在方式二中可知当天数为3时，累计时长为35, 故表示方式二变化趋势的虚线是a。 由图象可知从第7天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一。 (3)∵方式一每天打卡可以领取60 min听书时长，现有一本时长不超过60 min的有声读物， ∴选择方式一只需1天。 又∵选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多2天, ∴选择方式二需3天， 选择方式二打卡3 天累计领取听书时间为 5=35(min), 选择方式二打卡2天累计领取听书时间为5 5=15(min), ∴这本有声读物的时长 t 的取值范围是 15 min<t≤35 min。 15.(1)x≠2(2)4 解:(1)∵|x-2|≠0,∴x-2≠0,即x≠2。 (2)当x=3时, (3)①如答图所示。 ②观察函数图象可知，当n>4时，直线l与函数y 有3个交点。 16.解：(1)根据图象可知，当流水注入时间为6s 时，水面与圆柱形装饰物齐平。 ①水流的速度为5cm³/s，水流的时间为t(s)，注入水的体积为V=5t。 ②∵这两个圆柱的底面积之比为5：2， ∴空余处的面积为 S,高度为h。 ∵0≤t≤6, (2)由图象知，溉注水时间为 20 s时，圆柱容器注满，高度为 12 cm，设前 6 s 注入水的高度为h(cm),后14 s注入水的高度为h'(cm)。 ∵这两个圆柱的底面积之比为5：2， ∴空余处的面积为 S, 解得h=5, ∴容器内圆柱形装饰物的高度为5cm 。 学科网（北京）股份有限公司 $$